函数导数“任意存在”型问题归纳

1、函数导数任意性和存在性问题研究导学语函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，先期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地完整解决此类问题还必定研究“战略”，由于此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想以下：题型分类剖析一单调函数单调“任意”型战略思想一：“xA，a()f(x)恒成立”等价于“当xA时，a()f(x)max”；f(x)上限“xA，a()f(x)恒成立”等价于“当xA时，a()f(x)min”.f(x)下限a例1：已知二次函数f(x)ax2x，若x0,1时，恒有|f(x)|1，

2、求实数a的取值范围.解：|f(x)|1，1ax2x1；即1xax21x；当x0时，不等式显然成立，aR.当0 x1时，由1xax21x得：11a11，x2xx2x而110，a0.又(112，a2,2a0，(x2x)minx2x)max综上得a的范围是a2,0.二单调函数单调“存在”型战略思想二：“xA，使得a()f(x)成立”等价于“当xA时，a()f(x)min”；“xA，使得a()f(x)成立”等价于“当xA时，a()f(x)max”.f(x)上限af(x)下限例2.已知函数f(x)alnxx2(aR)，若存在x1,e，使得f(x)(a2)x成立，求实数a的取值范围.剖析：f(x)(a2)

3、xa(xlnx)x22x.x1,e，lnx1x且等号不能够同时取，所以lnxx，即xlnx0，所以ax22xx1,e，xlnx，令g(x)x22xx1,e，又g(x)(x1)(x22lnx)，xlnx(xlnx)2当x1,e时，x10,lnx1，x22lnx0，从而g(x)0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在1,e上为增函数，故g(x)的最小值为g(1)1，所以a的取值范围是1,)三单调函数双“任意”型1战略思想三：xR，都有f(x1)f(x)f(x2)f(x1),f(x2)分别是yx2x1xf(x)的最小值和最大值，|x1x2|min是同时出现最大值和最小值的最短区间.例3.已知函数的最

4、小值为_.f(x)2sin(x)，若对xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|25解对任意xR，不等式f(x1)f(x)f(x2)恒成立，f(x1),f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值.对于函数ysinx，获取最大值和最小值的两点之间最小距离是，即半个周期.又函数f(x)x)的周期为4，|x1x2|的最小值为2.2sin(25yf(x2)战略思想四：x1,x2A,f(x1x2)f(x1)f(x2)成立22f(x)在A上是上凸函数f(x)0例4.在y2x,ylog22x,yx2,ycosx这四个函数中，当f(x1x2)f(x1)f(x2)恒成立的函数的个数是()22A.0

5、B.1C.2D.3解：此题实质就是察看函数的凸凹性，即满足条件f(x1x2)2数的性质，画草图即知ylog22x吻合题意；f(x1)Ox1x2x0 x1x21时，使f(x1)f(x2)的函数，应是凸函2战略思想五：x1,x2A,f(x1)f(x2)f(x)在A上是增函数x1x20成立例5已知函数f(x)定义域为1,1，f(1)1，若m,n1,1，mn0时，都有f(m)f(n)0，若f(x)t22at1对所有x1,1，a1,1恒成立，求实数t取值范围.mn解：任取1x1x21，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(x1x2)，x1x2由已知f(x1)f(x2)0，又x1x20，f(x1)f

6、(x2)0，x1x2即f(x)在1,1上为增函数.2f(1)1，x1,1，恒有f(x)1；要使f(x)t22at1对所有x1,1，a1,1恒成立，即要t22at11恒成立，故t22at0恒成立，令g(a)2att2，只须g(1)0且g(1)0，解得t2或t0或t2.战略思想六：x1,x2A,|f(x1)f(x2)|t（t为常数）成立t=f(x)maxf(x)min例6.已知函数f(x)x42x3，则对任意t1,t21,2（t1t2）都有|f(t1)f(t2)|恒2成立，当且仅当t1=_，t2=_时取等号.解：由于|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|恒成立，由f(x)x42x3

7、,x1,2，2易求得f(x)maxf(3)27，f(x)minf(1)5，216216|f(x1)f(x2)|2.战略思想七：x1,x2A,|f(x1)f(x2)|t|x1x2|f(x1)f(x2)|t|f(x)|t(t0)x1x2例7.已知函数yf(x)满足：(1)定义域为1,1；(2)方程f(x)0最少有两个实根和；11(3)过f(x)图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1)证明:|f(0)|1；(2)证明：对任意x1,x21,1，都有|f(x1)f(x2)|1.证明(1)略；(2)由条件(2)知f(1)f(1)0，不如设1x1x21，由(3)知|f(x1)f(x2)|x1x2|x

8、2x1，又|f(x1)f(x2)|f(x1)|f(x2)|f(x1)f(1)|f(x2)f(1)|x111x22(x2x1)2|f(x1)f(x2)|；|f(x1)f(x2)|1例8.已知函数f(x)x3axb，对于x1,x2(0,3)(x1x2)时总有|f(x1)f(x2)|x1x2|成33立，求实数a的范围.解由f(x)x3axb，得f(x)3x2a，当x(0,3)时，af(x)1a，|f(x1)f(x2)|x1x2|，3|f(x1)f(x2)|1，a11a0 x1x21a1评注由导数的几何意义知道，函数yf(x)图像上任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)连线的斜率ky2y1(x1x

9、2)的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(若是有的话)的范围，利用这个结论，可x2x1以解决形如|f(x1)f(x2)|m|x1x2|或|f(x1)f(x2)|m|x1x2|(m0)型的不等式恒成立问题.四双函数“任意”+“存在”型：战略思想八：x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)min；x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)成立f(x)maxg(x)max.例9已知函数f(x)2x25lnx，g(x)x2mx4，若存在x1(0,1)，对任意x21,2，x总有f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围.剖析：题意等价于f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于

