【八年级数学】无理数与实数、平方根和立方根-教师

1、青 蓝 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期： 学员编号 ： 年 级 ： 课 时 数 ：3课程类型： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ： 王梦珠课程主题 无理数与实数 平方根与立方根 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课课 次1授课日期及时段 2016年 月 日 ：00 ：00 p.m.重 难 点教 学 内 容 要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环

2、的数，如：1.313113111.带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集实数集，实数集通常用字母R表示.1.实数的分类按定义分： 实数按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数

3、之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 平方根和立方根 要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；

4、（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.立方根要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方

5、根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，. 无理数与实数 类型一、实

6、数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 【答案与解析】有理数有无理数有【变式】下列说法错误的是（C ）无限小数一定是无理数 无理数一定是无限小数；带根号的数一定是无理数；不带根号的数一定是有理数.A B. C. D. 2、比较和0.5的大小解：作商，得 因为，即，所以【变式】比较大小 ; ; 【答案】； ； ； ； ； ； .3、如图，数轴上点表示的数可能是 (B) A. B. C. D. 【解析】32.4、化简： (1) (2) (3)【答案与解析】解： .5、若，则_3_解：由非负数性质可知：，即， 【变式】已知，求的值解：由已知得，解得 . 平方根和开平方 类型一、平方根和算术平方根

7、的概念1、下列说法错误的是（C）A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是4 D.0的平方根与算术平方根都是0 A.因为5，所以本说法正确；B.因为1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为4，所以本说法错误；D.因为0，0，所以本说法正确；2、 填空：（1）是 的负平方根 （2）表示 的算术平方根， （3）的算术平方根为 （4）若，则 ，若，则 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；33、使代数式有意义的的取值范围是_ 【答案】；4、求下列各式中的.（1） （2）； （3）解：（1） 117 16或18. 5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽

8、的3倍，面积是1323平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3， 由题意得，31323 31323 21(舍去)答：长为63米，宽为21米. 立方根类型一、立方根的概念1、下列结论正确的是（ D ）A64的立方根是4 B是的立方根 C立方根等于本身的数只有0和1 D【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和1.2、求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） 解：（1） （2） （3） （4） （5） 3、 求下列各式中的值（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）， . 4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱

9、体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 . 选择题1下列说法错误的是（ ）A实数都可以表示在数轴上 B数轴上的点不全是有理数C坐标系中的点的坐标都是实数对D是近似值，无法在数轴上表示准确2. 下列说法正确的是（ ） A无理数都是无限不循环小数 B无限小数都是无理数 C有理数都是有限小数 D带根号的数都是无理数3.估计的大小应在（ ）A78之间

10、B8.08.5之间 C8.59.0之间 D910之间4.如图，数轴上点表示的数可能是（） .A B C D5. 实数和的大小关系是（ ）A B CD 6一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（ ）A45之间B56之间 C67之间 D78之间7. 16的平方根是（ ）A.4 B.4 C. 4 D. 2568下列各数中没有平方根的是（ ）AB0 C D9下列说法正确的是（ ）A169的平方根是13B1.69的平方根是1.3 C的平方根是13D（13）没有平方根10.要使代数式有意义，则的取值范围是( )A B C D11下列结论正确的是（ ）A的立方根是 B没有立方根 C有理数一定有立方根

11、 D的立方根是112如果是的立方根，则下列结论正确的是（ ）ABCD13.下列说法中正确的有（ ）个. 负数没有平方根，但负数有立方根的平方根是的立方根是如果，那么2 算术平方根等于立方根的数只有1A1 B2 C3 D4填空题14.在，这五个实数中，无理数是_ 15.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为_ 16.3.14_； _17. 的整数部分是_，小数部分是_18.已知为整数，且满足，则_19.的相反数是_，绝对值是_，平方等于_.20计算：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；（6）_21.的算术平方根的相反数是_.22. 的平方根是_；0.0001算术平方根是_：0的平方根

12、是_23的算术平方根是_：的算术平方根的相反数是_24中的的取值范围是_，中的的取值范围是_258的立方根与的平方根的和是_26若 则与的关系是_三.解答题27计算：（1） （2）28. 28.天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器，精 精确到）29. 已知求的值30求下列各式中的（1）； （2）； （3）31.要切一块面积为16的正方形钢板，它的边长是多少？32.若和互为相反数，求的值.33.已知519的立方根是4，求27的平方根选择题1. 【答案】D；【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.2. 【答案】A；【解

