人教版必修二数学圆与圆的位置关系优秀课件

1、4.2.2圆与圆的位置关系4.2.2人教版必修二数学圆与圆的位置关系优秀课件已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=r12, C2：(x-x2)2+(y-y2)2=r22,则圆心距d=|C1C2|=_.已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=r12,则两圆C1,C2有以下位置关系:0dr1+r2dr1+r2d|r1-2|r1-r2|dr1+r21d=|r1-r2|d=r1+r22|r1-r2|d1),若两圆相交,则r的取值范围是.(3)已知两圆的半径分别为1和5,若两圆相交,则圆心距d的取值范围是.2.做一做(请把正确的答案写在横线上)2.(1)圆O1的圆心O1为(0,0),半径r

2、1=2,圆O2的圆心O2为(3,0),半径r2=1,则|O1O2|=3=r1+r2,故两圆外切.答案:外切(2)由题圆O1的圆心为(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心为(-1,0),半径为r,故|O1O2|=2,又两圆相交,故r-1|O1O2|r+1,即r-12r+1,解得1r3.答案:(1,3)2.(1)圆O1的圆心O1为(0,0),半径r1=2,圆O2(3)由两圆相交可得5-1d5+1,即4d6.答案:4d6.(3)由两圆相交可得5-1d5+1,即4d6.【要点探究】知识点 圆与圆的位置关系1.对圆与圆的位置关系的两点说明(1)根据圆心距与圆的半径之和或之差的绝对值的大小关系判断,两个圆

3、的位置关系分为外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.【要点探究】(2)圆与圆的公共点个数:当两圆外离或内含时,两圆无公共点;当两圆内切或外切时,两圆仅有一个公共点;当两圆相交时,两圆有两个公共点.(2)圆与圆的公共点个数:当两圆外离或内含时,两圆无公共点;2.判断两圆位置关系的两种方法(1)几何法:主要利用圆心距d与两圆半径之和或之差的绝对值之间的关系.(2)代数法:将两圆的方程联立解方程组,若方程组有两解,则两圆相交;若方程组只有一解,则两圆外切或内切;若方程组没有实数解,则两圆内含或外离.2.判断两圆位置关系的两种方法3.圆与圆位置关系判定的关注点(1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学

4、的,如有1个交点,就不能判定是内切还是外切,应再结合图象判定.(2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法,代数法要注意相切时的判定.(3)一般情况下,我们尽量选择利用几何法进行判断,以减少运算量,提高解题的速度.3.圆与圆位置关系判定的关注点【知识拓展】与两圆相切、相交有关的问题(1)两圆的公切线与两圆的位置关系两圆外离,有两条外公切线,两条内公切线.两圆外切,连心线过切点,有两条外公切线,一条内公切线.两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线.两圆内切,连心线过切点,只有一条公切线.两圆内含,无公切线.【知识拓展】与两圆相切、相交有关的问题(2)过两圆交点的圆系方程已知圆C1:x2+y

5、2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,圆C1与圆C2相交,则过两圆C1,C2的交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),此圆不包括圆C2.(2)过两圆交点的圆系方程【微思考】(1)当两个不重合的圆的圆心距等于零时两圆位置关系如何?提示:当两个不重合的圆的圆心距为零时,两个圆内含且为同心圆.(2)当两圆仅有一个公共点时,此时两圆有怎样的位置关系?提示:此时两圆外切或内切.【微思考】【即时练】1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.外离

6、2.(2014济宁高一检测)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为.3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程是.【即时练】【解析】1.选B.因为两圆的圆心距为又因为3-2 0).试求a为何值时,两圆C1,C2相切;相交;外离;内含.【题型示范】【解题探究】1.题(1)中判定两圆位置关系常用什么方法?2.题(2)中解决与两圆位置关系有关的问题时圆的方程应首先如何处理?【探究提示】1.判断两圆位置关系的常用方法是几何法.2.解决与两圆位置关系有关的问题时要把圆的方程化为标准形式,找到圆心坐标与半径的大小.【解

7、题探究】1.题(1)中判定两圆位置关系常用什么方法?【自主解答】(1)选C.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1;圆x2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2.因为圆心距为 ,且2-1 1+2,所以两圆相交.(2)对圆C1,C2的方程,经配方后可得:C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,所以圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,所以|C1C2|= =a.【自主解答】(1)选C.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1, 当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切当|C1C2|=r1r2=3，即a=3时，两圆

