2021考研数学一真题及答案解析

1、 5/52021考研数学一真题及答案解析 2002年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) ? +e x x dx 2ln = . (2)已知函数()y y x =由方程0162 =-+x xy e y 确定,则(0)y = . (3)微分方程02 =+y y y 满足初始条件 00 1 1, 2 x x y y = 的特解是 . (4)已知实二次型3231212 32 22 1321444)(),(x x x x x x x x x a x x x f +=经正交变换 x Py =可化成标准型216y f =

2、,则a = . (5)设随机变量X 服从正态分布2 (,)(0)N ,且二次方程042 =+X y y 无实根的概率为 1 2 ,则 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ),(y x f 在点),(00y x 处连续; ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ),(y x f 在点),(00y x 处可微; ),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在 若用“P Q ?”表示可由性质P 推出性质Q ,则有

3、 (A ) ?. (B ) ?. (C ) ?. (D ) ?. (2)设0(1,2,3,)n u n =L ,且lim 1n n n u =,则级数11111(1)()n n n n u u +=+-+ (A ) 发散. (B ) 绝对收敛. (C ) 条件收敛. (D ) 收敛性根据所给条件不能判定. (3)设函数()y f x =在(0,)+内有界且可导,则 (A ) 当0)(lim =+ x f x 时,必有0)(lim =+ x f x . (B ) 当)(lim x f x + 存在时,必有0)(lim =+ x f x . (C ) 当0 lim ()0 x f x +=时,必有

4、0 lim ()0 x f x + =. (D ) 当0 lim ()x f x +存在时,必有0 lim ()0 x f x + =. (4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b +=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x , 分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则 (A ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随

5、机变量的概率密度. (C ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在 0 x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f ,若 ()(2)(0)af h bf h f +-在0h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值. 四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与? -=x t dt e y arctan 0 2 在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限 )2(lim n nf n . 五、(本题满分7分) 计算二重积分dx

6、dy e D y x ? ,max22 ,其中10,10|),(=y x y x D . 六、(本题满分8分) 设函数)(x f 在(,)-+内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线, 其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记 22211()()1,L x I y f xy dx y f xy dy y y =+-? (1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值. 七、(本题满分7分) (1)验证函数3333 69()1()3!6!9!(3)!n x x y x x n =+ +- 4.依题意,有 1 ()4.2 P A P X

7、= 而 44141( ),P X P X -=-=- 即 414141(),(),0. 4.22 =?= 二、选择题 (1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ). (2)【分析】 由1 lim 101n n u n n +=?充分大时即,N n N ?时 10n u ,且1lim 0,n n u +=不妨认为,0,n n u ?因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 1 n u 的单调性. 按定义考察部分和 1 111 1111 1

8、111(1) ()(1)(1)n n n k k k n k k k k k k k S u u u u +=+=-+=-+- 1111 111(1)11(1)1(1)(),k n n n l k l k l n n u u u u u +=+-=-+-=+ ?原级数收敛. 再考察取绝对值后的级数1111 ()n n n u u =+ .注意1111 12,11n n n n u u n n n u u n n +=+?+ 11 n n =发散?1111()n n n u u =+发散.因此选(C ). (3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0 x f x a + =,则由拉

9、格朗日中值定理, (2)()()()f x f x f x x -=+ (当x +时,+,因为2x x 上Pdx Qdy +?原函数,即0(,)()xy x u x y f t dt y =+?. ?积分I 在0y 与路径无关. (2)因找到了原函数,立即可得(,) (,) (,) .c d a b c a I u x y d b = - 七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数 3693()13!6!9!(3)! n x x x x y x n =+L L 的收敛域是()x - =?依题意,Y 服从二项分布1 (4,)2 B ,则有 2222111 ()()4(4) 5.222 EY DY EY npq np =+=+=?+?= 十二、【解】 2 2 012(1)23(12)34,EX =?+?-+?+?-=-1 (3).4 EX =- 的矩估计量为1?(3),4X =-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8 x =+ 2.=因此的矩估计值11?(3).44 x =-= 对于给定的样本值似然函数为 624()4(1