第四章碱金属原子和电子自旋

1、4.1 碱金属原子光谱碱金属原子光谱和能级和能级4.2 原子实的极化和轨道的贯穿原子实的极化和轨道的贯穿4.3 碱金属原子光谱的碱金属原子光谱的精细结构精细结构4.4 电子轨道运动的磁矩、电子轨道运动的磁矩、Stern-Gerlach实验实验4.5 电子的自旋电子的自旋及自旋轨道相互作用及自旋轨道相互作用4.6 光谱精细结构与光谱精细结构与Stern-Gerlach实验的解释实验的解释请大家回忆氢原子和类氢离子的光谱和能级的规律请大家回忆氢原子和类氢离子的光谱和能级的规律回忆原子回忆原子光谱的一光谱的一般特征！般特征！1、碱金属原子光谱具有原子光谱的一般规律性；、碱金属原子光谱具有原子光谱的一

2、般规律性；2、通常可观察到四个谱线系。、通常可观察到四个谱线系。 主线系主线系（也出现在吸收光谱中也出现在吸收光谱中, Principal Series）；）； 第二辅线系第二辅线系（又称又称锐线系锐线系, Diffuse Series）；）； 第一辅线系第一辅线系（又称又称漫线系漫线系, Sharp Series）；）； 柏格曼系柏格曼系（又称又称基线系基线系, Fundamental Series）。）。图图4.1 锂的光谱线系锂的光谱线系400003000020000100002500300040005000600070001000020000波数波数 (cm-1 )波长波长( () )

3、主线系主线系漫线系漫线系锐线系锐线系基线系基线系初初初初终终TTTnRmR22（第第二二谱谱项项）系系限限）nRn(1、分析：、分析：每个线系的每条光谱线的波数都可以表示每个线系的每条光谱线的波数都可以表示为两个光谱项之差为两个光谱项之差: :二、碱金属原子的光谱项碱金属原子的光谱项22)(lnlnRnRT 量子数亏损量子数亏损： （由于存在内层电子）（由于存在内层电子）nnl表表3.1 锂的光谱项值和有效量子数锂的光谱项值和有效量子数数据来源 电子态34567主线系第二辅线系 第一辅线系 柏格曼系s,l=0p, l=1d, l=2f,l=3Tn*Tn*Tn*Tn*T43484.41.5892

4、8581.41.96027419.416280.52.59612559.92.95612202.52.99912186.48474.13.5987017.03.9546862.53.9996855.54.0006854.85186.94.5994472.84.9544389.25.0004381.25.0044387.13499.65.5993094.45.9553046.96.0013031.03046.62535.36.5792268.96.9542239.47.0002238.30.400.050.0010.000n=2氢22)()2(pSpnnRR22)()2(spsnnRR22)()

5、2(dpdnnRR22)()3 (fdfnnRR，n = 2, 3, 4，n =3,4,5，n =3,4,5， n =4,5,6Na原子的？原子的？010000200003000040000厘米-126707主线系1869761038126一辅系二辅系柏格曼系2233334444555545 s=0 p=1 d=2 f=3H67图图3.2 锂原子能级图锂原子能级图 Na原子的？原子的？1、锂原子的能级图、锂原子的能级图三、能级和能级跃迁三、能级和能级跃迁22*)(nRhcnRhchcTEnlnl22)(lnlnRnRT光谱项和能级公式光谱项和能级公式:4、n很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线

6、的波很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线的波数几乎与氢的相同。数几乎与氢的相同。1 1、能量由能量由（n, l）两个量子数决定，主量子数两个量子数决定，主量子数n 相同、相同、角量子数角量子数 l 不同的能级的高低差别很明显；不同的能级的高低差别很明显；3、n相同时，能级的间隔随相同时，能级的间隔随 l 的增大而减小，的增大而减小， l相同时，能级的间隔随相同时，能级的间隔随 n 的增大而减小；的增大而减小；2、特别是、特别是n 较小时，如较小时，如 n =2, 3，不同，不同l 的能级差别大的能级差别大: 对于相同的对于相同的n不同不同l 的能级，的能级， l 越小则能级位置越低越小则能级位

