圆锥曲线神奇结论

1、t+464397488t+464397488.song工工高中数学邈料分寻4叨泊了4刘高中数字贵斜分孕b0）的左右魚点分别为FrF2.点Pa*b为備圆上任意一点Z；PA；=/则椭圆的焦点角形的而税为Sg=6:lan.*;/x5V*&(第=)椭別1+=1b0)的焦半徑公式：0b，|MF；Aa+%|.W；|=dYX0(Y,O)E(c?0).A/(x0,y0).9设过廉岡住点9设过廉岡住点F作宜线与擀圆相交只0两点，为榔圆长轴上一个顶点连结JP和.40分别交b2cr-a:b2-2bzckyw齐百丿宀。=77站aV-a2b2k2_2a2cXpX*/+方讦*%=7TPFa:a2+a.+Q_H,2k=,丽

2、丄而n丽丽=0n()(心y)+)小=0,yPQfyQof易徐(x.vc)(v-必），不妨设“，kx-亠，柑-,xp-aXq_qykx（x-a）由.y=M+d）得交点xQ(屮2)q+W+a得交点x*1-俎-x*QxQypa(yp+&)Jtt(/24-a2k2)x24-2a:k2exa2c2k2-*=0令M=，+/&；,V=pb：+a：F-c咲；-2n咲论2b2ck2abkN-2a2b2k2a:-2a2b2k2a:bkSr匹二乞-2abckNlabckcM-M-2a诂咲-2a6chVxp）q+wp-“&+xQypB再恨据上一条性质可得结论c弟2刃共175（方令鬓掛令#4方令鬓掛令#44643974

3、88song方令掛金#4方令掛金#4464397488.song高中数字崟斜幻孕高中数字崟斜幻孕4仏泊了4空a2a2bl高中数字贵斜分寻4口泊宪11-値轨）朋足綁*+条“的不平行子对称轴的弦,fxy11-値轨）朋足綁*+条“的不平行子对称轴的弦,fxyQ）为丿的中点.RIb%5|点年法）苦4（心“在初（S*十話=1内.则被人所平分的中虑弦的方程足沙沁a2222卫法）若在椭0+4=1内，则过岛的弦中点的孰迹方程是匚十与=警+卑.*二.戏曲綫1.点P处的切线HC平分PFR在点P处的内角.-J:PF分A/7；F,在点P处的内角，則條点衣色线/Y上的射彫点的轨进是以长轴为MSB-）圆,除去长轴的两个端

4、点.（同上）以廉点弦PQ为貝径的圆必与对应准线相交.1;）以住点半泾町为白径的珂必与以实雜为宜径的圆HI切.（内切：P任右支：外切：P隹左支）冋上）若4（卞小）在双曲誠二-匚=1（a09d0）.则过的双曲线的切违方程是，&b*乎普（同上）2若人（心,儿）在双曲线二-=100）外则过样作双曲线郎俩条切线切点为人.人a*P*灯切点弦斥只的宜线方程是远-字1（同上双曲皱為-=140小0的左右焦点分别为，只，点P为双曲线上任总一点，弟3页共17页ZFPF严y,则双曲线的焦点角形的面积为Sw=A:cot.冋上丿2双曲线二=1（a0.b0）的然乍径公式：斤（y、0）E（cf0）aA当Mg儿）在右支上时.M

5、F=exQa,MFZ|-ex*0-.当M（%J）在左支上时丨Aff；|-%+a,|ME|-eXo-a（同上设过双曲线焦点F作宜线与X?曲线相交P.O两点，川为双曲线长轴上一个顶点，连结/P和分别交相应于焦点F的取曲线准线于M、N两点，RJA/F丄NF同上丿过双曲线-个焦点尸的宜线与或曲线交丁两点P、O.且心为XZ肋线实籀上的顶点&P和厶0交于点M,A.P和0交于点则丄NF同二）11.4是取曲线二-写10.b0）的不平行于对称轴的弦，乂（旺,儿）为AB的屮点，9A（ro心厂2-即K初二字（I壮）4几aA12.若4（”几）在双曲线斗-巧1（。0上0内则被人所平分的中点弦的方程忠&b*斗罟=匚客（同

6、上）cT少rTb13.若人（,儿）在双曲统（uG.b0）内,13.若人（,儿）在双曲统（uG.b0）内,则过吒的弦中点的轨迹方程是:左左賀撕金#4464397488.5ong弟弟57（共17页椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）fffi检図*+=1仗0）的两个顶点为卜么0）仏（a,0）与丁轴平行的宜线交怖S于也时.佔与交点的轨迹方程耳-石=1尸亠（T“证明：占（召），斥（*，”）交点尸（心丿），由,，得儿=-证明：占（召），斥（*，”）交点尸（心丿），由,，X,+&2.过椭国匚+匚=160）上任一点J（xcr0）任总作两条倾斜角互卄的宜线交柿匿于B.C两q.b点则宜线C有定向且&学（常

