有限元法基础通常将有限元法分为两大类变分法和加权余量

1、第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类:变分法和加权余量法。两种方法的出发点不同， 但最后都归结为：离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域， 算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上 有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。3-1算子方程及变分原理3.1.1算子的概念（1）静电场中，泊松方程V-8V = -p可以写为 L = p，其中L = -V-sV称为算子。（2）稳态磁场中，双旋度方程 Vx - Vx A = J n LA = JR其中算子是L = Vx-1 Vx（3）时变场中，波动方程 VxvVxH -vk2H =vVx Jn

2、LH =vVx J其中算子L = VxvVx-vk2 , v = 1R3.1.2泛函1、泛函的概念泛函是函数空间H中，函数到数的映像，如I G）= I y（x ）也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数y G）有一个I值与之对应，变量I就是D空间的函数yG）的泛函。例如 求yG）所表示的曲线长度及所围面积。曲线长度I y G）=E + 弟:dx曲线所围面积I y G)=j x2 y G认x1不同的yG),有不同的I与之对应，不同的图3-1求曲线长度及所围面积IyG)构成了函数空间H。2、泛函连续若对于yG)的微小改变，有泛函IyG)的微小改变与之对应，就称泛函是连 续的。3、线性泛函若泛

3、函满足Ijy(x)= cIyG)c为常数或I y G)+y G)= I y (x)+1 y (x)1212则称其为线性泛函。4、函数的变分5y泛函IyG)的宗量yG)的变分8y是yG)的微小增量6y = yG)- y (x)5、泛函的变分51对于宗量y(x)的变分5y，泛函的增量为 式中，Lyx)5y是对5y的线性泛函，是AI的主要部分，称为一阶(或一次)变 分AI AI = IyG)+5y -1 y G)=5I + 5 21 +5 31 +=Ly G)5y + oyG)5y 5I = Ly (x) 5y oy (x)5 y是误差项。5y与dy的区别:当自变量x的增量Ax = x-X充分小时，

4、可用dx来表示，dx称为x的微分。相应地，函数y的增量Ay = y(x + Ax)- y(x)= A(x)Ax + o(Ax)当Ax充分小时，可用dy来表示，dy称为y的微分，dy是x的变化引起的微分，是函数增量Ay的线性主要部分A dV -J fdIdJ 18(Vp dV -J fpdV 8p L V 2Vi=J 8(Vp)(Vpdv-JV8pijVNjv j=1Jf色dVv伽iZ 里 NN,j=1J-8中i I j=1jNJdVdV- J fN dVV j j Jj=1Z p J 8VN - VN dV- J fN dV = 0j=1jVi = 1,2,3,n可写为Z p Kj=1式中对换

5、i,j的位置，=J 式中对换i,j的位置，=J fN dVD 1K.不变，表示刚度矩阵的对称性Kij=j &NN -VN dV ,矩阵形式KU = F解之，可得到离散解u = b1 q 中J 3-2加权余量法3.2.1加权余量法设方程Lu = f的近似解为，那么方程的余量（即任一点的余量）为R（u ）= Lu - f边界余量R（u ）= B（u ）式中，第一类r G）= u -u 或 r G）=&?-q第三类u最佳的值应能使余量在D域内所有的点上有最小值，如果D域内有m个节点，是这m个节点坐标的函数（若为子域：。是剖分单元节点坐标的函数），其中 有n个节点不受约束（即节点不在第一类边界上），那

6、么，要选择n个不同的权 函数.，强使每一个权函数与余量的乘积在整个区域积分后为零r =J w RdV + J w R dT = 0i = 1,2,nn个权函数线性无关，是完备函数系中线性独立函数，这是某种平均意义下的误 差为零。这样，可以得到n个方程，从中解出u。这就是加权余量法。设近似解为u = N (x, y, ziii=1式中，u.为待求系数（函数值），N.是一组线性无关的直交基序列，那么（不考虑边界）)i = 1,2,ni = 1,2,nLu N - f dV = 0i = 1,2,ni = 1,2,nj=i j j)u.是节点上的值，与积分无关，提出积分号外工 u j wL(N dV

7、 = j w fdVj =1j D 1 jD j =1u 11、w1，f）u =-u,F =).Lu n(w ,f)即或矩阵形式系数矩阵Eu (w ,Ln即或矩阵形式系数矩阵Eu (w ,Lnj=1u K = Fj=1KU = F=w,r：i = 1,2nMg W)州,出七)(w ,L(N (w ,L(N i(w ,L(N -2X 22 f 、2 n y注：（1）加权余量法可以用于微分方程，也可以用于积分方程，前者对整个定义 域剖分，后者只要对边界及源区剖分。（2）选取不同的权函数，构成不同的计算方法，在微分方程中经常采用若权函数取为形状函数，即w. = N，称为伽辽金法；若权函数取为Dira

8、c函数，即w. =5 .，称为点匹配法；若权函数取为1，即w. = 1，称为子域配置法。（3）加权余量法不需要找到问题的泛函便可得到离散的代数方程组，因此 应用范围更广，使用更方便。（4）用加权余量法时，离散的代数方程组的系数阵不一定是对称、稀疏。 它取决于是用于微分方程，还是积分方程（如边界积分方程）；权函数的选 取。3.2.2伽辽金有限元法当权函数w. = Ni时，可以得到对称、稀疏系数矩阵，因此，广泛用于有限 元法中，称为伽辽金有限元法。设近似解为u =nu j j j=1由于基函数N是完备函数系，因此，方程的余量R（U）= LU - f也是连续的，只 i有当r（u）与完备函数系W中每一

9、个元素正交时，内积才为零ij NR（U）dV = -N ,R（U）：= 0i = 1,2,n因此，伽辽金有限元法可以解释为使方程余量正交于完备函数系的每一个函数。基函数特性，i, j = 1,2,，n表明节点i处的余量R（U）=0 （因为在节点i处的N =1，若R（U贝0，积分后也不 i为零），其它地方余量很小。这样保证了误差限制在单元之内。重写伽辽金公式：j N RG）dV = j N（L（U）- f ）dV = 0i = 1,2,n移项后j N L（U ）dV = j N fdVi = 1,2；.,n将U = n u代入上式，得到 jjj=1i = 1,2,n乙 j N Ln dV = j N fdV j =i = 1,2,n以泊松方程为例:-V .阿=fV。=0r=0r2dn用伽辽金有限元法，设u=n甲，则根据jj j=1j N L（u ）dV = j N fdVi = 1,2,n有j N （- V-PV（UU）dV = j N fdV i = 1,2；.,n由格林定理（降阶连续性处理）j N (-V-V()dV = j &NN -VdV-f N & 匏 drd d r / 6n代入第二类齐次边界条件，上式第二项为零，因此j PVN -V(dVN fdVi = 1,2,nD 1D 1将=n（代入，得到j=1PVNPVN - VN dV