7、置越低, 与氢原子相应能级的差别越大与氢原子相应能级的差别越大;主线系：主线系：从从l=1的的p态态n=2, l=0的的2s态态, n=2,3,4 2、锂原子的能级跃迁、锂原子的能级跃迁锐线锐线(二辅二辅)系：系：从从l=0的的s态态n=2, l=1的的2p态态, n=3,4,5漫线漫线 (一辅一辅)系：系：从从l=2的的d态态n=2, l=1的的2p态态, n=3,4,5基线基线(柏格曼柏格曼)系：系：从从l=3的的f态态n=3, l=2的的3d态态, n=4,5,63、Na原子的能级与能级跃迁原子的能级与能级跃迁主线系：主线系：从从l=1的的p态态n=3, l=0的的3s态态, n=3,4

8、 锐线锐线(二辅二辅)系：系：从从l=0的的s态态n=3, l=1的的3p态态, n=4,5漫线漫线 (一辅一辅)系：系：从从l=2的的d态态n=3, l=1的的3p态态, n=4,5基线基线(柏格曼柏格曼)系：系：从从l=3的的f态态n=3, l=2的的3d态态, n=4,5,635891主线系一辅系二辅系柏格曼系3344445555666656 s=0 p=1 d=2 f=3H图图3.3 Na原子能级图原子能级图 341、原子实模型、原子实模型Li： Z=3=2 12+1Na：Z=11=2 (12+22)+1K： Z=19=2 (12+22+22)+1Rb：Z=37=2 (12+22+32

9、+22)+1Cs：Z=55=2 (12+22+32+32+22)+1Fr：Z=87=2 (12+22+32+42+32+22)+1 类似之处类似之处： 1个电子（个电子（-e电荷）电荷）+带带1个个单位正电荷的原子单位正电荷的原子“核核” 基态不同基态不同：Li、Na、K、Rb、Cs、Fr的基态依次为的基态依次为： 2s、3s、4s、5s、6s、7s 因而能级、光谱等不同因而能级、光谱等不同 不同之处不同之处： 碱金属的碱金属的“核核”由真正的核（带由真正的核（带+Ze电荷）与内层电电荷）与内层电子（带子（带- -(Z- -1)e电荷）组成电荷）组成 相当于价电子在相当于价电子在n 很大的轨道

10、上运动，价电很大的轨道上运动，价电子与原子实间的作用很弱，原子实电荷对称分布，子与原子实间的作用很弱，原子实电荷对称分布，正负电荷中心重合在一起，有效电荷为正负电荷中心重合在一起，有效电荷为+e，价电价电子好象处在一个单位正电荷的库仑场中运动，与子好象处在一个单位正电荷的库仑场中运动，与氢原子模型完全相似，所以光谱和能级与氢原子氢原子模型完全相似，所以光谱和能级与氢原子相同。相同。2、价电子绕原子实运动的情况价电子绕原子实运动的情况 -e价电子远离原子实价电子远离原子实（2）价电子靠近原子实运动）价电子靠近原子实运动22*)/(nRZnR22nRZT-e价电子靠近原子实，价电子靠近原子实，使原

11、子实极化使原子实极化小结：小结： n越小，轨道半径越小，价电子与内层电子作用越越小，轨道半径越小，价电子与内层电子作用越强，极化作用越明显；强，极化作用越明显；n越大，轨道半径越大，极越大，轨道半径越大，极化作用越弱化作用越弱 轨道贯穿只发生在轨道贯穿只发生在 l 值小因而偏心率大的轨道，因值小因而偏心率大的轨道，因此，碱金属的那些离氢原子能级较远的能级，轨道此，碱金属的那些离氢原子能级较远的能级，轨道一定是贯穿的，一定是贯穿的， l 值小；而那些接近氢原子的能级，值小；而那些接近氢原子的能级，轨道不是贯穿的，但存在原子实的极化，轨道不是贯穿的，但存在原子实的极化， l 值较大。值较大。 a非

12、贯穿轨道非贯穿轨道 b贯穿轨道贯穿轨道 价电子的轨道运动价电子的轨道运动reZrV02*4)(2002*44)(repreZrV2)(),(lnRlnT2)(lnnRhcE) 12(4220lepl远离原子实运动：远离原子实运动：靠近原子实运动：靠近原子实运动：能量和光谱项能量和光谱项- e图图4-5、轨道的贯穿、轨道的贯穿22nlRr 21 201rr0 4n=21rr22nlRr 32 31 300 9n=3 l 越小，电子波越小，电子波函数靠近核的概率函数靠近核的概率越大，贯穿的几率越大，贯穿的几率越大，能量越低越大，能量越低nPSTT 2nDpTT2nFDTT3，n = 2, 3, 4