7、數）.证明：设BtXpy,）C（xny2）_儿=比_兀）&v+tt=I=at。*b+（F一h2a2k2bkb7kAvayQ223.若P为椭圆二+匚=1（。60）上异于长轴端点的任一点.斥、是热点，ZPF=a、ao厶PF、F=卩、則-=tancot.21xc22证法1（代敖工高中数字乡i斜幻孕4/泊舵464397488song464397488song第第6貝共灯貝2a-2csin/?sinasin(a+“)sina+sin“sina+sin/?-sin(/0）的两个焦点为片、F“P（异干长紬塔点）为椭251上任意一点.在厶PFF中，记Z/；PF、=aZPFF=0、ZF、F、P=?,则有一=si

8、n/7+sinya（上条已证）5.若椭回匚+方=1（060）的左.右焦点分别为F、左准纯为人則当060）任一点，斥是拾点，上为tffiHl内一定点，则2a-1AF2PAPFx2“+1昭当且仅当A,F“P三点共线时.铮号成立.(Jx0+By+C)2.&已知椭圆土+总=1(060),0为坐标恳点，P、Q为楠圆上两动血，且OP丄OQ-r+v=A+A:|OP|IOprQbOPGOQf的最大值为空竺：(3(3)Sgy的左小值是证明a2bl77Fu.zinrpx2y2i2A2八八2(rb2(+k2)同服0=四1虫1丄丄=吐坯g=丄丄OP2()“沪(I+F)/h2(OP2+)(+-1_)(|+!)=(庐+O

9、QZ2眉斗OP，()Qcr+/-补允性质，过o做F亚线，匝足为，o为定值OPOQ=PQOH=OH=学=牟空24vab22ir+b2464397488.song464397488.song工工高中数字贵斜幻孕4仏泊了4宪9.过椭罚二+与=lb0）的右焦点厂作宜线交该椭圆右支干耐用两点,弦MV的垂宜平分qbMF=一聖一.NF二一土一(e为离心率./=)l-ccosal+ccosaaI(cpepPF二FQ工2l_eco$al+ecosa.cosacosgtI一acos2aMN=A/F+NF=巴+坐=2冬-I-ecosaI+ecosaI-0），枷是綁上的啲点段締的垂宣平分綫与皿相交于点设P设P点是椭圜

10、二+乍（ab0）上异于长轴端点的任一点,a*bF是危点.记牛PF产牛PF产0WK1)II卩耳I-S阿厂小an彳.12.设4是瀚圆+1=1（60）的长轴辭点.P是椭圆上的一点.UAB=a,ZPB.4/i.ZBPA7GE分别是椭圆的半焦距离心率.则和2於|co5song弟弟9沢共17可(2)tanatan/?=1-.2a2b2=TCOl/d*a已知椭医二+与1(。60)飽右准线/与;r釉相交于点E,过椀厦右焦点F的虫级与椭38相矿b，设厶斤=0设厶斤=0epsin01epsin01-ecosO山郴似得一加一=必=ep7sin/I*.+1+ECOS0八I+GCOS0卫沁f.BE丄DEI-ecos9过

11、椀田傻乖径的端点作桁圆的切线与以长较为宜径的B3相交.则相应交点与相应焦点的连线必与切线理宜.过椭丹佼半泾的瑞点作純凹的切线交相应准线于点.则该点与焦点的连线必与饺半泾互相垂宜.证设P(,yp)丄&普+衅=100(/空ccrbcyPcyPPFOF=(-c)(x,-c)+X-旦=0cc:.PF丄QF双曲线-410.d0的两个顶点为(-q,0),&S0),与)母平行的直线交双曲a622线于儿时件与/交点的轨迹方程是务+令=1过双曲线二一冥=1(0,60上任一点J(x0,j0)任愈作两条倾斜角直补的宜线交双曲线ao于.c两点期宜线有定向且二-(常数)3若卩为双曲线$-】(a0.60)右或左)支上除顶

12、点外的任一点，斤、兀是焦点，ZPF、F、=aZPF、F产W|=tan-cotOb0)的两个焦点为片.的，P(异于长釉潮点为双曲线上任a6.电一点.在厶PF比中.记牛PF严a.ZPFF严卩.ZFFf=7则用5in(rc=g.(sin/-sin(3)a若双曲线4-4=1(ei0.60)的左.右焦点分刖为E.F.左准线为/.RlSKeSN+l&时，可在取曲线上求一点P便得P片是户到对应准线距离d与丿严；的比例中项.6P为双曲线二-匚10.60)上任一点，片、只星焦点,4为双曲线内淀点，则|，迟1-240,60)与宜线J.t+B+C=0有公共点的充要条件是：a，b，fBbCZ已知双曲线一与=1(ba0

