《圆的对称性》参考教案 省赛获奖

1、PAGE9圆的对称性1教学目标一教学知识点1圆的轴对称性、旋转不变性2圆心角、弧、弦之间相等关系定理二能力训练要求1通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力2利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理三情感与价值观要求培养学生积极探索数学问题的态度及方法教学重点圆心角、弧、弦之间关系定理教学难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明教学方法指导探索法教学过程创设问题情境，引入新课师前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义，生如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那

2、么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴师我们是用什么方法研究了轴对称图形生折叠师今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性讲授新课师同学们想一想：圆是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么你能找到多少条对称轴生圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴师是吗你是用什么方法解决上述问题的大家互相讨论一下生我们可以利用折叠的方法，解决上述问题把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴师很好教师板书：圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念1圆弧：圆上任意两点间

3、的部分叫做圆弧，简称弧arc2弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦chord3直径：经过圆心的弦叫直径diameter如右图。以A、B为端点的弧记作AB，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是O的一条弦，弧CD是O的一条直径注意：1弧包括优弧majorarc和劣弧minorare，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD记作ACD，劣弧ABD记作AD半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧师我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么哪位同学

4、知道生用旋转的方法中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形这个点就是它的对称中心师圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形那么，圆还有其他特性吗下面我们继续来探讨师同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点生大小一样师现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗生重合师通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合圆的中心对称性是其旋转不变性的特例即圆是中心对称图形，

5、对称中心为圆心师我们一起来做一做按下面的步骤做一做：1在两张透明纸上，作两个半径相等的O和O，沿圆周分别将两圆剪下2在O和O，上分别作相等的圆心角AOB和AOB如下图示，圆心固定注意：在画AOB与AOB时，要使OB相对于OA的方向与OB相对于OA的方向一致，否则当OA与OA重合时，OB与OB不能重合3将其中的一个圆旋转一个角度使得OA与OA重合生教师叙述步骤，同学们一起动手操作师通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系同学们互相交流一下，说一说你的理由生甲由已知条件可知AOBAOB生乙由两圆的半径相等，可以得到OABOBAOAB=OBA生丙由AOBAOB，可得到ABAB生丁由旋转法可知弧AB弧A

6、B师很好大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB弧AB的理由是一种新的证明弧相等的方法叠合法师生共析我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与OA重合时，由于AOBAOB这样便得到半径OB与OB重合因为点A和点A重合，点B和点B重合，所以弧AB和弧AB重合，弦AB与弦AB重合，即弧AB=弧AB，AB=AB师在上述操作过程中，你会得出什么结论生在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等师同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理下面，我们一起来看一看命题的证明学生互相讨论交流学生口述，教师

7、板书如上图所示，已知：O和O是两个半径相等的圆，AOBAOB求证：弧AB弧AB，ABAB证明：将O和O叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与OA重合，AOB=AOB，半径OB与OB重合点A与点A重合，点D与点B重合，弧AB与弧AB重合，弦AB与弦AB重合弧AB=弧AB，AB=AB上面的结论，在同圆中也成立于是得到下面的定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论师通过举反例强化对定理的理解请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图生如下图示，虽

8、然AOB=AOB，但ABAB，弧AB=弧AB下面我们共同想一想师如果我们把两个圆心角用表示；两条弧用eqoac,2表示：两条弦用表示我们就可以得出这样的结论：相等在同圆或等圆中相等也相等如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗你是怎么想的请你说一说同学们互相交流、讨论生甲如果将上述题设和结论换一下，结论仍正确可以通过旋转法或叠合法得到证明生乙如果将上述题设和结论互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到，师好，通过上面的探索，你得到了什么结论生在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等在同圆或等圆中，

9、如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等注意：1不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等2此定理中的“弧”一般指劣弧3要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义否则易错用此关系4在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等例如，右图中的1=2，有的同学认为1对AD，2对BC，就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦师下面我们通过练习巩固本节课的所学内容课本P10随堂练习1、2、3课时小结师通过这一