13、，n =3,4,5，n =3,4,5， n =4,5,6nSPTT2nPSTT 3nDpTT3nFDTT3，n = 3, 4，n =4,5，n =3,4,5， n =4,5,6nSPTT322*)(nhcRnhcRhcTEn2. 光谱项光谱项与能级与能级22*22*)(:nRnRnRZnT光光谱谱项项4、n很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线的波很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线的波数几乎与氢的相同。数几乎与氢的相同。1 1、能量由能量由（n, l）两个量子数决定，主量子数两个量子数决定，主量子数n 相同、相同、角量子数角量子数 l 不同的能级的高低差别很明显；不同的能级的高低差别很明显；3

14、、n相同时，能级的间隔随相同时，能级的间隔随 l 的增大而减小，的增大而减小， l相同时，能级的间隔随相同时，能级的间隔随 n 的增大而减小；的增大而减小；2、特别是、特别是n 较小时，如较小时，如 n =2, 3，不同，不同l 的能级差别大的能级差别大: 对于相同的对于相同的n不同不同l 的能级，的能级， l 越小则能级位置越低越小则能级位置越低, 与氢原子相应能级的差别越大与氢原子相应能级的差别越大; l=11、实验事实：、实验事实：碱金属原子光谱有相仿的精细结构：碱金属原子光谱有相仿的精细结构：主线系（主线系（np 2s）：双线，间距不断缩小，只有一条系限；）：双线，间距不断缩小，只有一

15、条系限；二辅系（二辅系（ns 2p）：双线，间距不变，两个系限，间距与主线）：双线，间距不变，两个系限，间距与主线系第系第1条线间距相同；条线间距相同；一辅系（一辅系（nd 2p）：三线，最外两线间距不变，波数较小的两）：三线，最外两线间距不变，波数较小的两线间距不断缩小，并入一个系限，最后是线间距不断缩小，并入一个系限，最后是两个系限，间距与锐线系相同两个系限，间距与锐线系相同snp2 例如钠的黄色光谱线，就是它的主线系的第一条线，是例如钠的黄色光谱线，就是它的主线系的第一条线，是由波长为由波长为5890和和5896的两条分线构成。的两条分线构成。碱金属原子三个线系的精细结构示意图碱金属原子

16、三个线系的精细结构示意图主线系主线系第二辅线系第二辅线系第一辅线系第一辅线系线线 第第 第第 第第 第第 系系 四四 三三 二二 一一限限 条条 条条 条条 条条 碱金属原子的碱金属原子的s能级是单层的，其余的能级是单层的，其余的p、d、f 等是双层的；等是双层的； 对于同一个对于同一个l（如（如 p 或或 d 或或 f 能级），双层能能级），双层能级间的间隔随级间的间隔随 n 增加而减小；增加而减小； 对于同一个对于同一个n，双层能级的间隔随，双层能级的间隔随 l 的增加而的增加而减小，例如减小，例如4d 双层能级间隔小于双层能级间隔小于4p 的间隔，的间隔，4f 小于小于4d 的间隔。的间

17、隔。 总之，总之，碱金属原子能级是双层的，只有碱金属原子能级是双层的，只有s s能级能级是单层的。是单层的。3、结论、结论电子轨道运动相当于一个闭合电电子轨道运动相当于一个闭合电流，其电流为：流，其电流为：/ei一个周期扫过的面积一个周期扫过的面积：mLLdtmdtmrmdtrrdrA2212121210020220ziLmeiA2电子轨道磁矩：电子轨道磁矩：Lme2或或，0FBM电子轨道磁矩在均匀外磁场中电子轨道磁矩在均匀外磁场中：而在非均匀磁场中而在非均匀磁场中： 磁场方向沿磁场方向沿z 轴，随轴，随z的变化率为的变化率为dzdBdzdBdzdBFzzcos合力合力cosz：在外场方向的投

