等和线解决的平面向量专题

1、1、【2014宁波二模理17】已知点O是ABC的外接圆圆心，且AB=3, AC=4.假设uuu uuu uuu存在非零实数尤、儿 使得AO = xAB + yAC ,且12y = 1,则cos ZBAC=. UUD uuu uuuuuu uu解答：取AC中点D,则有AO = xAB + y壮=xAB + 2yAD，而x + 2y = 1,得点B,O,D三点共线，已知点O是ABC的外心，可得BD 1 AC，故有BC=AB=3,2AC=4，求得 cos ZBAC =-.2、【2014杭州二模文8理6】设0 AABC的外心(三角形外接圆的圆心).假设A。= 1 AB + 1 AC，则 /BAC 的度

2、数为()33A.30 B.45 C.60 D.90uuu 1 uuu 2 uuu解答：取AC中点D,则有A。= -AB + 2AD，得点B,O,D三点共线，已知点O33是ABC的外心，可得BD 1 AC ,即有AO=BO=2DO,故可求得/BAC = 60。.3、【2009浙江理样卷6】已知AAOB，点P在直线AB上，且满足11()A. B. C.2D.332uuuuuu uuu11()A. B. C.2D.332OP = 2tPA + tOB (t e R)，则 W =PBuuu2t uuu uuu2t解答：由已知OP =OA + $。8,点P在直线AB上，得+1 = 1,解得t = -1或

3、1 + 2t1 + 2tiUDiuuu 1 uuu uuu 1 uuu 1 uuut = -.当 t = -1 时，可得OA = OP + OB，此时 A 为 PB 中点，22阚=歹当,=2时,uuu 1 uuu 1 uuulUUJUi =1.pb可得OP = OA + 。8,此时P为ABlUUJUi =1.pb22 , 一4、【2014浙江省六校联考理17】已知。为AABC的外心，AB = 2a , AC = -(a 0),auuu uuu VUDZBAC = 120o，假设AO = xAB + yAC(x, y为实数)，则x + y的最小值为解答：如图，设AOI BC = E , EO =

4、 m , AO = R，则易知 TOC o 1-5 h z uuu R uuu R uuu uuuR -AO = AE =呵AB + 乂 AC，其中气+ 乂=1, m e , R，故由已知可R - m R - m_ 2,R得尤+=厂m，所求取值范围是2, +8 )5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知0为AABC的外心，AB = 4, AC = 2, ABAC =120。假设 AO = X1 AB + 人2 AC，则 X1 + M =.解法 1：如图，设 I BC = E , EO = m, AO = R , AF BC于 F 点，OG BC 于uuu R uuu R uuu uuuG点

5、，则易知得0G =胃如=朽AE =朽叫曷+ 乂M 其中G点，则易知得0G =胃2*，方RAF + OGOG 13AF = 故可求得M +喝=柘T + AF = 7rUUD UUUUUU2UUU UUU6，故= 86I A AB = N AB + M C - B策 8 = 6，故= 86解法 2： 1 uuu uuu uuu uuuuuu2，得，小工ZD，解得I AO AC =兀 AB AC + AC2 = -4X1 + 4七13M + M -解法3：设A(0,0), B(4,0), C 1,指，外心0是AB中垂线尤=2和AC中垂二(4,0 )，线 =令x+平的交点二(4,0 )，3 I 3 J

6、 3 Juuu .-AC = uuu .-AC = 1*3 ,2 = 4X1 -膈3 = 丁X1+ 、乱有误，重解【变式1】、已知向量ab的夹角为逃，且ai=4, |bl=2, la-cl = l-cl = lc|, 假设 c=xayb,3则 x+y=13.66、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知， 为平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量 满足c +妙 从c + b)(人G R)，贝的最小值为解答：如图，由已知c = -b +二a，设a = OA , b =洗,-c = OC，则点C在人-1人-1直线AB上，得|c|二 |况|有最小值亨.7、【2012年稽阳联考15】A,

7、B, P是直线I上不同的三点，点O在直线I外，假设uuuuuu uuucuPBOP = mAP + (2m - 3)OB,(m G R)，则茂有=2。解答：8、【2013杭二中高三适应考理17】如图，在直角梯形ABCD中，AD AB ,AB DC , AD = DC =1, AB = 2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设=入脂+ J ( X , 口 e R )，则入+ 口取值范围是.m uuu n uuu n uuu uuu解答：设 API BD = E , AE = m , AP = n，则 AP = AE = xAB + yAC，其中m m145 1n +x+y

8、= 1,得人+日=-=2 5 =1+项k, k表示点p到bc边的距离，I-,一 2右一k g 0,飞一，得所求取值范围是1,2.59、已知等差数列代的前n项和为Sn ,假设OA = a2 OB + 2009 OC,且A,B,C三点共线该直线不过点O,则S2010等于DA. 2010 B. 2008 C. 1010D. 1005,、uuu uuu uuu10、已知等差数列孔的前n项和为Sn，假设0A =。2.OB + %13 - ,且A,B,C三点共线该直线不过点O,则禹04等于DA. 2014B. 2012 C. 1012 D. 100711、如图,在扇形OAB 中,ZAOB = 60 ,C为