8、内切； 当3|C1C2|5，即3a5即a5时，两圆外离； 当|C1C2|3即0a3时两圆内含 当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切当【方法技巧】判断两圆位置关系的步骤(1)将圆的方程化为标准方程,写出圆心和半径.(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆位置关系或求参数范围.【方法技巧】判断两圆位置关系的步骤【变式训练】(2014锦州高一检测)若a2+b2=4,则圆O1:(x-a)2+y2=1,与圆O2:x2+(y-b)2=1的位置关系是.【解析】因为两圆的圆心分别为O1(a,0),O2(0,b),半径r1=r2=1,所以 故两圆外切.

9、答案:外切【变式训练】(2014锦州高一检测)若a2+b2=4,则圆【补偿训练】已知0r 则两圆x2+y2=r2与(x1)2+(y+1)2=2的位置关系是( )A外切 B相交 C外离 D内含【解析】选B.圆(x1)2+(y+1)2=2圆心为(1,1)，所以两圆的圆心距离显然有所以两圆相交【补偿训练】已知0r0)，由题知所求圆与圆x2y22x0外切，则 又所求圆过点M的切线为直线故 (3)设所求圆的方程为解由组成的方程组得a4，b0，r2或a0， r6.故所求圆的方程为(x4)2y24或解由组成的方程组得【延伸探究】将题(3)变为“求与圆x2y22x0内切且圆心为M(3， )的圆的方程”，如何求

10、解？【解题指南】首先判定出点M(3, )与已知圆的位置关系，然后利用两圆相内切应满足大半径与小半径的差等于两圆心的距离求解.【延伸探究】将题(3)变为“求与圆x2y22x0内切且【解析】由于 故点M在圆外，设所求圆的方程为则有r-1= 所以即所求圆的方程为即【解析】由于 故点M在圆外【方法技巧】处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题.【方法技巧】处理两圆相切问题的两个步骤【变式训练】与圆x2+

11、y2=25外切于点P(4,3),且半径为1的圆的方程是.【解析】设所求圆的圆心为C(m,n)，则O,P,C三点共线(O为原点)，且OC=6，所以 所以圆的方程是答案：【变式训练】与圆x2+y2=25外切于点P(4,3),且半径【补偿训练】(2014龙翔高一检测)集合 B=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,其中r0.若AB中有且仅有一个元素,则r的值是.【解析】由题意,两圆相切,因为圆心距为5,所以外切时,r=3;内切时,r=7.答案:3或7【补偿训练】(2014龙翔高一检测)集合 类型三 与两圆相交的有关问题【典例3】(1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直

12、线x-y+c=0上,则m+c的值为.(2)经过两圆x2+y2-2x-3=0与x2+y2-4x+2y+3=0的交点,且圆心在直线2x-y=0上的圆的方程为.类型三 与两圆相交的有关问题(3)已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0相交于A,B两点.求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程;求圆C1与圆C2的公共弦的长度.(3)已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4【解题探究】1.题(1)中直线AB与直线x-y+c=0有怎样的位置关系?线段AB的中点与直线x-y+c=0有联系吗?2.题(2)中由两圆的交点构成的线段的垂直平分线与所求的圆的圆心有何关系?

13、结合直线2x-y=0,所求圆的圆心坐标应如何求解?3.题(3)中公共弦所在直线方程与两圆方程有什么关系?求圆C1与圆C2的公共弦的长度有几种方法?【解题探究】1.题(1)中直线AB与直线x-y+c=0有怎样【探究提示】1.直线AB与直线x-y+c=0互相垂直,线段AB的中点在直线x-y+c=0上.2.由两圆的交点构成的线段的垂直平分线一定经过所求圆的圆心,故由两圆交点构成的线段的垂直平分线方程与2x-y=0联立,得到的方程组的解即为所求圆的圆心坐标.3.公共弦所在直线方程为两圆方程作差所得.求圆C1与圆C2的公共弦的长度有两种方法,代数法:求出弦的两端点坐标,然后利用两点间的距离公式求解.几何