18、影在外场方向的投影 2、电子的、电子的Larmor进动进动dBdPJPJ JJBM受受力力矩矩作作用用：考虑电子轨道磁矩在考虑电子轨道磁矩在均匀外场均匀外场中中：由角动量定理由角动量定理：BLBMdtLd叫叫旋旋磁磁比比其其中中，me2LLme2进动的角速度为电子绕外场其中LarmorBBdtLddtd3电子轨道磁矩及其分量的量子力学形式电子轨道磁矩及其分量的量子力学形式) 1( llL1,2 , 1 , 0nl轨道角动量轨道角动量：lzmL lml, 2, 1, 0外场方向投影外场方向投影：12 l 共共 个个轨道磁矩轨道磁矩：BllLme) 1(2轨道磁矩在外场方向投影轨道磁矩在外场方向投

19、影：BlzezmLme2 轨道磁矩及其轨道磁矩及其z方向的分量是量子化的，它源于轨道方向的分量是量子化的，它源于轨道角动量及其分量的量子化。与轨道及轨道角动量在外场中角动量及其分量的量子化。与轨道及轨道角动量在外场中的取向类似，轨道磁矩不可能与外场平行或反平行。的取向类似，轨道磁矩不可能与外场平行或反平行。 n=+1n =1n=+2n =2n=+3n=30-1+10-1-2+2+10-1-2-3, 3 , 2 , 1n, 3 , 2 , 1n个个共共nnn, 2 , 1个共nnl1, 2 , 1 , 0nLP) 1( llL个共12, 1,nnnnn个共12, 1,llllmnP mLzBen

20、pme2BelllLme) 1(2BznBlzlm,量子力学与量子力学与Bohr-Sommerfeld理论的比较理论的比较Bohr-Sommerfeld理论理论量子力学量子力学主量子数主量子数角量子数角量子数 角动量角动量磁量子数磁量子数角动量分量角动量分量轨道磁矩轨道磁矩磁矩磁矩z z向投影向投影4、施特恩施特恩盖拉赫盖拉赫(Stern-Gerlach)实验实验 Stern-Gerlach 1921年首次对原子在磁场中（角动量年首次对原子在磁场中（角动量/磁矩）磁矩）的空间量子化进行了实验观察，的空间量子化进行了实验观察，1943年年Nobel-P方向相反。方向相反。与与时，时，方向相反。方

21、向相反。与与时，时，BfBfdZdBdZdBfZz9090cos目的：证明原子在外磁场中的空间量子化。目的：证明原子在外磁场中的空间量子化。原理：磁矩为原理：磁矩为 的小磁体，在横向非均匀磁场的小磁体，在横向非均匀磁场中受到的合力不为零：中受到的合力不为零：无磁场有磁场NS结果：结果：相片相片P上有两条黑斑，两者对称分布，表明上有两条黑斑，两者对称分布，表明Ag原子经不均匀磁场时分为两束。原子经不均匀磁场时分为两束。结论：结论： 1). 基态银原子有磁矩，且基态银原子有磁矩，且 Z= B; 2). 磁矩相对于磁场的取向有两种可能；磁矩相对于磁场的取向有两种可能；存在问题：存在问题：理论上预言应

22、分为理论上预言应分为2l+1束束, 即奇即奇 数束。实验上是两束，为偶数数束。实验上是两束，为偶数?!cos)(21)(21)(21212222vLdZdBmvLdZdBmvLmfatSZ一、电子自旋一、电子自旋21) 1( ssPscsmmrv/1010101 . 914. 341063. 6210153134 电子自旋的特点：电子自旋的特点： （1）自旋与轨道（空间）运动的状态无关）自旋与轨道（空间）运动的状态无关 （2）自旋量子数）自旋量子数 s =1/2 （3）自旋角动量是量子化的自旋角动量是量子化的 23) 121(21) 1(ssPs21sszmP21sm(4) 自旋角动量在外场方

23、向投影自旋角动量在外场方向投影 (5) 磁量子数磁量子数自旋角动量相对外场自旋角动量相对外场的取向只有两种的取向只有两种电子的运动电子的运动=轨道运动轨道运动+自旋运动自旋运动 二、电子的总角动量二、电子的总角动量 ) 1( llPl12 , 1 , 0nl轨道角动量轨道角动量：) 1( ssPs2/1s自旋角动量自旋角动量：SLJ) 1( jjPj总角动量总角动量： sl 1sl, slj其其中中总总角角动动量量量量子子数数： ，12 lsl 当当 时时, 共共 个值个值sl 当当 时时, 共共12 s 个值个值;注：量子数一定注：量子数一定0；磁量子数才可能；磁量子数才可能为负为负2) 1

