傅里叶级数课程习题讲解

1、第15章傅里叶级数傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数f(x)anxnf(x)经函数系在幂级数谈论中n1，可视为线性表出而得不如称1,x,x2,L,xn,L为基，则不同样的基就有不同样的级数今用三角函数系作为基，就获得傅里叶级数三角函数系函数列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L,cosnx,sinnx,L称为三角函数系其有下面两个重要性质周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性任意两个不同样函数的积在,上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零对于一个在,可积的函数系un(x):xa,b,n1,2,L，定义两个函数的内积为bun(x),um(x)un(x)

2、um(x)dxa，un(x),um(x)l0mn0mn，则称函数系un(x):xa,b,n1,2,L为正交系若是1,sinnx1sinnxdx1cosnxdx0；由于sinmx,sinnxsinmxmnsinnxdxn；0mcosmx,cosnxmncosmxcosnxdxn；0msinmx,cosnxsinmxcosnxdx0；1,112dx2，所以三角函数系在,上拥有正交性，故称为正交系利用三角函数系组成的级数称为三角级数，其中a0,a1,b1,L,an,bn,L为常数以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f(x)在,上可积，ak1f(x),coskx1f(x)coskxdxk0,1,2,L；

3、bk11f(x),sinkxf(x)sinkxdxk1,2,L，称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数称为f(x)的傅里叶级数，记作a0ancosnxbnsinnxf(x)2n1这里之所以不用等号，是由于函数f(x)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数其实不知其可否收敛于f(x)二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2为周期的函数f(x)在,上按段圆滑，则a0ancosnxf(x0)f(x0)2bnsinnx2，n1其中an,bn为f(x)的傅里叶系数定义2若是f(x)Ca,b，则称f(x)在a,b上圆滑若xa,b),f(x0),f(x0)存在；x(a,b,f(x0)，f(x0)存在，且至多存在有限

4、个点的左、右极限不相等，则称f(x)在a,b上按段圆滑几何讲解如图y按段圆滑函数图象是由有限条角点圆滑曲线段组成，它至多有有限个第一类中止点与角点推论若是f(x)是以2为周期的连续函数，且在,上按xR，Ox段圆滑，则f(x)a0ancosnxbnsinnx有2n1定义3设f(x)在(,上有定义，函数称f(x)为的周期延拓二习题解答在指定区间内把以下函数张开为傅里叶级数(1)f(x)x,(i)x,(ii)0 x2；解：(i)、f(x)=x，x(,)作周期延拓的图象以下其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数由系数公式得a0110f(x)dxxdx1xcosnxdx1xd(sinnx)当nann1时，1x

5、sinnx|1sinnxdx0nn，1xcosnx|1cosnxdx(1)n12nnn，f(x)2(1)n1sinnx)为所求所以n1n，x(,(ii)、f(x)=x，x(0,2)作周期延拓的图象以下其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数由系数公式得1122a00f(x)dxxdx20当n1时，1212xsinnx|00sinnxdx0nn，221xcosnx|010cosnxdx2nnn，f(x)2sinnx所以n，x(0,2)为所求n1(2)f(x)=x2,(i)-x,(ii)0 x2；解：(i)、f(x)=x2，x(,)作周期延拓的图象以下其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数由系数公式得a01f(

6、x)dx12dx22x3当n1时，2xcosnx|2n4n2n2cosnxdx(1)n2，2xsinnx|2sinnxdx0n2n2，21)nsinnxf(x)4(，x)为所求所以3n1n2(,解：(ii)、f(x)=x2，x(0,2)作周期延拓的图象以下y其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数由系数公式得a012f(x)dx1x2dx8220034O4x当n122时，24222xcosnx|0cosnxdxn2n20n2422，422nn2xsinnx|0n20sinnxdxn，f(x)42cosnxsinnx34n2n2，x(0,2)为所求所以n1f(x)axx0(ab,a0,b0)bx0 x(

7、3)解：函数f(x)，x(,)作周期延拓的图象以下其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数由系数公式得11(ba)10a0f(x)dxaxdxbxdx20当n1时，f(x)(ba)2(ba)11)x41(2n2cos(2n所以n1)(ab)(1)n1sinnx，x(,)为所求n1n2设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c，有an1c21f(x)cosnxdx,n0,1,2,Lcf(x)cosnxdx，11c2bncf(x)sinnxdxf(x)sinnxdx,n1,2,L证：由于f(x)，sinnx，cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令tx2有1c+2f(t)cosntdt1c+2f(x)

