机械工程测试技术2.3信号分析基础

1、华中科技大学机械学院第二章、信号分析基础华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱傅立叶变换与非周期信号的分解这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。由周期信号的傅立叶级数展开导出。华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院1. 引出在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其

2、频谱华中科技大学机械学院从傅立叶级数到傅立叶变换我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 T0的增大而下降；谱线间隔随的增大而减小；但频谱的包络不变。再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院对于周期方波信号：f(t)ET 幅度2谱线间隔 T-TOT1-T2ET F(n1)T，时0 T，0Tf 由周期信号非周期信号。T1OCn Fn0 2ET1TSincn01华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院频谱演变的定性观察-T/2T/2 -T/2T/2F( n0 )T0T1-T/2T/20-T/2T/20)00华中科技大学

3、机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院Cn TScn0也随T增大而减小，并最终趋于0，考查TCn的变化，它在 该是有限的。于是，我们推断出: 时应当 T 时，离散的频谱将演变为连续的频TCn。华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院如图（a）t一周期信号（周期延拓）t)，其周T 则在一个周期内，与) 等同，如图(b)所示。当 T 时，则在任意，二者等同。T1tT1(a)02TTt(b)华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院根据周期信号的傅立叶级数展开：xt) Cnejn0tCn1 T / xt)jn0tdtnTT / 20

4、/ T 。因为当|xt=x(t)，又因为在此区间之外，x(t)=0，所以C1T /2xt)ejn0tdt 1xt)ejn0tdtnT T /2T X(n0 xt)ejn0tCn1X(n)T0110 x(0) TnTX(X(n华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院0 x(t)0TX( 1 2X(nnX(n0) xt)ejn0tdt因当 T 时,x(t)t),0 T d,n0,于是有：傅立叶逆变换：F-1X(f)t ) 1X(jtd,t)X( fj 2ft df傅立叶正变换：FX(f)X()ejtdt,X( f) ) e j 2ft dt华中科技大学机械学院12.3 非

5、周期信号及其频谱华中科技大学机械学院1因为对于周期信号f(t) t)e jn0t dt当 TTf (t)：周期信号非周期信号1T1TTCn 2TTf ()e j n0t dt02再用 Cn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别。而：X() TCn )e jn0tdt频谱密度函数简称频谱函数X() )ejt limTTCn具有频谱随频率分布的物理含义.华中科技大学机械学院非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院从物理意义来讨论FTX()是一个密度函数的概念X()是一个连续谱频谱的样本频 谱的包络。华中科技大学机械学院从傅立叶级数的角度考虑：谐波分量的叠加华中科技大学机械学院f

6、 (t) 1 FtdF F e j 实函数 1 Fe()e t d欧拉公式 1 Ft d积分为0 j 1 Ft d 10Ft d Fdt 0ft Fd0求和振幅正弦信号无穷多个振幅为无穷小 1Fd的连续余弦信号之和,频域范围:0 f (t) 1 Ftd Fd ejt1Fd的连续指数华中科技大学机械学院信号之和，占据整个频域, 华中科技大学机械学院: 。华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院非周期信号的频谱

7、x(t) 1 2X()ejtdx(t) X(f)或 X(f) X( )ej 2 ft dfX ()x(t)ejtdtx(t)ej 2 ft dtX( f)X( ) e j (f)X(f ) )Im2X(f )f)(f)(f华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱其中：华中科技大学机械学院 f)X( 称为的幅值谱密度( 称为的相位谱密度X( 2称为能量谱密度(华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院傅立叶变换存在的充分条件（1）x(t)在,范围内满足狄里赫利条件（2）绝对可积，即 f( )dt（3）为能量有限信号，即f () 2dt 述条件，因而象阶跃、冲激一类函

8、数也存在傅立叶变换。华中科技大学机械学院x( t ) 华中科技大学机械学院x( t ) E0( t )( t T)1X( )T1EeT1sin(jt T1)2 E sin(T1)2ET1 T12ETSinc( T1)2T1( T),当 E1 或者:X( ) 华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院X( ) Sinc( 1X( f) e j( f ) f Sinc() e j( f ) ) Sinc( Sinc( ) ) T1( n1/ 2T1怎样得到的？! ( n n1 /2)n 0,1,2f n1)1华中科技大学机械学院相位谱的推导：华中科技大学机械学院因：X( f

9、 ) 2T1 Sinc( 2fT1 1 f)e j ( f ) Sinc() e j( f ) f) j ) Sinc()cos( f) j )(f所以,当： n (fT1 n1 / 2 ),1n 0,1,2 X( ( f)X( f) 0) f)当：( n1 / n1 ),1n 0,1,2f X( ff) X( f) f)( f) 华中科技大学机械学院幅度频谱2ETX(f)华中科技大学机械学院幅度频谱2ETX(f)1 11 Of2ETA(f)=|X(f)|1O相位频谱( f )ff频谱图x(t)ET1OT 1t华中科技大学机械学院f华中科技大学机械学院fEOt例单边指数信号ftEe tt 0