24、(llPl23) 1(ssPs23,215) 1(jjPjLS和和不可能平行或反平行不可能平行或反平行，而是有一定的夹角，而是有一定的夹角 cos2222slsljPPPPP) 1() 1(2) 1() 1() 1(2cos222ssllsslljjPPPPPslslj2/1s对对于于单单电电子子原原子子，2/1, 3 , 2 , 1; 2/1, 0ljlsjl则则若若则则若若这正是碱金属原子的情形：这正是碱金属原子的情形：s能级单层，能级单层，p,d,f 能级双层能级双层2321211, 1，则则例例如如：jl当当slj 时时S0) 1() 1(cosssslllo90L ， 称称 和和 “

25、平行平行”SL当slj 时0) 1() 1(1cosssslllo90 ，称称 和和 “反平行反平行”1、电子自旋磁矩、电子自旋磁矩：ssPme)2(llPme对比：对比：esesmessPme) 1( 或或，外场方向投影外场方向投影：Bssseszgmmme三、电子自旋磁矩与总磁矩三、电子自旋磁矩与总磁矩Bsesgssmegss) 1(2) 1(12lsggg因因子子；相相应应地地，轨轨道道叫叫自自旋旋的的其其中中注意！注意！2、朗德（、朗德（Lande）g 因子因子12lsgg；轨道；轨道显然，自旋显然，自旋实际上，实际上，Lande的的 g 因子可以表示为：因子可以表示为：为使磁矩与相应

26、角动量的关系有统一的表达式，定义为使磁矩与相应角动量的关系有统一的表达式，定义g 因子，因子，使得任意角动量使得任意角动量Pj（量子数（量子数 j ）、相应的磁矩可表为：）、相应的磁矩可表为：) 1( jjPjBjjgjj) 1( jjjjmmPjjjz, 2, 1,其其中中Bjjzjgm,为为单单位位方方向向的的投投影影，以以角角动动量量在在为为单单位位，以以测测量量到到的的zgBzsljlsPPP,eslsljjjmesjPljPsjljP2cos2coscoscos叫原子的总磁矩叫原子的总磁矩方向的分量方向的分量在在jsljlPPPPljP2cos222jsljsPPPPsjP2cos2

27、22ejsljjsljjmePPPPPPPP2222222222jejjejsljPmegPmePPPP2221 2222) 1(2) 1() 1() 1(1212222jjsslljjPPPPgjsljjBjjjjg) 1( 四、自旋四、自旋- -轨道相互作用轨道相互作用 由于电子具有轨道角动量和轨道磁矩，在空间产由于电子具有轨道角动量和轨道磁矩，在空间产生磁场生磁场, ,电子又具有自旋角动量和自旋磁矩，在空间电子又具有自旋角动量和自旋磁矩，在空间也产生一个磁场也产生一个磁场, , 这两个磁场的相互作用使原子获这两个磁场的相互作用使原子获得附加能量得附加能量, ,这就是这就是自旋自旋- -轨

28、道相互作用能量轨道相互作用能量 E。coslslslsBBE电子在轨道运动中如何感受磁场的示意图电子在轨道运动中如何感受磁场的示意图B-erZ*emv-erZ*eB PSvsllslspprcmeZBE32220141sspme 3*03*0304)(4)(4rpmeZrmrmeZrrqBlcos2222slsljppppp显显然然，slsljppppp2222或或，21222sljslppppp22223222021241sljrcmeZEls考虑相对论效应考虑相对论效应*2)1() 1() 1(22122222222sljsslljjpppppsljsl根据量子力学根据量子力学 对某一状态

29、 的平均值第一玻尔半径第一玻尔半径精细结构常数精细结构常数里德堡常数里德堡常数31r)21)(1(133133lllnaZr13714120cechmeR32042)4(2mmena102220110529. 042) 1)(21(222342sjnZRchEs附加能量附加能量附加光谱项附加光谱项2) 1)(21(222342sljlllnZRhcETlsls附加能量附加能量2) 1)(21(222342sjnZRchEs) 1)(12(34*22/1llnZRchElj) 12(34*22/1llnZRchEljeVllnZllnZRchEEll434*34*22/ 12/ 11025. 7

