解不等式中的数学思想方法

1、文档编码 : CF7O7R4Y4P5 HD4F8S5L3J7 ZH1A1A3L7I6精品资料 欢迎下载 解不等式中的数学思想方法 一 解不等式中的简易规律思想 例 1 已知 p :|1 x 1| 2 2, q : x 2x 1m20 m 0 ；.p 是.q 的必要不充分条 3件,求实数 m 的取值范畴 . 分析 此题实为上一命题的姊妹题,将命题的表述重心移至充要条件,使用了同学较 为熟识的语言形式 .充要条件是一个特别重要的数学概念,新教材将这一内容的学习放在第 一章, 从而也可能利用第一章的学问内容来命题考查这一概念 .本例是一道揉确定值不等式, 二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好

2、试题, 要求同学能正确运用数学符号, 规 范数学学习行为,否就连读题审题都感困难 . 解答 由 | 1 x 1| 2, 得 2x 10 , 3由 x 2 2 x 1m 2 0m 0 ,得 1 m x 1 mm 0 , .p 即 x 2 ,或 x 10 ,而.q 即 x 1m ,或 x 1 m m 0 ； 由.p 是.q 的必要不充分条件,知. q. p , 设 A= x | x 2,或 x 10 , B= x | x 1 m,或 x 1 mm 0 , 1m1, 就有 A B ,故 1m10,且不等式中的第一,二两个不等式不能同时取等号, m0, 解得 0m3,此即为“. p 是.q 的必要不充

3、分条件”时实数 m 的取值范畴 . 二,解不等式中的换元思想 例 2 解不等式 1x 1 1 1 ； x x 1 612 分析： 如试图将不等式化为基本形式求解,须先去分母,有 x 1 x 01x 011 6x x x 1 1 1 12 x x 1 或 x 111 12 x x x 111 6x x 11至此,解题难以为继； 如令 x 1t ,就 x=t 2-1. x-1, 且 x 0, t0 且 t 1, 第 1 页,共 6 页不等式化为 1t 1t 1精品资料 欢迎下载 t 11t 0, t 1, t 1 0,t 1, 即 12 1 t 612 t 2 16 6tt+1 12t0. 解得

4、2t 3,从而 2x 13 , 即 4x+1 9；不等式的解集是 3, 8； 三,解不等式中的数形结合思想 2例 3设 a 3a 时,函数 y=fx 4y=gx 的图象的上方； 不等式的解集是 3a ,+ . 4的图象位于函数 注：无论解什么样的题,都既要把握基本的解题方法,又要以灵敏为主；会 做,仍要讲求做题效率； 分析 由于左, 右两边有相同的地方, 因此可以换元, 使不等式的结构变为简洁形式 距为 a 的平行直线系 ,在同一坐标系内作出两函数的图象, 如图 1 由于 y1 y2 ,所以 1 当 0 a1 时, 0t 1, 即 0ax1,所以 x 0 , + 第 2 页,共 6 页精品资料

5、 欢迎下载 综上所述当 a0 , 1 时,解集为 0 , + ,当 a 1 , 评述 在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复 杂的不等式化归为较简洁的或基本不等式, 通过构造函数, 数形结合, 就可将不等式的解化 归为直观,形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,仍可以使得分类标准更加 明晰 四,解不等式中的函数方程思想 例 4 求 a, b 的值,使得关于 x 的不等式 2 a x +bx+ a2-1 0 的解集分别是： 1-1 , 2 ； 2- , -1 2 ,+ ； 32 ； 4-1 , + 分析 方程的根,函数的性质和图象都与不等式的解亲热相关,要

6、善于把它们有机地 联系起来,相互转化和相互交通 2 2 解 1 由题意可知, a0 且 -1 , 2 是方程 a x +bx+ a -1 0 的根,所以 2 23由题意知, 2 是方程 a x +bx+ a -1=0 的根,所以 4a+2b+a2-1=0 2 2 又 2 是不等式 a x +bx+ a -1 0 的解集,所以 2 24由题意知, a=0 b 0,且 -1 是方程 bx+ a -1=0 的根,即 -b+ a -1=0 ,所以 a=0, b=-1 五,解不等式中的分类类争论思想 解不等式 x 112 x 2x 0 x 2 1第 3 页,共 6 页精品资料 欢迎下载 分析 这是一个分