10、00FFt 0(t) Ee tutej tdt1 01Ee j t dtE jE j ,当E 1华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院例双边指数信号fe t（ t ）F10et ej t1d t e t02ej t dt j j 2 2华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院频谱图 2 2FE 2 2FEO0,F E,F 0 2O2 arctan 0, 0, 2 , 2华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱例符号函数华中科技大学机械学院sgn(t)f(t)sgntt 0t 01e t处理方法做一个双边函数Otf1 sgnt t，求e

11、 t 1F。不满足绝对1F 10t ed t e t0e t dt可积条件11j2 j j 2 2FF j2lim1 0lim 02j华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院频谱图sgnt2j j 2ej 2F)2F 222OF是偶函数2 022arctan20 ,2O 0 2是奇函数华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院傅立叶变换的性质了解特性的内在联系；用性质求F()；了解在通信系统领域中的应用。华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院线性性质时移特性对称性质奇偶虚实性微分性质积分性质卷积性质帕斯瓦尔(Pase

12、val)定理华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院一线性性质1性质若f1(t)f2(t)则c1f1(t)c2f2(t)c2c1 , c2为常数ut 1 21sgnt2F1j2.3 非周期信号及其频谱f(t)(t)的傅立叶变换21t 2 2f(t)u(t)u(t)u(t)u(t )22F ( 22 Sinc(/ 2 ) 2()华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2华中科技大学机械学院非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院二尺度变换性质F若f(t) F),则f1 ,a为非零函数Fa a 意义0a1 时域压缩，频域扩展a倍。a 1fftFF华中科技大学机械学院尺度变换

13、性质证明华中科技大学机械学院因为Ff ejt dt当a x att x ,d t ax1 d xaFf1ja(j)x1a1 1 F a fd x afd xa a 当a 0，a a ,令x at at,t x 1aax,d t 1 d xa1 j x1 (j )x 1F fafx ea dxafxead xa a 综合上述两种情况F1 FFa a 华中科技大学机械学院非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院FEFEoEtot22 0a1 时域压缩，频域扩展a倍。华中科技大学机械学院1F 1F 2E2 2 otEotE44 持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加， 频带展宽，各分量的幅度下降a

14、倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院(3)a 1fftFFF*当f 为实函数时F F*共轭为偶函数X为奇函数F()R()jX() )jX)F*()华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院三时移特性若f (tF),则f) F(ej t0 ;若FF)ej(则f t0 )F()ej() t0 幅度频谱无变化，只影响相位频谱相移tt0 x tt00左t0FTf (x)f ()e j ( xt0)dxe j t0f ()e j xdx

15、 e jF( )f(e j t0F( )华中科技大学机械学院f华中科技大学机械学院fEO例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。T解：Tt22EF 0EF 0O三脉冲信号的波形信号，其频谱函数F0 ,F ESinc02华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院因为F 00E00fffTfT00由时移性质知三脉冲函数的频谱函数F为:002OF 0F0FejTejT 3E E Sinc 222O脉冲个数增多，频谱TT包络不变，带宽不变。三脉冲信号的频谱华中科技大学机械学院带有尺度变换的时移特性华中科技大学机械学院若f (tF)1 j b则fat bFaeaa )fa00 xat

16、t01)/adxa01jt01jt0a0t(xt0)/aeafeaa)a若a 0,则有绝对值华中科技大学机械学院例： 华中科技大学机械学院FS22频频谱密度函方法一：先标度变换，再时延因为a 2,所以f2t F FE Sa 2 2 24 5 j5因为b5，对t时移 （向右）2所以f2t5Sae224方法二：先时延再标度变换相同对t时移（向右f 5E Saej 52E j5对所有压缩2：f2t 5Sae224华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院（1）性质四频移特性若f(t) F)f(te0t则F0 00为常数，注意f(te0tF0（2）证明Ff(te0t (te0t

17、 etdt f(t)e0t d F0华中科技大学机械学院（3）说明华中科技大学机械学院FF0)O0F0) 0OO时域f 时域f乘e0t ,频域频谱搬移 (t乘e0t ,右移0左移0（4）应用通信中调制与解调，频分复用。华中科技大学机械学院例:华中科技大学机械学院已知矩形调幅信号fGttf t0其中Gt为矩形脉冲，脉冲幅度为E，E0o脉宽为,试求其频谱函数。to解：22已知矩形脉冲Gt的频谱为矩形调幅信号的波形ESinc因为2f 1Gtej02e j 0t 频谱F为F112020华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院F120120EESinc0Sinc02222FFE

18、2O00 频谱图0矩形调幅信号的频谱华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院性质五对称性质若f (t) F)则Ft 若f为偶函数则F 意义若F(t形状与F) t则F (t的频谱函数形状与f形状相同，t 幅度差2 。华中科技大学机械学院时限信号的频谱一般是无限的，根据对称性带限信号在时域一般也是无限的华中科技大学机械学院周期信号的频谱 是离散的，根据对称性离散信号的频谱是周期的0华中科技大学机械学院2.3 非周期信号及其频谱华中科技大学机械学院几种典型信号的频谱例：(t)傅立叶变换对(t)ejtdt11010(t)0tF)华中科技大学机械学院例.直流信号华中科技大学机械学院f (t ) E, t 根据傅立叶变EE EE换的对称性质