8、cosnxdxan1c2cf(x)cosnxdx从而1f(x)cosnxdx同理可得bn1c21f(x)sinnxdxcf(x)sinnxdx4x0f(x)1110 x34张开成傅里叶级数，并由它推出(1)415L把函数37；11111L(2)3171113175；3111111L657111317(3)解：函数f(x)，x(,)作周期延拓的图象以下其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数由系数公式得1101a0f(x)dxdxdx0440当n1时，101ancosnxdxcosnxdx04041(1)n111n2k1n2n0n2k，f(x)1sin(2n1)x,x(,0)U(0,)故n12n1为所求

9、x1111L(1)2，则4357取；1111L357(2)由4得1111123915L21，111111L于是341257111317；x3111111L3，则4257111317(3)取，3111111L所以6571113174设函数f(x)满足条件f(x)f(x)，问此函数在,内的傅里叶级数拥有什么特点解：由于f(x)满足条件f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)f(x)，即f(x)是以2为周期的函数于是由系数公式得1f(t)dt1f(x)dx000当n1时，2f(x)cosnxdxn2k100n2k2f(x)sinnxdxn2k100n2k，故当f(x)f(x)时，函数f(x)在,内的

10、傅里叶级数的特点是a2k0，b2k05设函数f(x)满足条件：f(x)f(x)，问此函数在,内的傅里叶级数拥有什么特点解：由于f(x)满足条件f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)f(x)，即f(x)是以2为周期的函数于是由系数公式得112f(t)dtf(x)dxf(x)dx000当n1时，200200f(x)cosnxdxn2kn2k1f(x)sinnxdxn2kn2k1，故当f(x)f(x)时，函数f(x)在,内的傅里叶级数的特点是a2k10，b2k106试证函数系cosnx,n0,1,2,L和sinnx,n1,2,L都是0,上的正交函数系，但他们合起来的却不是0,上的正交函数系证：就函

11、数系1,cosx,cos2x,L,cosnx,L，1,1dx，由于n，0cosnx,cosnxcos2nxdx1(cos2nx1)dx0202，又1,cosnxcosnxdx00；m,n，mn时，1cos(mn)xdx1cos(mn)xdx2200所以1,cosx,cos2x,L,cosnx,L在0,就函数系sinx,sin2x,L,sinnx,L，0上是正交系由于n，sinnx,sinnxsin2nxdx1(1cos2nx)dx0202，又m,n，mn时，11cos(mn)xdx0cos(mn)xdx2020所以sinx,sin2x,L,sinnx,L在0,上是正交系但1,sinx,cosx

12、,sin2x,cos2x,L,sinnx,cosnx,L不是0,上的正交系1,sinxsinxdx10实因：0求以下函数的傅里叶级数张开式f(x)xx22,0(1)；f(x)x,0 x2解：2y作周期延拓的图象以下其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数2由系数公式得2O24x4321212a0f(x)dx00当n1时，xdx02x212nsinnx|02n2sinnxdx00，22xcosnx|010cosnxdx12n2nn，f(x)sinnx所以n1n，x(0,2)为所求(2)f(x)1cosx,x；解：f(x)1cosx,x作周期延拓的图象以下其按段圆滑，故可张开为傅里叶级数2x2sinxx0

13、f(x)1cosx2sin222sinx0 x由于2，所以由系数公式得20当n1时，220 x2x42sindxsindx202sinxcosnxdx422(4n21)20sinx2x0bnsinnxdxsinsinnxdx20222421cosnxf(x)n14n2,)所以1，x(f(0)f(0)2f()而x2时，故f(x)22421cosnx，xn14n21,为所求(3)f(x)ax2bxc,(i)0 x2,(ii)x；解：(i)由系数公式得1282abxc)dx2b2c(ax230当n1时，4an2，4a2nn，f(x)ax2bxc42acb故34a4a2bn1n2cosnxnsinnx

14、,x(0,2)为所求由系数公式得a01f(x)dx1(ax2bxc)dx22a2c3当n1时，(1)n4a2n，(1)n12b，f(x)ax2bxc22ac故3(1)n4a2cosnx(1)n2bsinnx,x(,)n1nn为所求(4)f(x)chx,x；解：由系数公式得a01f(x)dx1chxdx2sh当n1时，n2sh1(1)n2n2an，an(1)n2sh所以(n21)1shxsinnx|1chxsinnxdx1n2n2n2bn，所以bn0，f(x)chx2sh1(1)n1cosnx故2n1n21，x(,)为所求(5)f(x)shx,x解：由系数公式得1f(x)dx1shxdx0a01

