二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现

1、二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现论文关键词：二分法单变量非线性方程收敛性误差论文摘要：本文主要通过一个实例来研究单变量非线性方程fx=0的二分法求解及此方法的收敛性，根据误差估计确定二分次数并进展求解。同时实现atlab和语言程序编写。从而掌握过程的根本形式和二分法的根本思想，在以后的学习过程中得以应用。1.引言在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程那么无准确的求根公式，至于超越方程就更无法求其准确解了。因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似

2、根也就成为了我们迫切需要解决的问题。近年来，随着数学科学研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。我们知道，对于单变量非线性方程fx=0，一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。2.二分法一般地，对于函数f(x),假如存在实数,当x=时f()=0,那么把x=叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的所有零点。先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f(a+b)/2,如今假设f(a)0,f(b)0,ab假如f(a+b)/2=0，该点就是零点，假如f(a+b)/20,那么在区间(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=a，从开场继续使用中点函数值

3、判断。假如f(a+b)/20，那么在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=b，从开场继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。给定准确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1.确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定准确度.2.求区间(a,b)的中点.3.计算f().(1)假设f()=0,那么就是函数的零点;(2)假设f(a)f()0,那么令b=;(3)假设f()f(b)0,那么令a=.4.判断是否到达准确度:即假设a-b,那么得到零点

4、近似值a(或b),否那么重复2-4.由于计算过程的详细运算复杂，但每一步的方式一样，所以可通过编写程序来运算。3.实例引入二分法求解单变量非线性方程的例子很多，仅以此例进展分析：求方程fx=x-x-1=0在区间1.0，1.5内的一个实根，要求准确到小数点后第2位。4.问题分析对于以上单变量非线性方程，a=1.0，b=1.5，采用二分法求解。首先我们根据二分法所允许的误差范围求得应迭代次数。二分法允许的误差公式：|x*-|(-)/2=b-a/0.005，其中k为二分次数。所以求得此题应二分6次到达预定的精度。5.解题过程这里a=1.0，b=1.5，而fa0，fb0。a,b的中点x0=1.25，将

5、区间二等分。由于fx00,即fx0与fa同号，故所求根x*必在x0右侧，这是应令a1=1.25，b1=1.5，得到新的有根区间a1，b1.如此反复二分6次，结果如下：k/二分次数/区间左边界值/右边界值f()的符号1234561.01.251.31251.32031.51.3751.34381.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242+6.根本二分法的atlab实现与语言实现6.1%二分法的算法及atlab实现funtin,err,y=biset(f,a,b,delta)%f是所要求解的函数%a和b分别是有根区间的左右限%delta是允许的误差界%

6、为所求的近似解%y为函数f在上的值%err是的误差估计ifnargin4delta=1e-5;endya=feval(f,a);yb=feval(f,b);ifyb=0,=b,returnendifya*yb0disp(a,b)不是有根区间);returnendax1=1+rund(lg(b-a)-lg(delta)/lg(2);frk=1:ax1=(a+b)/2;y=fevel(f,);ify=0a=;b=;break,elseifyb*y0b=;yb=y;elsea=;ya=;endif(b-a)delta,breakendendk,=(a+b)/2,err=abs(b-a),y=feva

7、l(f,)6.2%根本二分法的语言实现方程式为：f(x)=0，例如中f(x)=1+x-x3使用例如：inputabe:121e-5slutin:1.32472源码如下：#inludestdi.h#inludestdlib.h#inludeath.h#inludeassert.hdublef(dublex)return1+x-x*x*x;intain()dublea=0,b=0,e=1e-5;printf(inputabe:);sanf(%lf%lf%lf,a,b,e);e=fabs(e);if(fabs(f(a)=e)printf(slutin:%lgn,a);elseif(fabs(f(b)

8、=e)printf(slutin:%lgn,b);elseif(f(a)*f(b)0)printf(f(%lg)*f(%lg)0!need=0!n,a,b);elsehile(fabs(b-a)e)duble=(a+b)/2.0;if(f(a)*f()0)b=;elsea=;printf(slutin:%lgn,(a+b)/2.0);return0;7.方法总结7.1二分法解题的根本步骤：1计算fx的有根区间a,b端点处的值fa，fb。2计算f(x)的区间中点的值fa+b/2。3进展函数值的符号比拟。4根据误差估计二分到一定次数到达精度，从而求得近似值。7.2二分法的优缺点：优点：算法简单，容

9、易理解，且总是收敛的缺点：收敛速度太慢，浪费时间所以，在以后的学习过程中，我们将根据方程的形式和二分法的优缺点不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值，方便其他方法的运算。8.结论(1)针对现实中的许多剖面设计、轨道设计等关键参数方程中三角函数多、计算工作量较大、迭代收敛条件强等问题，采取数学变化的方法将该方程转化成一个只包含对数函数和多项式函数的新方程，并提出了寻找求解区间的步长搜索算法和自适应步长搜索算法，进而使用二分法求新方程的数值解。(2)数学分析和数值理论说明，该算法不仅可以正确判断设计方程是否有解，而且在有解的情况下可以正确求出该解，计算量小，计算过程稳定。参考文献【1】曾毅;改良的遗传算法在非线性方程组求解中的应用j;华东交通大学学报;2022年04期;136-138【2】许小勇,宋昔芳;一种求解非线性方程全部实根的算法与实现j;科技广场;2022年01期;15-17【3】王兴华,郭学萍;