7、式型无理不等式,需要将其转化为有理不等式来求解 解 分类争论 1当 x=0 时,原不等式明显成立 2当 x 0 时, 评述：此题类比万能公式接受三角代换更加简洁； 2 2分析：由 x R 及 1 x x 2 的特点联想到万能公式 11 tan tan 2 cos 2 于是可构造三 1角函数,令 x=tan 求解； 2 22解：令 x=tan 2 2 就由已知得 tan tan 1 1 tan tan 21 0 ,从 而 2 sin 2sin 1 0 1 sin1 tan 3 , x 2 6 2 33； 3六,解不等式中的构造思想 例 6 ,解不等式 810 3 x 5x 0 3 x 1 x 1

8、第 4 页,共 6 页精品资料 欢迎下载 分析；此题直接将左边通分接受解高次不等式的思维来做运算较烦；但留意 到 x 1 83x 10 1x 1 2 35 x 1 2 且题中显现 x 3 5 x , 启示我们构造函数 fx=x 3+5x 去投石问路； 解：将原不等式化为 235 2 x3 5x ,令 fx=x 3+5x ,就不等式变为 x 1 x 1 f 2 fx , fx=x 3 +5x 在 R 上为增函数原不等式等价于 2x,解 x 1 x 1之得： 1 x 2 或 x 2 ； 七,解不等式中的转化化归思想 例 7 对于中意 0p4 的一切实数,不等式 围 . x px4x p-3 恒成立

9、,试求 x 的取值范 2 分析 : 我们习惯上把 x 当作自变量,构造函数 y x p-4x 3-p, 于是问题转化为：当 p0,4 时,y 0 恒成立, 求 x 的取值范畴 . 解决这个等价的问题需要应用二次函数以及 二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的 . 2 假如把 p 看作自变量, x 视为参数,构造函数 yx-1p x -4x 3 ,就 y 2 是 p 的一次函数,就特别简洁 . 即令 fp x-1p x -4x 3. 函数 fp 的图 象是一条线段,要使 fp 0 恒成立,当且仅当 f0 0,且 f4 0,解这个 不等式组即可求得 x 的取值范畴是 - ,-1 3, .

10、此题看上去是一个不等 式问题, 但是经过等价转化,我们把它化归为一个特别简洁的一次函数,并借助 于函数的图象建立了一个关于 x 的不等式组来达到求解的目的 . 八, 解不等式中的整体思想 例 8 ,已知 fx=ax 2 -c, 且-4 f1 -1,-1 f2 5, 求 f3 的范畴； 解：令 f3=9a-c=mf1+nf2=m+4na-m+nc, m 4n 9m5 f3= 8f 2 5f 1 , 又 -4 f1 3 833mn1n3-1,-1 f2 5 ,-1 f3 20 ； 评述：题中 f1=a-c,f2=4a-c, 且-4 f1 -1,-1 f2 5 是四个整体,在解 题过程中,整体谋划,

11、不能破坏其固有的整体结构； 第 5 页,共 6 页精品资料 欢迎下载 九,解不等式中的变量分别思想 例 9 设对全部实数 x,不等式 恒成立,求 a 的取值范畴 分析 仔细观看不等式的结构,易知要解决的问题是对全部的 x, x 2t-2-2t+1x+2t+1 0 不符合题意,所以 t 2因此对任意实数 x,不等式恒成立的充 左边等号当 x=0 时成立于是得 ymin=-1 ,故 t -1 以下略 不等式的核心问题是不等式的同解变形, 能否正确的得到不等式的解集, 不等式同解变 形的理论起了重要的作用 整式不等式 主要是一次, 二次不等式 的解法是解不等式的基础, 利用不等式的性质及 函数的单调性, 将分式不等式, 确定值不等式, 无理不等式化归为整式不等式 组 是解不等 式的基本思想,分类,换元,数形结合是解不等式的常用方