15、shxcosnxdx0当n1时，ann121(1)nshn2bn，bn(1)n12nshx所以(n21)，f(x)shx(1)n12nshsinnx故n1(n21)，x(,)为所求11226x28f(x)(3x2)n1n26求函数12的傅里叶级数张开式并应用它推出f(x)ax2bxc42abc解：由34a4a2b)得n1n2cosnxnsinnx,x(0,21cosnx，x(0,2)n1n22f(00)f(20)6而，故由收敛定理得2f(00)f(20)1162n1n2cos0n1n29设f(x)为,上圆滑函数，f()f()且an,bn为f(x)的傅里叶系数，an,bn为f(x)的导函数f(x

16、)的傅里叶系数证明a00,annbn,bnnan(n1,2,L)证：由于f(x)为,上圆滑函数，所以f(x)为,上的连续函数，故可积由系数公式得a01f(x)dx1f()f()01f(x)cosnxdx当n1an时，1f(x)cosnx|nf(x)sinnxdxnbn故结论成立a0(ancosnxbnsinnx)102中的系数an,bn满足关系证明：若三角级数n1supn3an,n3bnMn，M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数拥有连续的导函数u0(x)a0证：设2，un(x)ancosnxbnsinnx，n1,2,L则n0，un(x)在R上连续，且u0(x)0，un(x)nansinnx

17、nbncosnx亦在R上连续又xR，un(x)nansinnxnbncosnx2M2n2M而n2收敛，所以un(x)nbncosnxnansinnx在R上一致收敛a0(ancosnxbnsinnx)s(x)故设2n1，则s(x)(nancosnxnbnsinnx)且n1在R上连续15.2以2l为周期的函数的张开一基本内容一、以2l为周期的函数的傅里叶级数xlt设f(x)是以2l为周期的函数，作代替，则F(t)ltf是以2为周期的函数，且f(x)在(l,l)上可积F(t)在(,)上可积a0ancosntbnsinntF(t):于是2n1，an11F(t)sinntdt其中F(t)cosntdt,

18、bntxl得令F(t)fltf(x)sinntsinnx,cosntcosnx，ll，a0nxnx从而f(x):2ancoslbnsinln1an1lf(x)cosnxdx,ll其中lbn1lf(x)sinnxdxlll上式就是以2l为周期的函数f(x)的傅里叶系数在按段圆滑的条件下，亦有f(x0)f(x0)a0nxnx22ancosbnsinn1ll其只含余弦项，故称为余弦级数同理，设f(x)是以2l为周期的奇函数，则f(x)cosnx奇，f(x)sinnx偶1lf(x)cosnxdx0anl于是ll，1lnx2bnf(x)sindxllllf(x):a0nx2n1ansin从而l其只含正弦

19、项，故称为正弦级数由此可知，函数l0nxf(x)sindxly要张开为余弦级数必定作偶延拓%f(x)x(0,l)f(x)f(x)x(l,0)，偶延拓函数f(x),x(0,l)要展开为正弦级数必定作奇延拓奇延拓lOlxylOlx%f(x)x(0,l)f(x)f(x)x(l,0)二习题解答求以下周期函数的傅里叶级数张开式(1)f(x)cosx(周期)；解：函数f(x)cosx，x,22延拓后的函数以以下列图yf(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又l3O3x因2，所以由系数公式得222242a042cosxdx2cosxdx20当n1时，(1)n2(1

20、)n12(1)n141)(2n1)(2n1)(4n222cosxsinnxdx0bn2f(x)cosx24(1)n11cos2nx故n14n21，x(,)为所求(2)f(x)xx(周期1)；解：函数f(x)xx，x1,122延拓后的函数以以下列图由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数l1因2，所以由系数公式得111a0221xxdx2xxdx2xdx1200当n1时，1111xsin2nx|0n0sin2nxdx0n1xcos2n1111x|00cos2nxdxnnnf(x)xx111sin2nx,)为所求故2n1n，x(3)f(x)sin4x(周期)；解：函数f(x)sin4x，x2,

