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文档简介

1、 pTx8，VxS且pT08。由80，及S的定义，我们有：pTx8+pTx，VxS，VxS。121122结果得证。1.4.无约束问题的最优性条件一、极小点的概念1局部极小点2严格局部极小点3全局(总体)极小点4严格全局(总体)极小点。注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化问题的局部极小点，这是由于一般地求全局极小点极为困难，仅当问题为凸规划时，局部极小为全局极小。二、最优性条件定理1.47(阶必要条件)若x是局部极小点，则Vf(x)，0。定理1.48(二阶必要条件)若x是局部极小点，则Vf(x)，0，V2f(x)0。(半正定)定理1.49(二阶充分条件)x是局部极小点的充分条件是：Vf

2、(x)，0，且V2f(x)正定。注：使Vf(x)，0的点x称为函数的稳定点。稳定点可以是极大点，也可是极小点，也可两者均不是，此时称为鞍点。定理1.50若f(x):RnR是连续可微的凸函数，则x是总体极小点的充要条件是Vf(x)，0。证明：必要性由定理1.47，充分性则由f(x)f(x)+Vf(x)T(x-x)直接可得。1.5.最优化算法的结构一、算法结构最优化算法通常采用迭代形式，由算法产生一个有限或无限点列。一般地，需要证明迭代点列x的聚点(子序列的极限点)为一局部极小点。算法的基本迭代格式为：kx，x+adk1kkk它包含两个要素：步长因子a与搜索方向d。在最优化算法中，d通常是函数f在

3、x处的下降方kkkk向，即d满足：kdTf(x)0，或f(x+,d)0及一个与迭代次数k无k关的常数q0，使得xx*limk+1qkx0时，称为线性收敛；当1，0或，1，q0时，称超线性收敛；当,2时，称二阶收敛。注：若一个算法应用于正定二次函数时，具有有限终止性质，则称该算法二次收敛。二次收敛与二阶收敛是完全不同的概念，不存在孰强孰弱的简单关系。但大量数值计算结果表明：具有二次收敛性质的算法，实际计算性能一般都较好，因而二次收敛也常作为一个好算法的标志。三、关于常用算法的终止条件定理1.52若序列x超线性收敛到x*，那么kxxlimkik1.k,gxx*k证明：略此定理的意义在于：当算法具有超线性收敛性质时，可用x-x8替代x-x*作为k1kk算法停止准则。事实上，在实际应用中，即使不知道算法是

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