10、g(x)在1,2上的最大值.f(x)2x25x2(x)1或x2，x2，由f0得，x2当x(0,1)时，f(x)0，当x(1,1)时f(x)0，22所以在（0，1）上，f(x)maxf(1)35ln2.2又g(x)在1,2上的最大值为maxg(1),g(2)，所以有f(1)g(1)35ln25mm85ln221m85ln2，f(1)g(2)35ln282mm(115ln2)22所以实数m的取值范围是m85ln2.g(x)上限战略思想九：“x1A，x2B，使得f(x1)g(x2)成立”“f(x)的值域包含于g(x)的值域”.f(x)上限f(x)下限g(x)下限4例10设函数f(x)1x31x25x

11、4333（1）求f(x)的单调区间（2）设a1，函数g(x)x33a2x2a若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得f(x1)g(x0)成立，求a的取值范围剖析：（1）f(x)x22x5，令f(x)0，即x22x50，解得：5x1，33333f(x)的单增区间为5,1；单调减区间为(,5和1,).33（2）由（1）可知当x0,1时，f(x)单调递加，当x0,1时，f(x)f(0),f(1)，即f(x)4,3；又g(x)3x23a2，且a1，当x0,1时，g(x)0，g(x)单调递减，当x0,1时，g(x)g(1),g(0)，即g(x)3a22a1,2a，又对于任意x10,1，总存在x00,

12、1，使得f(x1)g(x0)成立4,33a22a1,2a，3a22a143即2a，解得：1a23例11已知函数f(x)lnxax1a1(aR);x1(1)当a时，谈论f(x)的单调性；2（2）设g(x)x22bx4，当a1时，若对x1(0,2)，x21,2,使f(x1)g(x2)，求实数4b的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递加；当a=1时，函数f(x)在（0，+）上单调递减；2当0a1时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在2（2）函数的定义域为（0，+），11(1,1)上单调递加，在(1,)上单调递减；aaf

13、（x）=1a+a1=ax2x1a，a=1时，由f（x）=0可得x1=1,x2=3.xx2x24由于a=1（0,1），x2=3（0,2）,结合（1）可知42函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递加，5所以f(x)在（0,2）上的最小值为f(1)=1.2由于“对x1（0,2），x21,2,使f(x1)g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值f(1)=1”.（）2又g(x)=(xb)2+4b2,x1,2,所以当b0,此时与（）矛盾；当b1,2时,由于g(x)min=4b20，同样与（）矛盾；当b（2，+）时，由于g(x)min=g(2)=8

14、4b.解不等式84b1，可得b17.28综上，b的取值范围是17,+).8五双函数“任意”+“任意”型战略思想十：x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max例12.已知函数f(x)1x33x1,x22,2，都有f(x1)g(x2)，求x23x4,g(x)9xc，若对任意32c的范围.解：由于对任意的x1,x22,2，都有f(x1)g(x2)成立，f(x)maxg(x)min，f(x)x22x3，令f(x)0得x3,x1x3或x-1；f(x)0得1x3；f(x)在2,1为增函数，在1,2为减函数.f(1)3,f(2)6，f(x)max3,.318c，c24.2例13

15、已知两个函数f(x)8x216xk,g(x)2x35x24x,x3,3,kR;(1)若对x3,3,都有f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围；(2)若x3,3,使得f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围；(3)若对x1,x23,3,都有f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围；解：（1）设h(x)g(x)f(x)2x33x212xk,（1）中的问题可转变成：x3,3时，h(x)0恒成立，即h(x)min0.h(x)6x26x126(x2)(x1)；6当x变化时，h(x),h(x)的变化情况列表以下：x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h(x)+00+h(x)k-45增函数

16、极大值减函数极小值增函数k-9由于h(1)k7,h(2)k20,所以，由上表可知h(x)mink45，故k-450，得k45,即k45,+).小结：对于闭区间I，不等式f(x)k对xI时恒成立f(x)maxk对xI时恒成立f(x)mink,xI.此题常有的错误解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范围.这类解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”可是原题的充分不用要条件，不是充要条件，即不等价.2）依照题意可知，（2）中的问题等价于h(x)=g(x)f(x)0在x-3,3时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max=k+7，所以k+70，即k7,+).(3)依照题

17、意可知，（3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得,x-3,3时,f(x)max=120k.y模拟（1），利用导数的方法可求得x-3,3时,g(x)min=21.g(x)由120k21得k141,即k141,+).f(x)说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.Oaxbx图1从上面三个问题的解答过程能够看出,对于一个不等式必然要yg(x)f(x)Oaxbx图2看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,尔后再依照不同样的情况采用不同样的等价条件,千万不要无缘无故的去猜.六双函数“存在”+

18、“存在”型战略思想十一：x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max；x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)成立f(x)maxg(x)min.例14已知函数f(x)lnxx3，1g(x)x22bx4.若存在44xx1(0,2，)x21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b取值范围.剖析：f(x)113(x1)(x3)，x44x24x2f(x)在(0,1)(1,2)f(x)minf(1)1上单调递加，在上单调递减，.2依题意有f(x)ming(x)max，所以g(x)max1.又g(x)(xb)2b24，27g(1)117.2,解得b从而g(2)182战略思想十二：“x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)成立”等价于“f(x)的值域与g(x)的值域订交非空”.例15已知函数f(x)x3