概率论与数理统计：Ch1-5 条件概率与独立性

1、第一章 随机事件与概率（二）1.5 条件概率与独立性 一、 条件概率二、随机事件的独立性三、独立性在可靠性问题中的应用四、 贝努利概型与二项概率一、条件概率 问题的提法给定一个随机试验, 是它的样本空间, 问“事件 发生的概率是多少” ？在上述条件下, 问“已知某事件 发生了, 那么事件 发生的概率是多少” ?例: 某班有100名学生, 共发了10张电影票, 采取抽签的方式.问题1: 张小明拿到电影票的概率是多少?问题2: 若李小亮第一个抽签, 抽中了, 问张小明拿到电影票的概率是多少? 若李小亮没有抽中, 张小明抽中的概率又是多少?例1 盒中装有16个球, 其中6个玻璃球、2个红色4个蓝色;

2、 10个木质球、其中3个红色, 7个蓝色. 现从中任取一球.记则总球数166个玻璃2个红色4个蓝色10个木质3个红色7个蓝色则问: “如果已知取到的是蓝色球, 那么它是玻璃球的概率”是多少？ 上述概率可以记为 . 事实上, 此时的样本空间已经发生变化, 变成为11 个蓝色球（ ）. 所以进一步发现: 定义1.2 给定一个随机试验, 是它的样本空间, 对于 任意两个事件 , 其中 , 称为已知事件 发生的条件下事件 发生的条件概率.容易得到: 条件概率也是概率, 满足概率的公理化定义中的三条公理, 即:公理1 非负性公理2规范性公理3 对可列个两两不相容事件可列可加性相仿可以得到如下性质:以及等

3、类似七条性质.例2 5个乒乓球, 其中3个新的, 两个旧的. 每次取一个.无放回地取两次. 记求:解 例3 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8, 超过60年的概率为0.6. 该建筑物经历了50年后, 它将在10年内倒塌的概率有多大?解 :该建筑物的寿命在5 0年以上; :该建筑物的寿命在60年以上.则所求概率为例4 设 为两个随机事件, 且求解 因例5 设 为事件, 且则下列选项成立的是 .(A)(B)(C)(D)正确答案 (B)例6 设 为事件, 且则下列选项成立的是 .(A)(B)(C)(D)正确答案 (C)例7 设 为对立事件, 且则下列各式中错误的是 .(A)(B)(C

4、)(D)正确答案 (A)则 .例8 设 是随机事件, 与 互不相容，注意到 . 由条件概率公式: 当 （或 ）时,有或变形后有或上式称为概率的乘法公式. 乘法公式可推广到多个事件上去, 例如, 三个事件的乘法公式为例9 10个考题中, 4难6易. 三人参加抽题（不放回）,甲先、乙后、丙最后. 记事件 分别表示三人各抽到难题. 试求:解 二、事件的相互独立性定义1.3 称两个事件 是相互独立的, 如果思考:相互独立与互不相容有何区别? 上式等价于（当 ）. 独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率. 上式也等价于（当 ）. 独立性往往蕴含在事物的内部.例10 一副扑克牌共52张

5、, 现从中随机地抽取一张. 记验证: 事件 与 是相互独立的.解 因从而有即: 事件 与 是相互独立的.或者例11 抛一枚均匀硬币2次, 第一次正面向上 ,第二次正面向上 ,验证: 事件 与 是独立的.解 试验的样本空间为正正, 正反, 反正, 反反则可见即事件 与 是独立的.例12 甲、乙两人同时向一敌机射击，二人击中的概率分别为0.6和0.5. 求敌机被击中的概率.解 设甲击中目标 ,乙击中目标 ,则 相互独立. 所求概率为定理 若下列四对事件与 ;与 ;与 ;与 中有一对相互独立, 则另外三对也相互独立. 即有相应可列出其它等式.例12也可用下面的方法求之:定义1.4 称事件组 是相互独

6、立的, 如果有四个等式都成立. 独立性的定义可推广到 个事件上去. 特别地, 当事件 相互独立时, 有上述定理也可以推广.例13 设某型号的高射炮, 每一门炮发射一发炮弹击中敌机的概率为0.6. 现若干门炮同时发射（每门一发）.问: 至少需要配置多少门高射炮, 才能以99%的把握击中敌机?解 记 第 门炮击中敌机敌机被击中 . 则由题意,即: 至少需要配备6门炮, 才能以99%的把握命中敌机.例14 设两两相互独立的事件 满足:且已知则 . 解 记 , 则由独立性和加法公式 解得 例15 设两个相互独立的事件 和 都不发生的概率为 , 发生 不发生的概率与 发生 不发生的概率 相等, 则 .解

7、 由题意知 ,又记则三、独立性在可靠性问题中的应用 一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划. 所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率. 以下讨论中, 假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的. 两个基本模型:串联系统设一个系统由 个元件串联而成, 第 个元件的可靠度为 , 则系统的可靠度为并联系统设一个系统由 个元件并联而成, 第 个元件的可靠度为 , 则系统的可靠度为例15 求下面混联系统的可靠度, 其中每个元件的可靠度都是 .1234解 系统的可靠度为四、贝努利概型与二项概率 如果在一个试验中, 我们只关心某个事件 发生与否,那么称这个试验为贝努利试验. 此时试验的结

8、果可以看成只有两种: 发生或者 不发生. 相应的数学模型称为贝努利概型. 如果把贝努利试验重复独立地做 次, 则称这 次试验为 重贝努利试验. 在 重贝努利试验中, 我们主要研究事件 发生的次数以及事件 恰好发生 次的概率. 问题的一般提法: 设在单次试验中, 事件 发生的概率为 , 将此试验重复独立地进行 次, 问事件 恰好发生 次的概率（记为 ）是多少？定理 重贝努利试验中, 事件 恰好发生 次的概率为这里 . 由于因此称 为二项概率.例16 一部机器在一天内发生故障的概率为0.2. 若一周五个工作日里每天是否发生故障是相互独立的. 试求一周内发生了三次故障的概率.解 此为 的二项概率, 因此所求概率为例17 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目 标的概率为 , 求此人第四次射击恰好第二次命中的概率.解 依题意, 知前三次击中一次, 第四次击中, 则前三次恰好击中一次的概率是因此, 所求概率为例18 设每次射击命中目标的概率为 如果射击5000次, 试求至少两次命中目标的概率.解 此为 的二项概率. 由计算公式:例19 考试靠懵行不行. 对于每一个学生而言, 求学过程中会面对很多次的考试, 如果平时不努力学习, 想凭运气靠懵来通过考试,