立体几何中的切割与补形课件-高三数学一轮复习

1、高考备考专题复习立体几何中的切割与补形“切割”与“补形”在立体几何中有着广泛的应用，常常起到化“难”为“易”、化“繁”为“简”的作用，甚至可以将不可能变为可能！地位与作用巧用割补法快速解决立体几何问题目的与目标例1.(2017全国1卷改编)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，则该多面体的体积为（ ）A8B CD16一.切割将不规则（或复杂）的几何体切割成规则（或简洁）的几何体分析：由三视图可知该多面体如图所示，没有公式能直接求出它的体积。但我们可将它切割为一个直三棱柱和一个三棱锥。 易知它们的底面均是等腰直角三角

2、形，高均是2。故该多面体的体积为 快速解决！例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。DB1A1D1C1ACB此题有多种解法，但计算都较繁琐。补形法就很简单！二.补形将不规则（或不熟悉）的几何体补成规则（或熟悉）的几何体在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为 补形法：如图，将一个一模一样的长方体与原长方体拼接起来（如图所示），连结A1E，C1E，易知C1E BD1，所以A1C1E （或其补角）为A1C1与BD1所成的角。F1EFE1BDB1A1D1C1AC 把空间图形补成熟悉的或完整的几何 体

3、，如正方体、长方体等，其目的 在于易于发现两条异面直线的关系。方法归纳例3.计算棱长为a的正四面体的体积。aaaaaa若是直接计算，那将是很繁难的。采用补形法就非常容易了！将四个三条侧棱两两垂直且底面边长为a的正三棱锥的底面拼接到正四面体的四个面上，就得到一个正方体！易知此正方体的棱长为 ，故正四面体的体积为这方法 很棒吧！1.如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）。 （A）4 （B）16 （C）24 （D）25练习一画出三棱锥的直观图，不难发现，这是一个有三条棱两两垂直的三棱锥，补形为长方体，问题就非常容易解决了。OABC224显然有

4、(2R)222+22+42,故R2=6，S球=24，因此选C。ABCDO 解析：此题若直接求解，计算也是很繁琐的。2 . 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. A 将此正四面体补形成正方体，则正方体棱长为 1，外接球半径为 ，表面积为 。aaaaaa三. 正四面体的内切球半径问题切割法构造三角形利用相似比和勾股定理。此法既难又繁！切割法非常简洁！基本方法快速解法分别以正四面体的四个面为底、以内切球球心为顶点，将正四面体切割为四个三棱锥。（1）这四个三棱锥的高与内切球的半径有何关系？（2）这四个三棱锥的体积与原正四面体的体积有什么关系呢

5、？想一想（1）这四个三棱锥的高都等于内切球的半径。（2）这四个三棱锥的体积之和等于原正四面体的体积。结论所以，有解：如图，设内切球半径为r，PH是正三棱锥的高，即PH=1，E是BC的中点，则H在AE上，ABC的边长 ， ， , ，由切割法得例4.正三棱锥的高为1，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积PABCOEH 例5.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa，那么这个球面的面积是_.PABC这也太 难了吧！这其实就是正三棱锥外接球问题。四. 四面体的外接球半径问题补形法ACBPO难则思变：将三棱锥P-ABC补成正方体，正方

6、体的棱长为a，且正方体的对角线就是球的直径！因此 ，所以 。秒杀！ACBPO1 . 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为 、 、 ，则其外接球的体积等于 . 解析：此题直接求解， 计算将很繁琐。这个三棱锥可补形成长方体，这样求解就简便得多了。 易得长方体对角线长为 ，所以球的半径为 ，因此球的体积为 。练习二2一个几何体的三视图如图所示，三视图都是腰长为2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为 .解：依题意知几何体是正三棱锥，且三条侧棱两两垂直， 设内切球的半径为r，由切割法可得： 解得 ， 该几何体的外接球半径与内切球半径之比为 答案： 故可将其补形为正方体，如图所示，正方体的棱长 为 2 ，故外接球的半径为 ，（1）几何体的“切割”与“补形”的基本思想是将不规则的、复杂的或不熟