14、法:利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解.【探究提示】1.直线AB与直线x-y+c=0互相垂直,线段A【自主解答】(1)由题意知，线段AB的中点在直线x-y+c=0上，且 即m=5，又点 在该直线上，所以 所以c=-2,所以m+c=3.答案:3(2)方法一：由两圆方程联立求得交点A(1,2),B(3,0)，设圆心C(a,b)，则由CA=CB及C在直线2xy=0上，求出故所求圆的方程为3x2+3y22x4y21=0.【自主解答】(1)由题意知，线段AB的中点在直线x-y+c=方法二：同上求得A(1,2),B(3,0)，则圆心在线段AB的中垂线y=x+1上，又在y=2x上，即得 解得故圆心

15、坐标为故所求圆的方程为3x2+3y22x4y21=0.答案：3x2+3y22x4y21=0方法二：同上求得A(1,2),B(3,0)，则圆心在线段A(3)联立方程得(i)-(ii)得：x-y+2=0,所以公共弦所在直线方程为：x-y+2=0.方法一：因为两圆交点坐标是A(-2,0)，B(0,2),所以公共弦长即|AB|=(3)联立方程得方法二：因为两圆公共弦所在直线方程为lAB:x-y+2=0.圆心C1到直线AB的距离 设圆C1的半径为r1,所以公共弦长即|AB|=方法二：因为两圆公共弦所在直线方程为【方法技巧】处理两圆相交问题的方法(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得

16、两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.(2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.【方法技巧】处理两圆相交问题的方法【变式训练】若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦长为2 ,则a=.【解题指南】确定两圆公共弦长时,一般是通过由弦长的一半、半径和弦心距组成的直角三角形求解.【变式训练】若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0【解析】两方程作差得公共弦所在的直线方程为 由已知得，圆

17、心(0,0)到公共弦的距离为所以 所以a1.答案:1【解析】两方程作差得公共弦所在的直线方程为 由已知【补偿训练】(2014哈尔滨高二检测)以相交两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为.【补偿训练】(2014哈尔滨高二检测)以相交两圆C1:x2【解析】公共弦方程为2x-2y=0即y=x.设两交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x代入x2+y2+4x+1=0，所以2x2+4x+1=0,所以x1+x2=-2,y1+y2=-2,所以所求圆的圆心为(-1,-1)，x1x2=y1y2=所以所求圆的半径=【解析】公共弦方程为2x-

18、2y=0即y=x.=所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1.答案：(x+1)2+(y+1)2=1=拓展类型 圆系方程的应用【备选例题】(1)经过两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的交点,并且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为.(2)求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程.拓展类型 圆系方程的应用【解析】(1)可设圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+(x2+y2+2x+2y-8)=0(-1)，化简得(1+)x2+(1+)y2+(2-2)x+(2+10)y-8-24=0，圆心坐标

19、为因为圆心在直线x+y=0上，所以解得=-2，所以所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.答案：x2+y2+6x-6y+8=0【解析】(1)可设圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+(2)方法一:联立x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0解得两圆交点为: 与因为所求圆经过此两点,连接MN,MN即是所求圆的一段弦.因为MN的斜率k1=1,所以其垂直平分线的斜率k2=-1,(2)方法一:联立x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4yMN中点P坐标为(1,1),所以垂直平分线的方程为y=-x+2,垂直平分线与直线x-y-4=0的交点即为圆心,联立两方程解得x=3,y=-1,所以

20、圆心O(3,-1).MN中点P坐标为(1,1),连接OM即为圆半径所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=13,即:x2+y2-6x+2y-3=0.连接OM即为圆半径方法二:设所求的圆的方程为x2+y2-4x-3+(x2+y2-4y-3)=0(-1),即(1+)x2+(1+)y2-4x-4y-3-3=0,故圆心的坐标为 ,由题意: 解得故所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0.方法二:设所求的圆的方程为x2+y2-4x-3+(x2+y【方法技巧】过两圆的交点的圆系方程的设法(1)求过两圆交点的圆的方程,可联立两个圆的方程,求出两交点的坐标,再由一个独立的条件,代入圆的一般方程求解.(2)过两圆fi(x,y)=x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)的交点的圆系方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),即f1(x,y)+f2(x,y)=0(-1).【提醒】用上述圆系的设法表示的圆中不含圆f2(x,y)=0.【方法技巧】过两圆的交点的圆系方程的设法【易错误区】两圆相切问题中的