21、2延拓后的函数以以下列图由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数l因2，所以由系数公式得420311cos4xdx3cos2x8284当n1时，12n10n1,n21n2822cosxsinnxdx0bn2f(x)sin4x31cos2x1cos4x)为所求故828，x(,f(x)sgn(cosx)(周期2)解：函数f(x)sgn(cosx)，x(,)延拓后的函数以以下列图由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数因l，所以由系数公式得a012sgn(cosx)dx0sgn(cosx)dx0an2sgn(

22、cosx)cosnxdx当n1时，00n2k4n(1)k4n2k1sin(2kn21)bn2sgn(cosx)sinnxdx0f(x)sgn(cosx)4(1)ncos(2n1)x故n12n1，x(,)x0 x1f(x)11x22求函数3x2x3的傅里叶级数并谈论其收敛性解：函数f(x)，x(0,3)延拓后的函数以以下列图由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数3l因2，所以由系数公式得232122234a0f(x)dxxdx3dx(3x)dx30301323当n1时，32cos2n3n23n22bn2f(x)sinnxdx0故f(x)2311co

23、s2ncos2nx32n1n2n233，x(,)为所求3f(x)2x上张开成余弦级数将函数在0,f(x)2x0,作偶延拓后的函数以以下列图解：函数，x由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数由系数公式得a2xdxx1x20002220当n1时，4n2k1n20n2kbn0f(x)x412cos(2n1)x,x0,(2n故2n11)f(x)cosx在0,上张开成正弦级数4将函数2f(x)cosx0,作偶延拓后的函数以以下列图解：函数2，x由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是奇函数，故其张开式为正弦级数由系数公式得an0,n0,1

24、,2,L8n(4n21)故在0,f(x)cosx8nsinnx上2n14n21为所求f(x)1x0 x2x32x45把函数在(0,4)上张开成余弦级数解：函数f(x)，x(0,4)延拓后的函数以以下列图由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数因l4，所以由系数公式得a02412x)dx143)dx04f(x)dx2(12(x002an24f(x)cosnxdx当n1时，404f(x)1x0 x281cos(2n1)x所以x32x42n1(2n1)22为所求6把函数f(x)2x1在(0,1)上张开成余弦级数，并推出26111L2232解：函数f(x)

25、，x(0,1)延拓为以2为周期的函数以以下列图由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数因l4，所以由系数公式得1)2dx2a02f(x)dx2(x11003an211)2cosnxdx当n1(x时，04n22bn0(x2141cosnx,x0,1所以1)32n1n2141120得1令x32n1n2，即n1n26求以下函数的傅里叶级数张开式(1)f(x)arcsin(sinx)；解：函数f(x)arcsin(sinx)是以2为周期的函数以以下列图由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是奇函数，故其张开式为正弦级数由系数公式得an0,

26、n0,1,2,L所以f(x)4(1)narcsin(sinx)n1(2n1)2sin(2n1)x，xR(2)f(x)arcsin(cosx)解：函数f(x)arcsin(cosx)是以2为周期的函数以以下列图y由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数2由系数公式得a0230O32x0arcsin(cosx)dx2222，当n1时，0n2k42n2k1nbn0,n1,2,Lf(x)arcsin(cosx)41cos(2n1)x2所以n1(2n1)，xR0,2f(x)延拓到区间,内，使他们的傅里叶级数为如8试问如何把定义在上的可积函数下的形式a2n1c

27、os(2n1)x(2)b2n1sin(2n1)x(1)n1；n1解：(1)先把f(x)延拓到0,上，方法以下：f(x)0 xf(x)2f(x)2x；再把f(x)延拓到0,2上，方法以下：f?(x)f(x)0 xf(2x)x2其图象以下由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数由系数公式得a02f(x)dx00，12bnf(x)sinnxdx0当n1时，042f(x)cosnxdxn2k100n2kf(x)a2n1cos(2n1)xx0,所以n12(2)先把f(x)延拓到0,上，方法以下f(x)0 x2f(x)f(x)2x；再把f(x)延拓到0,2上，

28、方法以下f?(x)f(x)0 xf(2x)x2其图象以下yyf(x)3f(x)是偶函数，故其张开式为余弦级数由于f(x)按段圆滑，所以可张开为傅里叶级数，又22由系数公式得O2x2f(x)dx02a00，12anf(x)cosnxdx0当n1时，042f(x)sinnxdxn2k100n2kf(x)b2n1sin(2n1)xx0,所以n1215.3收敛定理的证明一基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1设f(x)在,上可积，则a02an2bn21f2(x)dx2n1,其中an,bn为f(x)的傅里叶系数推论1设f(x)在,上可积，则limf(x)cosnxdx0limf(x)sinnxd

