端点效应与极点效应 专题讲义-高三数学二轮复习

1、 二轮专题复习第 第 页专题三 端点效应与极点效应一、端点效应什么是端点效应？如果函数在某一点处的函数值恰好为零，则当时，成立的一个必要条件为端点处的导数值，如图所示： 因为如果，那么函数会在右侧的一个小区间内先递减，会出现如下情况： 此时函数不恒正，不满足要求。这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应。类似的，如果函数在某一点处的函数值恰好为零，当时，成立的一个必要条件为处的导数值但是，需要注意的是，（或）只是（或）成立的一个必要条件，如果此时二阶导不变号，那么这种方法没有问题；但如果二阶导变号，那么计算出的结果极有可能不是正确答案。端点效应在解决求参

2、数范围问题时能够帮助我们得出分类的依据，简化问题的处理，下面一起看几道例题。例：，若在上恒成立，求的取值范围。分析：注意到，若，则一定存在一个，使得时，都有成立，所以在时单调递减，所以；并且，因此通过得出的参数范围就是正确答案，这便是端点效应。这种方法可以帮我们得出分类的依据，例如本题中，根据，得，因此我们分和两类进行讨论。详解：，若，则，且，所以单调递增，所以时，恒成立，所以在上单调递增，则时，；若，则，且，单调递增，所以存在，使得成立，所以在上单调递减，所以；不成立，舍去。综上，的取值范围为。例：，若在上恒成立，求的取值范围。分析：注意到，因此可用端点效应，由，得，因此我们分和两类进行讨论

3、。解：，若，则，且，所以单调递增，所以时，恒成立，所以在上单调递增，则时，；若，则，且，单调递增，所以存在，使得成立，所以在上单调递减，所以；不成立，舍去。综上，的取值范围为。例：在上恒成立，求的取值范围。分析：令，注意到虽然，但同时，看似无法用端点效应，其实不然，可以考虑计算二阶导，再使用端点效应，即，且，因此可以使用端点效应，由，得，因此我们分和两类进行讨论。解：令，；，；，若，则，且，所以单调递增；又，所以恒成立，单调递增；又，所以时，恒成立，所以在上单调递增，则时，；若，则，所以存在，使得成立，所以当时，在上单调递减，且，所以在上单调递减，；不成立，舍去。综上，的取值范围为。典例：在上

4、恒成立，求的取值范围。（2020年全国卷一）分析： 不妨令，则，此时看似能够使用端点效应，其实不然，因为，且；则，在上会变号，这时如果使用端点效应，应该有，即，但其实这个答案是错误的，理由如下：，但，可知在上递减，在上仍然可能为负，也即可能会先递减，此时也有可能为负，所以在上的函数值也可能比端点处小，即这种情况下有可能为负值。事实上，当时，就不满足要求。所以，当高阶导变号时，我们应该慎重，此时，端点效应很有可能就会失灵。事实上，本题可考虑分参处理。二、极点效应什么是极点效应？如果函数在某一点处的函数值恰好为零，则当时（其中），成立的一个必要条件为处的导数值，如图所示： 因为如果，那么函数会在右

5、侧的一个小区间内先递减，会出现如上右情况：而这两种情况都不能保证函数值非负。这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间中某一点处的导数值为零，这就是极点效应。例：若，且在上恒成立，求的值。解：；注意到，则当时，函数取得最小值，同时取得极小值，所以，所以；而当时，当时，单调递减，此时；当时，单调递增，此时；此时在上恒成立，所以。例：若，且，求的值。（2017课标二理科数学）解：的定义域为。设，则，等价于。因为，所以时，函数取得最小值，同时也是函数的极小值，所以，又，则，得。若，则。当时，单调递减；当时，单调递增；所以是的极小值点，故，综上，。练一练例：在上恒成立，求的取值范围。例：，若在上恒成立，求的取值范围。例：在上恒成立，求的取值范围。例：在上恒成立，求的取值范围。例：在上恒成立，求的值。例：，若在上恒成立，求的取值范围。例：，若在上恒成立，求的取值范围。分析：注意到，因此必有，得，因此我们分和两类进行讨论。解：，