t分布的概念及表和查表方法

1、t分布介绍在 HYPERLINK /item/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA/829122 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 概率论和 HYPERLINK /item/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6/1175 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 统计学中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈 HYPERLINK /item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83/829892 t /item/t%

2、E5%88%86%E5%B8%83/_blank 正态分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=时，t分布曲线为标准正态分布曲线。中文名t分布应用在对呈 HYPERLINK /item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 正

3、态分布的总体外文名t-distribution别称学生t分布学科 HYPERLINK /item/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 概率论和 HYPERLINK /item/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 统计学相关术语t检验目录1 HYPERLINK /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/299142?fr=aladdin l 1 历史2 HYPERLINK /item/t%E5%88%86%E

4、5%B8%83/299142?fr=aladdin l 2 定义3 HYPERLINK /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/299142?fr=aladdin l 3 扩展4 HYPERLINK /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/299142?fr=aladdin l 4 特征5 HYPERLINK /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/299142?fr=aladdin l 5 置信区间6 HYPERLINK /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/299142?fr=aladdin l 6 计算历史在 HYPERLINK /ite

5、m/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 概率论和统计学中，学生t-分布（Studentst-distribution）经常应用在对呈 HYPERLINK /item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 正态分布的总体的 HYPERLINK /item/%E5%9D%87%E5%80%BC t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 均值进行估计。它是对两个 HYPERLIN

6、K /item/%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E5%9D%87%E5%80%BC t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 样本均值差异进行 HYPERLINK /item/%E6%98%BE%E8%91%97%E6%80%A7 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 显著性测试的学生t测定的基础。t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此

7、时可以用 HYPERLINK /item/%E5%8F%98%E5%BC%82%E6%95%B0%E5%88%86%E6%9E%90 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 变异数分析代替学生t检定。当母群体的 HYPERLINK /item/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。学生t-分布可简称为t分布。其推导由 HYPERLINK /item/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E6%88%88%E5

8、%A1%9E t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 威廉戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。之后t检验以及相关理论经由 HYPERLINK /item/%E7%BD%97%E7%BA%B3%E5%BE%B7%C2%B7%E8%B4%B9%E9%9B%AA t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 罗纳德费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。定义由于在实际工作中，往往是未知的，常用s作为的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，

9、统计量t 值的分布称为t分布。假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n的t分布，记为。分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。扩展 HYPERLINK /item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多 HYPERLINK /item/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%96%B9%E6%B3%95 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_

10、blank 统计方法的理论基础。正态分布有两个参数，和，决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换(X-)/转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为=0，=1的 HYPERLINK /item/%E6%A0%87%E5%87%86%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 标准正态分布（standard normal distribution），亦称u分布。根据 HYPERLINK /item/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%9E%81%

11、E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定n，抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N(,)。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)。特征1以0为中心，左右对称的单峰分布；2t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度df）大小有关。自由度df越小，t分布曲线越低平；自由度df越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图：t(n)分布与标准正态N(0,1)的密度函数。随着自由度逐渐增大，t分

12、布逐渐接近标准正态分布。对应于每一个自由度df，就有一条t分布曲线，每条曲线都有其曲线下统计量t的分布规律，计算较复杂。学生的t-分布（或也t分布），在概率统计中，在置信区间估计、显著性检验等问题的计算中发挥重要作用。t分布情况出现时（如在几乎所有实际的统计工作）的总体标准偏差是未知的，并要从数据估算。教科书问题的处理 HYPERLINK /item/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%81%8F%E5%B7%AE t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 标准偏差，因为如果它被称为是两类：（ 1 ）那些在该样本规模是如此之大的一个可处理的数据为基础估计的差

13、异，就好像它是一定的；（ 2 ）这些说明 HYPERLINK /item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%8E%A8%E7%90%86 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 数学推理，在其中的问题，估计标准偏差是暂时忽略的，因为这不是一点，这是作者或导师当时的解释。置信区间假设数量A在当T呈t-分布（T的 HYPERLINK /item/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 自由度为n1）满足这与是相同的。A是这个 HYPERLINK /item/%E6%A6%8

14、2%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 概率分布的第95个百分点。那么等价于因此的90% HYPERLINK /item/%E7%BD%AE%E4%BF%A1%E5%8C%BA%E9%97%B4 t /item/t%E5%88%86%E5%B8%83/_blank 置信区间为：。计算下表列出了自由度为1-30以及80、100、120等t-分布的单侧和双侧区间值。例如，当样本数量n=5时，则自由度df=4，我们就可以查找表中以4开头的行。该行第5列值为2.132，对应的单侧值为95%（双侧值为90%）。这也就

15、是说，T小于2.132的概率为95%（即单侧），记为Pr( T 2.132) = 0.95；同时，T值介于-2.132和2.132之间的概率为90%（即双侧），记为Pr(2.132 T 2.132) = 0.9。这是根据分布的对称性计算得到的。Pr(T 2.132) = 1 0.95 = 0.05因此，Pr(2.132 T 2.132) = 1 2(0.05) = 0.9注意关于表格的最后一行的值：自由度为无限大（n=120）的t-分布和正态分布等价。(查表时注意:v是指自由度，并分单侧和双侧两种类型) (右侧的示意图是单侧检验的情形) （下图是左右、双侧等检验的情形）单侧75%80%85%9

16、0%95%97.5%99%99.5%99.75%99.9%99.95%双侧50%60%70%80%90%95%98%99%99.5%99.8%99.9%（V） 11.0001.3761.9633.0786.31412.7131.8263.66127.3318.3636.620.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.0922.3331.6030.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.2112.9240.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738

17、.61050.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781100.7000.8791.09

18、31.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.140150.6910.8661.0741.3411.7532.13

19、12.6022.9473.2863.7334.073160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.15

20、33.5523.850210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.767240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.690280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659300.6830.8541.0551.3101.69