29、x0n,n推论2设f(x)在,上可积，则lim0f(x)sinn1xdx0n2，lim0f(x)sinn1xdx02n定理2设以2为周期的函数f(x)在,上可积，则1sinn1tf(xt)2dt2sint，此称为f(x)的傅里叶级数的部分和的积分表达式二、收敛性定理的证明定理3(收敛性定理)设以2为周期的函数f(x)在,上按段圆滑，则limf(x0)f(x0)Sn(x)022n，定理4若是f(x)在,上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则f(x0)f(x0)a0ancosnxbnsinnx22n1定理5若是f(x)在,按段单调，则f(x0)f(x0)a0ancosnxbnsinnx22n1二

30、习题解答1设f(x)以2为周期且拥有二阶连续的导函数，证明f(x)的傅里叶级数在(,)上一致收敛于f(x)证：由题目设知f(x)与f(x)是以2为周期的函数，且圆滑，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)故2n1，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)2n1，a01f(x)dx1f()f()0且an1f(x)cosnxdx当n1时，1f(x)cosnx|nf(x)sinnxdxnbnanbnanbn1211bn21nn2ann22n2于是122)1(anbn22n(an2bn2)1由贝塞尔不等式得n1收敛，又n1n2收敛，a0anbn从而2n1收敛，a0(ancosnxbnsinn

31、x)故2n1)在(,2设f为,上可积函数，证明：若f上一致收敛的傅里叶级数在,上一致收敛于f，则成立贝塞尔(Parseval)等式1f2(x)dxa02an2bn22n1，这里an,bn为f的傅里叶系数a0mancosnxbnsinnxSm证：设2n1，由于f(x)的傅里叶级数在,上一致收敛于f(x)，所以0,N0，“mN,x,f(x)Sm”于是f(x)Sm,f(x)Sm2而2mf2(x)dxa0a2b22n1nn所以mN时，2mf2(x)dxa0an2bn222n1，a02221f2(x)dx2anbn故n13由于贝塞尔等式对于在,上满足收敛定理条件的函数也成立请应用这个结果证明以下各式21

32、2141(1)8n1(2n1)2；(2)6n1n2；(3)90n44x0f(x)解：(1)取40 x，由1习题3得f(x)sin(2n1)x,x(,0)U(0,)n12n1121dx1)2由贝塞尔等式得16n1(2n，211)2即8n1(2n(2)取f(x)x,x(,)，由1习题1(1)得f(x)2(1)n1sinnx,x(,)n1n1(1)n122x2dx由贝塞尔等式得n1n，21故6n1n2(3)取f(x)x2,x,，由1习题1(2)得22ncosx,)x34n1(1)n2,x(22(1)n21x4dx14由贝塞尔等式得23n1n2，41故90n44证明：若f,g均为,上可积函数，且他们的

33、傅里叶级数在g，则1f(x)g(x)dxa00(ann2n1,上分别一致收敛于f和bnn)其中an,bn为f的傅里叶系数，f(x)a02证：由题设知g(x)021f(x)g(x)dx于是n,n为g的傅里叶系数(ancosnxbnsinnx)n1，(ncosnxnsinnx)n1f(x),g(x)f(x),0a0ancosnxbnsinnx,0而22n12ancosnx,ncosnxann，bncosnx,ncosnxbnn，1a00(anbnn)f(x)g(x)dxn所以2n15证明若f及其导函数f均在f(x)dx0,上可积,f()f()，且成立贝塞尔等式，则f2dx2(x)f(x)dx证：由

34、于f(x)、f(x)在,上可积，f(x)dx0，f()f()，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)设2n1，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)2n1，由系数公式得a011f()f()0f(x)dxan1f(x)cosnxdx当n1时，1f(x)cosnx|nf(x)sinnxdxnbn于是由贝塞尔等式得2f(x)dx总练习题15试求三角多项式的傅里叶级数张开式nA0(AkcoskxBksinkx)Tn(x)解：由于2k1是以2为周期的圆滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得a0Tn(x),1A0n(AkcoskxBksinkx),1A02k1，当k1时，A0n(AkcoskxBksinkx),coskxAkkn2k10kn，A0nBkkn(AkcoskxBksinkx),sinkx2k10kn，nTn(x)A0(AkcoskxBksinkx)故在(,2)，k1的傅里叶级数就是其自己2设f为,上可积函数，a0,ak,bk(k1,2,L,n