9、弧AB上的一个动点.假设qc = xOA + y OB，则尤+ 3y的取值范围是U1.解答：如图，在 OB 上取一点 D,使 OB=3OD,设 OC I AD = E , OE = m , EC = n ,则有8C =学OE =学叫凋+ 乂沏，其中叫+ *=1，另有uuu uuu uuu uuu uuu - m + 一 n TOC o 1-5 h z OC = xOA + yOB = xOA + 3yOD，得x + 3y = - = 1 + 一，易知当点 C 和点 A 重m m一n合时一达最小值0,当点C和点B重合时一达最大值2,故x + 3J e 1,3.mm12、如图，四边形OABC是边长

10、为1的正方形，OD = 3,点P 为uuu uuuUJD一-BCD内含边界的动点，设OP = aOC + pODa, p G R，则a + P的 4最大值等于亍13、在平面直角坐标系中，。是坐标原点，假设两定点&B满足OA = OB = OA OB = 2，则点集P | OP =人汤+旦面,|人| + 2,X,旦e R所表示的区域的面积是16. *. TOC o 1-5 h z . , 、_ _ -1?1 一 ： ?14、假设等边AABC的边长为2,平面内一点必满足CM = - CB + _ CA，则必.MB =(C)A 813尸813A. B. C. D.-999915、假设等边AABC的边

11、长为2克，平面内一点M满足CM =1CB + 2C4，则63MA MB =一2uuuu 3 UJD 1 uuu16、假设M 为 AABC 内一点，且满足 AM = 3 AB + 4 AC，则 AABM 与 AABC的面积之比为A.uuu uuu uuu uuu uuu117、设 O 是 AABC 的外心，AO = xAB + yAC , ,AB = 4 , ,AC* 6 , 2x + - y = 1,则聆.眨=418、已知 O 为 ABC 的外心，假设 AO = xAB +ACUUi且 32x+25y=25，则 |。叫=10.19、已知*、B是单位圆上的两点，为圆心，且N*W = 120。，M

12、N是圆uuyp uuruuur的一条直径，点C在圆内，且满足对=X朝+ (1 X)潴(0 D，则1、 、也5的取值范围是(C).1 3A. 2,1) B. 1,1) C. ,0) D . 1,0)2n 一20、已知圆。的半径为2,氏B是圆上两点且ZAOB =亍，MN是一条直径，点C在圆内且满足洗=秘+ (1 -人)湖(0 X 1)，则明. C的最小值为(C)A.-2B.-1C.-3D.-421、已知 O(0,0) , &cos以,sin 以),B(cos。,sin。), C(cosy ,siny)，假设uuu uuu uuu,kOA + (2-k)OB + OC = 0, (0 k 2)，则c

13、os(a -P)的最大值是.22、【2014稽阳联谊理16】在AABC中，/BAC =90。，以AB为一边向AABC外作等边 AABD ,假设 /BCD = 2ZACD , AD = X+ 贷C，则人 + 日=.解：如图，设点D关于AC的对称点为D，且DD交AC于点E.设DCA油，贝y ZBCD = 29,/CDD = 90。0，CBD =150。 39,在 ADCD国CD 中利用正CD BD DD CD玄正士 侍 sin(150 39) = sin 29 = sin 29 = sin(90 - 9)从 侍 TOC o 1-5 h z sin(150 36) = sin(90 6)，从而 15

14、0 39 = 90 9 或 150。-36 + 90。-6 = 180 从DE 1AE3 ,1后而得0 = 15 .显然人 r-=-,日=一7? = r ,故人 + 日=-.AB 2AC22UUi23、已知ABC中，AB=4, AC=2,假设人AB + (2-2人)AC|的最小值是2,则对于ABC内uuu uuu uuu一点P, PA. PB + PC的最小值是.解：|浏+ (2办樗闫浏+ (1 -*). 2蹲=|浏+ (1一*)幽 的最小值是2,设壁二人熟+ (1 幻船 ，则点E在直线AD上，AB=4, AC=2, AD=4，故当AE长度最小为2时，E为BD中点，AE BD ,得BAC =1

15、20。，取BC中点F,连结AF,取AF中点G,则有：uuu 21 uuu uuu 23当点P与点G重合时，有最小值1AF = - AB + AC =-.82uuuuuuuuu1、ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA + 4OB + 5OC = 0，贝uuu uuuOC. AB =.解：3必+4=.1，两边平方得必翔=0.mu uuu 3 uuu 4 uuu uuu 11 uuu UJD 1故 OC. AB = | OA OB . OB OA = + OA. OB =55)5 55，uuu uuuuuu2、在ABC 中，AC=2, BC=6, O 是ABC 内一点，且OA + 3OB + 4OC = 0，则uuu uuu uuuOC. BA + 2BC =.解法 1：设B(-3,0), C(3,0), A(x,y),则由 AC=2 得(x_3)2 + y2 = 4 ,由彻+ 3洗+ 4况=0得。兰,Z ,8 8 J得洗,ZZ,器+ 2泌=任+15, V), TOC o 1-5 h z I 88 )v 7故洗.粉 + 2弟=(21 勺(15)-1 昌-尤2 + 6131572888-(x _3)2 - J2 + 324=1= 40.解法2：如图，取AC中点D,取BC中点E,uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu u