概率与数理统计

1、概率与数理统计第1页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四 (1) 随机变量的分布虽然全面完整地反映了随机变量的概率性质，但有时却不够集中突出地反映随机变量的某些特征。需要引进一些数量来表示平均值和衡量偏离程度。 研究随机变量的数字特征的必要性随机变量的数字特征(2) 在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求出。 (3) 在许多实际问题中，完全、确切地掌握随机变量的分布并 不必要，而只需知道它的某些特征就够了。例：在测量某零件的长度时，由于种种偶然因素的影响，测量到的零件的长度是一个随机变量，一般我们关心的是测量的平均长度以及测量结果的精确程度测量的长度与平均值的偏离程度。 表

2、示平均值和衡量偏离程度的量虽然不能完整地描述随机变量，但它能够描述随机变量的某些重要特征，我们把其称为随机变量的数字特征。第2页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四解：直接比较，难知两射手技术的优劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述两射手技术水平的数字特征。 让我们先来研究概率论中刻划平均值的数字特征。 例：甲乙两人各射击 1000 次，其命中环数的次数为随机变量，记为 X1, X2。射击情况如表 1 所示。试问甲乙二人谁的水平较高？表1 X1 525 200 50 100 75 50 X2 400 200 245 155 0 0环数 x i 10 9 8 7 6 5不难计

3、算出两射手命中目标的“平均环数”分别为从平均环数看，甲比乙水平高一点。频率以频率为权数的加权平均值第3页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击1000次 同样计算，结果一般不会相同。若令 fi 表示频率，则上述二式可表示为 由概率的统计定义知道，在大量试验下频率 fi 概率 pi 稳定于从而稳定于表2P(X1=x i) 0.526 0.2 0.05 0.1 0.074 0.05环数 x i 10 9 8 7 6 5P(X2=x i) 0.398 0.2 0.245 0.157 0 0 若甲、乙的命中环数 X1 , X2 的分布列如

4、表 2 所示，概率以概率为权数的加权平均值数学期望则第4页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四第一节 数学期望（均值） 离散型随机变量的数学期望就是其取值的加权平均值，权为概率。一 离散型随机变量的数学期望 定义：设离散型随机变量X 的概率函数为 P (X=x i )=pi i = 1, 2, 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X 的数学期望简称期望或均值。记作E X ，即E X =如果级数 不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在 对要求绝对收敛的说明：离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的，对同一个随机变量，它的取值的列举次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期

5、望是不应该改变的，这就意味着级数 的求和次序可以改变而其和要保持不变，要达到这一点，必须有 绝对收敛。注意 数学期望的直观含义：平均值 第5页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四 例：一批产品中有一、二、三等、四等品、废品 5 种, 相应的概率分别为 0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其产值分别为 6元、5.4元、5元、4元、0 元。产值 X是一个随机变量，其分布如表3 求：产品的平均产值。例：设离散型随机变量X的概率函数为解：EX = 60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04 = 5.48(元)解：0.040.060.10.10.7P0455.46

6、X表3求：EX 第6页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四记为设连续型随机变量X 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称积分 为 X的数学期望。例：计算在区间 a , b 上服从均匀分布的随机变量X的数学期望解：依题意二 连续型随机变量的数学期望结论：在区间 a , b 上服从均匀分布的随机变量X的数学期望 是区间中点第7页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四例：设随机变量X 服从参数为 的指数分布，求X 的数学期望则解：指数分布的密度函数为这表明指数分布的数学期望为 。例：设 X 的密度函数为 求 X 的数学期望。解：第8页，共20页，2022年，5月20日，

7、6点2分，星期四设随机变量 X 服从柯西 (Cauchy) 分布，其密度函数为例：第9页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四定理3.1：设 Y =g(X )，g(x) 是连续函数，那么(2) 若X为连续型随机变量，其密度函数为 f ( x )， (1) 若X 为离散型随机变量，其概率函数为求 E Y 时，可以不求Y=g(X ) 的分布，而直接利用X 的分布。三 随机变量函数的数学期望第10页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四 解：例：设随机变量X 的分布列为求：EX2，E(2X -1)。P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3例：求：EY 解：第

8、11页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四定理3.2若(X ,Y) 是二维随机变量，Z=g(X ,Y )(1) 若 (X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其联合分布为(2) 若 (X ,Y )为二维连续型随机变量，联合密度函数为 f ( x , y ) 且第12页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四解： 设 (X,Y)的联合密度为例：求： EXY 设 (X,Y)的联合概率分布为例：求： E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解：(1+1)x0.1+(1+2) x 0.2+(1+3) x 0+(2+1) x0.3+(2+2

9、) x 0.15+(2+3) x0.25=3.55第13页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即 E(c)=c.证： 常量 c 可看作仅取一个值 c 的随机变量，且取值 c 的概率为1，即 X 的分布为 P(X =c)=1，这种分布称为退化分布，其数学期望为E(c)=c1=c推论：E(EX ) = EX性质2：随机变量X与常量 c 之和的数学期望等于X的期望与这个常量 c 的和 E(X+c)=EX +c证：设X的分布为 pk（离散型）；密度函数为 f(x)（连续型），则 四 数学期望的性质第14页，共20页，2022年，5月20日，6点2分

10、，星期四性质3：常量 c与随机变量X的乘积的期望等于 c与X的期望的乘积， E(cX ) = cEX 证：设 X 的分布为 pk（离散型）；密度函数为 f(x)（连续型）则性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望 的同一线性函数，即E(kX +c)=k EX+c证： E(kX +c) = E(kX)+c = kEX +c第15页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四性质5：两个随机变量之和（差）的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和（差） E (X Y) = EX EY推论： 对任意常数ci (i=1,2,n)、常数b及随机变量X i(i=1,2,n) 特别地，

11、n 个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值 等于这 n 个随机变量期望的算术平均数。第16页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四性质6：两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积, 即E(XY)=EXEY证：离散型：设 (X ,Y) 的联合分布为 pij ，边缘分布为 pi(1) 和 pj(2) 连续型：设 (X ,Y) 的联合密度函数为 f (x, y)，边缘密度函数分别为 fX(x)和 fY(y)，则第17页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四解： EX=90.3+100.5+110.2=9.9 EY 2 =620.4+720.6=4

12、3.8 例：两相互独立的随机变量 X,Y 的分布如下面两表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y 求：E(X+Y ) 、 E(XY ) 和 EY2 且 因 X与Y 相互独立，所以 E(XY) =EXE Y=9.96.6=65.34 则 E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5 EY =60.4+70.6=6.6 设 (X,Y)的联合概率分布为例：求： E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解： 0.250.350.4P321Y 0.70.3P21X EX =10.3+20.7=1.7 EY =10.4+20.35 +30.25=1.85 E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55第18页，共20页，2022年，5月20日，6点2分，星期四五 条件数学期望 定义：设离散型随机变量X,Y 的联合概率函数为 P (X=x i , Y=yj)=pi j i,j = 1, 2, ,在Y=yj条件下X的条件概率函数为P (X=x i | Y=yj) i = 1, 2, 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X 的条件