13、析】根据无理数的定义作答.3. 【答案】C；【解析】，因为76比较接近81，所以在8.59.0之间.4. 【答案】B；【解析】235. 【答案】C；【解析】.6. 【答案】A；【解析】.7. 【答案】C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.8. 【答案】D；【解析】负数没有平方根.9. 【答案】B；【解析】169的平方根是，的平方根是.10. 【答案】B；【解析】被开方数为非负数.11. 【答案】 C；【解析】的立方根是；的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同.12. 【答案】A；【解析】由题意.13. 【答案】A；【解析】只有正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1二.填空题

14、14 【答案】，；15. 【答案】；【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.16. 【答案】3.14；.【解析】负数的绝对值等于它的相反数.17.【答案】2；【解析】，故整数部分为2，2为小数部分.18.【答案】 1, 0, 1；19.【答案】 【解析】.20. 【答案】11；16；9；3；.21. 【答案】； 22. 【答案】；0.01；0. 23.【答案】2；3；24.任意实数；1; 【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需10，10，解得1.25.【答案】1或5；【解析】注意9，9的平方根是3.26. 【答案】；【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数

15、.三.解答题27解：（1) （2） 3（） 28.解：设广场的边长为，由题意,得440000 663().答：它的边长约为663m.29.解： 20且0解得2，3， 231.30.解：（1） （2） （3） 31.解：设正方形钢板的边长为，则由题意，4正方形的边长为正数，4.32.解：和互为相反数 0， ， ， 2131, 23.33.解：519的立方根是4 519，即64519，解得9272527的平方根. 选择题 1代数式，|，中，一定是正数的有（ ） A4个 B3个 C2个 D1个2. 三个数，3，的大小顺序是（ ）A B C D3. 要使，的取值范围是（ ）A3 B3 C03 D一切实

16、数4. 估算的值在（ ）A7和8之间 B6和7之间 C3和4之间 D2和3之间5. 若，、互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ） A. B.与 C.与 D.与6. 实数、在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）A0 B0 C D7若4，则估计的值所在的范围是（ ）A12 B. 23 C. 34 D. 45 8. 试题下列说法中正确的是（）A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4 C.是6的平方根 D.没有平方根 9. 能使3的平方根有意义的值是（ ）A. 0 B. 3 C. 0 D. 310. 若，为实数，且|1|0，则的值是（）A.0 B.1 C.1 D.201

17、111. 下列各式中，正确的是（ ）A. B. C. D.12. 有如下命题：负数没有立方根；一个实数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）A. B. C. D.二.填空题13，3.33， ， ，中，无理数的个数是 14. 0时，化简_.15. 计算：_16.已知互为相反数,互为倒数,则的值 .17. 若，求的值.18. 当 时,有最大值,最大值是 _.19. 若，则_.20. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 _.21（1）的平方根是_； （2）的平

18、方根是_，算术平方根是_；（3）的平方根是_，算术平方根是_22若实数满足0，则的值为 .23若 则_ 24. 如果那么的值是_25.若，则_.三.解答题26已知实数、在数轴上的位置，如图所示试化简27.已知实数、满足，求的值；28. 已知是的算术平方根，是的立方根，求BA的平方根29为何值时，下列各式有意义？ （2） （3） （4）30.已知和互为相反数，且，求的值31.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简32.已知实数，满足求1|1的值选择题1. 【答案】D； 【解析】仅0，其余可以为0，还可为负数2. 【答案】B； 【解析】3. 【答案】D；【解析】本题主要考查立方根的性质，即因为，所以可取一切实数4. 【答案】D； 【解析】，所以选D.5. 【答案】C； 【解析】0，所以 ，所以 0.6. 【答案】B；【解析】从数轴上可以看出32，21，01，所以很明显0.7. 【答案】B；【解析】，所以243 . 8. 【答案】C；【解析】A.4是16的算术平方根，故选项A错误；B.16的平方根是4，故选项B错误；C.是6的一个平方根，故选项C正确；D.当0时，也有平方根，故选项D错误9. 【答案】D；【解析】要使3的平方根有意义，30，即310. 【答案】C；【解析】10，10，解得1；11.11.【答