理论力学动量矩定理

1、理论力学动量矩定理第1页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 相对质心的动量矩定理 在质点系相对于惯性参考系中固定点（或固定轴）的动量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动所确定。 这里讨论质点系相对于质点系的质心或通过质心的动轴的动量矩定理，一方面是因为它有广泛的应用价值，另一方面动量矩定理仍保持了简单的形式。第2页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在确定的关系。质点系相对固定点的动量矩为 相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩 因为因为所以有所以有第3页，共19页，2022年，5月20日，16

2、点59分，星期四根据上式和质点系对固定点的动量矩定理， 相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩定理 第4页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 这就是质点系相对质心的动量矩定理(theorem of the moment of momentum with respect to the center of mass) ，它表明：质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。 需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定是平移坐标系。定理只适用于质心这一特殊的动点，对其它动点，定理将出现附加项。 对于刚体，质心运动定理建立了外力与质心运动

3、的关系；质点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系。 相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩定理 第5页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 刚体平面运动微分方程 第11章 动量矩定理第6页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 取质心C为基点，其坐标为xC、yC，设D为刚体上任意一点，CD与x轴的夹角为, 则刚体的位置可由xC、yC和确定。 将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为xCyC 刚体平面运动微分

4、方程 第7页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 其中JC为刚体对通过质心C且与运动平面垂直的轴的转动惯量， 为角速度。 xCyC 刚体平面运动微分方程 当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理 ，有 第8页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四这就是刚体平面运动的微分方程。 或者 需要指出的是，如果上述投影方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成

5、了对刚体平面运动的特例 平衡情形的静力学描述。 刚体平面运动微分方程 第9页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 半径为 r 的匀质圆盘从静止开始，沿倾角为的斜面无滑动的滚下。试求： 1圆轮滚至任意位置时的质心加速度 aC ； 2圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。 刚体平面运动微分方程 第10页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四aC 解：分析圆轮受力 圆轮作平面运动。根据刚体平面运动微分方程，有 FFN1确定圆轮质心的加速度 刚体平面运动微分方程 第11页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四运动学补充关系 aCFFN（4）式代入（

6、3）式，得 代入（1）式，得 刚体平面运动微分方程 第12页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 解：2确定圆轮在斜面上不滑动的 最小静摩擦因数 此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。aCFFN 刚体平面运动微分方程 第13页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 均质杆AB长为l，放放置于铅垂平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂墙上，另一端B放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为0。然后，令杆由静止状态滑下。求：杆在任意位置时的角加速度。 刚体平面运动微分方程 第14页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四FAFBmg解：以杆为研究对象，杆作

7、平面运动，分析其受力列出平面运动微分方程 刚体平面运动微分方程 式中有五个未知量 ，如果要求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。第15页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 相对特殊瞬心的动量矩定理：平面运动过程中，如果刚体的质心 C 到速度瞬心 C* 的距离保持不变，则质点系相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩。即C* 注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时， vBvA 刚体平面运动微分方程 第16页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四 对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。 C*vBvA 刚体平面运动微分方程 第17页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四例 两个重量为P，半径为r的均匀圆盘（如图所示）,求：B物体滚下时质心的加速度与绳子张力。加速度:绳子张力:ABPPaBFFaBaA解：取轮A研究对象取轮B研究对象第18页，共19页，2022年，5月20日，16点59分，星期四例.一根筷子在