30、) 1() 1(221laTlj2121laTlj1342184.5)1()21(cmllnZlaTT双层能级间隔用波数表示：双层能级间隔用波数表示：)1)(21(342lllnZRa=1=2=3j=3/2j=1/2j=3/2j=5/27/25/2T2=-a1/2T1=a1双层能级的相对间隔（双层能级的相对间隔（n相同）相同）-a23/2a2-3/2a32a3讨论：讨论：1、当、当l0时，由于轨道运动产生磁场时，由于轨道运动产生磁场，而自旋磁矩有而自旋磁矩有2个个取向取向, 因而能级分裂为双层；当因而能级分裂为双层；当l=0时，没有相应的磁场，时，没有相应的磁场，也就没有任何附加能量，也就没有

31、任何附加能量，能级是单层的。这就是为什么能级是单层的。这就是为什么S是单层，其他为双层的。即：是单层，其他为双层的。即： 当当l=0时，时，j=s，能级不分裂；，能级不分裂；，能级双层分裂。，能级双层分裂。时，时，当当210ljl2、由于轨道磁场、由于轨道磁场B的方向与的方向与P 相同，相同，与与 s 方向相反，因而方向相反，因而当当P 与与Ps的夹角小于的夹角小于90时，时， E为正；反之，为正；反之， E为负。为负。 因而因而 j 值大的能级高于值大的能级高于 j 值小的值小的。3、能级由、能级由n,l,j 决定决定，n,l 相同相同j不同的能级间隔为：不同的能级间隔为：n一定时，一定时，

32、l 越小分裂越大；越小分裂越大；l 一定时，一定时，n越小分裂越大：越小分裂越大：;444fdpEEEpppEEE432eVllnZllnZRchEnl434*34*21025. 7) 1() 1(4、双重能级的间隔与、双重能级的间隔与Z*4成正比，因而氢成正比，因而氢(Z*=1)的能级的能级间距比其他碱金属的都小。间距比其他碱金属的都小。 5、单电子原子中，起主要作用的、单电子原子中，起主要作用的是是静电相互作用静电相互作用，它给出，它给出了能谱的粗结构能量量级为了能谱的粗结构能量量级为 Rhc 13.6eV； 而而L-S耦合即磁相互作用，给出了能级的精细结构，数耦合即磁相互作用，给出了能级

33、的精细结构，数量级是量级是 Rhc 2 2 10-4eV，能级精细结构分裂比能级间的能量，能级精细结构分裂比能级间的能量差小差小45个数量级；个数量级；碱金属中，轨道贯穿、原子实碱金属中，轨道贯穿、原子实极化引起同一极化引起同一n不同不同l 的能级较的能级较大的差别，这仍是静电作用决大的差别，这仍是静电作用决定的粗结构定的粗结构例例: 氢原子氢原子2p能级和钠原子能级和钠原子3p能级的分裂的比较能级的分裂的比较 2s+1=2j=l+1/2 j=l-1/20, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, S, P, D, F, G, H, I, J, K, 2s+1l jn主量子数主量子数n

34、=1,2,3,4价电子的状态符号价电子的状态符号原子态符号原子态符号nj0001112232/ 12/ 12/ 32/ 51s2p2s3s2p3p3p3d3d2/12S2/ 12S2/ 12P2/32P2/12S2/ 12P2/32P2/32D2/52D表表3.2 碱金属原子态的符号碱金属原子态的符号2/ 12/ 12/ 12/ 32/ 31l1,0 j主量子数主量子数n的改变不受限制。的改变不受限制。跃迁选择定则可由量子力学理论推导。跃迁选择定则可由量子力学理论推导。2/32P2/12P2/12S2/52D2/32D2/52F2/72F2/ 12S2/32P2/12P2/32P2/12P2/52D2/32D主线系主线系 l=-1, j=0,-1 锐线系锐线系 l=+1, j=0,+1 漫线系漫线系 l=-1, j=0,-1 基线系基线系 l=-1, j=0,-1 2/32