13、),O为坐标原点.P、0为双曲线上两动点.且OP丄O0.a*b亠OPlOQ2a6*(2)|Cf+|O0的最小值为学二；ba力.一Q方令贺僻金享方令贺僻金享464397488song賀撕金#4464397488.song勢13勢13灵共】7风0.b0）的右隹点作白线交该衣曲线的右支H两点，弦MV/6*的飙平分线如轴打.则倨峙10.11.d7-F=1“心。足双的线上的两点线的毡平分线与请相交于点P（%0）,则2空乞或入3-乞上工10.11.aa设P点是取曲找-J=l0.60）上异干实轴端点的任一点.片、尺是佟点.记ZF賂=0則，阳阳口:也co吟设凡8是双曲线务-1（a0.b0）的长轴两端点P是双曲

14、线上的一点，ZPAR、ZPB.C卩上BP八c,e分别是双曲线的半焦距离心率，则有；ip牛2於g“|a*ycos丫（2）tanatan/?=1-e;.小c2a专S乂如曰一_col八D*Cl已知衣曲线亠-缶1b0）l右准线/与x轴相交于虑E,过取曲线右焦点厂的宜线crb与双曲线相交于两点点（？在右准线/上.且B丄x轴.则宜线.40经过线段EF的中点.过双白鏡隹半径的端点作戒曲线的切统.与以长轴为巨径的圆也交则相应交点与相应煞点的连线必勻切线垂良.过双曲线焦半径的瑞点作双曲线的切线交相应第线于一点.则该点与比点的连线必与伐半径互相垂宜.过双曲线煞半住的瑞点作衣曲钱的切统空相用准线于一点.刘该点与依点

15、的连双曲线焦三角形中外点到一焦虑的距离与以该焦点为端点的隹半径之比为囲敌銚离心率）.（同1:（注：在取曲线焦三角形中非焦顶点的内.外角平分线与长轴交点分别称为内.外点）.（冋匕16.双曲线经三角形中.外点到一犠点的距离与以该焦点为瑞点的佬半径之比为常数c离心率）.（注:圧双曲线东三角形中非廉顶点的内、外幷平分线与长轴交点分别称为内、外点）.双曲我隊三角形中.艮住占所对的旁心将外点与非焦止点连找汉句成定比匕双曲皱冬三角形中，半焦距必为内.外点到双曲线中心的比例中顶.19己知椭圆二+厶=1上一点儿（兀），儿）以宜线与椭圆交于M,N两点.恒有心讨丄则crh*-证明ykxm&+=I=(+加机丫+“加+

16、/F=00bTOC o 1-5 h z(Cm2-(rk:2“4wm2h*-a2b:k2mh2=：x尸凡=t；r-r.yPy9=；：-；.yP=7；ttt6+PhQM=0=(x,.-x0Kxe-x0)4-(-y9)(y-;)=0=/rf(n:hz)m(la:kx,2/儿)+0行作关JJ:次方秤上式扯热成t所以力程必右根叫讣-g-(2a2ivo-2b2yj-(2it2kxn-2b2yJb2-a2/k叫.叫=叫=、.叫=p(0*0)“+，a+沪ba2.ba2.处一“ymb+r(儿+0).&处过(%儿)b+(/bb+“19-fi7+F=1-不再树匕的一点厂过阳蝴角互补的啲禺与阴交千A.B.C.D四点,

17、则A.B.C.D四点共也1证明LV设I线方FH=s+mcosa.y=f+加sina&r+r=IXbnm(bgsa+rsin2a)+bV+a2r-a2h2=0bV+a2t-(/咕r.M+a2r叫丹2=;【对理“V”4=75、ocos*afsinfcabcosfca+“sinamxm2=hh叫A.B.C.Dffl点共IH464397488.song464397488.song第“只第“只共175(若直线人：Jx+By+G=0与直綾厶：dv+内+G=0平行,则4场-.4=0(科率)且4G-QG工o(在，轴上裁距)(充要条件)6圆的一股方出X2*Da+)-4-F=0(0-4.E-4F0)特别捉阻只有当

18、D2-f/r-4FO0t,方程xzyDxEyT0才夜示回心为卜.一?.半径为|vD-+F:-4F的回。二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dr+Q+F=0表示圆的充要条件足J-C#O且B-0.且D+E一4(F0c7.圆的参数方程，(0为参数苴中18心为(d,b),半径为八刨的参数方程的主y=Z+rsin/要应冃足三角换元；x:+)=r2-,v=rcosy=rsin0:+)SfTx=rco$&jrsin(0r+F=0外一点P(几，儿)引80飽切线的长为尿+儿+D入+收+F=0(x-X+(-6/-r:)464397488song9、弦长何题，圆的弦长的计算：常用弦心距d弦长半+糾及圆的半径厂所构成的11角三角形来解：r2d:+a:过两fflC1：/(