动量传递方程的若干解

1、动量传递方程的若干解第1页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一第一节 曳力系数与范宁摩擦因数实际流体按流动方式可分为两类：流体在封闭通道内的流动，如化工管路中的流体流动；流体围绕浸没物体的流动(绕流)，如流体在平板壁面上的流动，流体与固体粒子之间的相对运动，流体在填充床内的流动，等。 黏性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，由于流体的黏性以及壁面对流动的阻滞作用，流体的速度分布与压力分布发生变化，在流体与壁面之间发生动量传递作用，亦即相界面或壁面对流体流动产生阻力。流体会受到来自壁面的阻力，也称流体对壁面施加的曳力(drag force)。流体与壁面之间的动量通量为该

2、式是阻力系数CD的一般定义是。第2页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一一、绕流流动以黏性流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动为例进行讨论。流体对物体所施加的曳力用牛顿阻力平方定律表示 Fd-流体对物体施加的总曳力； A-物体表面的受力面积 或与流体垂直方向上的投影面积； u0-远离物体表面的流体流速； CD-曳力系数 ； -动能因子。第3页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一形体曳力 Fdf (form drag) ： 压力在物体表面上分布不均所引起的形体曳力。摩擦曳力 Fds(skin drag) ： 物体表面上剪应力所引起的摩擦曳力。总曳力Fd由

3、形体曳力 Fdf和摩擦曳力 Fds组成，即由式(3-1) ,得该式即为总曳力系数(平均曳力系数)的定义式。第4页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一当压力在物体表面均匀分布时,只存在摩擦曳力,而无形体曳力,如，流体在平壁面上的流动、流体平行流过导管壁面。 此时式(3-1)与CD的一般定义式(2-6)相同，即如式中 s 随壁面位置变化，则称其为动量通量的局部值，以 sx 表示，相应的曳力系数称为局部曳力系数，以 CDx 表示，此时式(3-3)变为绕流流动的曳力的最终归结为动量传递系数或曳力系数CD的求解。 第5页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一二、封闭

4、管道内的流动 流体在管道内的流动阻力表现为流体沿程的压降。以黏性流体在一水平直圆管内做稳态流动为例。任取一长为L、半径为r的流体元：推动力摩擦阻力在稳态下，流体不被加速，推动力与摩擦阻力在数值上相等，即令 代入上式得在壁面处，r = ri = d/2,上式为第6页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一将式(3-5)与式(3-6)联立，得即，剪应力沿径向为线性分布。令为管内流动压力降，则式(3-6)可写成式(3-9)表明，管内流动的摩擦阻力(压力降)的求解依赖于壁面处的动量通量(壁面剪应力)。 对于管内流动，流体与管壁间的动量传递系数定义为ub-流体的平均流速；f -范宁(Fa

5、nning)摩擦因数；f ub/2 -流体与壁面之间的动量传递系数；us-壁面处流速(us=0)第7页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由式(3-10)得到，范宁(Fanning)摩擦因数 的定义式将式(3-10)代入式(3-9),得式(3-12)称为计算管内摩擦压降的达西(Darcy)公式。 由式(3-12)可知，管内流动摩擦压降的求解最终归结于动量传递系数或范宁摩擦因数 f 的求解。第8页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一第二节 平壁间与平壁面上的稳态层流一、两平壁间的稳态层流特点：平壁的宽度远远大于平壁间的距离，认为平壁为无限宽，流体在平壁间的

6、流动为一维稳态层流。设：流体为不可压缩，且所考察的部位远离流道进、出口 。因所以，不可压缩流体连续性方程式(2-20)可简化为第9页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一因 所以，x方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式(2-45a)可简化为该式为一个二阶线性偏微分方程。因 ,所以式(2-16a)的右侧 仅是 y 的函数，所以有 。第10页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一因同理， z 方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式(2-45c)可简化为第11页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一因同理， y 方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式

7、(2-45b)可简化为第12页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一偏微分方程式(3-16a) 式(3-16c)的求解由式(3-16b)可知，p = p ( x , y ) ，将式(3-16c)对 y 积分，得上式对 x 求偏导数式(3-17a)表明， 仅是 x 的函数。第13页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一因式(3-16a)左侧仅是 x 的函数，右侧仅是 y 的函数，若式(3-16a)成立，必有上式也可通过动压力表示的运动方程得到，即式(3-18)或式(3-19)为二阶线性常微分方程，满足的边界条件为第14页，共93页，2022年，5月20日，21

8、点29分，星期一积分式(3-18)，得将边界条件代入式(3-21)，得因此，得式(3-22)表明，不可压缩流体在平壁间做稳态平行层流时，如果忽略流道进、出口处的影响，则其速度分布呈抛物线形状。当 y=0 时速度最大，即第15页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一将式(3-22)与式(3-23)联立，得在流动方向上，取单位宽度的流通截面 A = 2y01，则通过该截面的体积流率 Vs 为由式(3-22)得第16页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由 ub 的定义，得将式(3-23)与式(3-27)比较，得由式(3-27)，可得 x 方向上压力梯度流道为水

9、平直管到，由上式可得流动阻力降计算式第17页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一二、竖直平壁面上的降落液膜流动 流体在重力作用下沿一垂直放置的固体壁面成膜状向下流动。因液膜内流动速度很慢，为稳态层流流动。液膜的一侧紧贴壁面，另一侧为自由液面。假定流体不可压缩、固体壁面很宽。由于降落液膜为沿 y 的一维流动，且有不可压缩流体连续性方程为可简化为第18页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由于 y 方向不可压缩流体的运动方程可简化为同理 x、z 方向不可压缩流体的运动方程可化简为第19页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由式(3-32a

10、)可知 p 仅与 y 有关，即 p = f( y )。由于液膜外为自由液面，液面上流体压力与当地大气压相等，即 p = pa，p 亦与 y 无关。于是 ，又因为 ，所以 ，代入式(3-32)，得在壁面处，流体黏附于壁面，流速为零；液膜的外表面为自由表面，满足故式(3-34)的边界条件为第20页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一将式(3-34)分离变量积分由边界条件，求得积分常数最后得即，降落液膜内的速度分布方程，为抛物线形状。第21页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一液膜内的主体流速在 z 方向上取一单位宽度，并在液膜内的任意 x 处取微分长度 dx

11、，则通过微元面积 dA = dx1 的流速为 uy，体积流率为 dVs = uydx1。于是通过单位宽度截面的体积流率为 根据主体平均流速的定义代入式(3-36)，积分得由式(3-37)，得液膜厚度的计算式第22页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一第三节 圆管与套管环隙间的稳态流动一、圆管中的轴向稳态层流 不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流流动，设所考察的部位远离进出口，流动为沿轴向的一维流动。因所以柱坐标系的连续性方程简化为第23页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一柱坐标系的欧拉平衡微分方程动压力柱坐标系的奈维-斯托克斯方程第24页，共93页，20

12、22年，5月20日，21点29分，星期一用动压力表示的柱坐标系的奈维-斯托克斯方程第25页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一 考察 z 方向的奈维-斯托克斯方程式(3-41c)因可简化式(3-41c) 得 z 方向的奈维-斯托克斯方程同理得、r 方向的奈维-斯托克斯方程第26页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由式(3-42) 可知 pd仅是 z 的函数，与 、r 无关；而由于 ，所以 仅为 r 的函数，因此可写成二阶常微分方程左侧为 r 的函数，右侧为 z 的函数，而 r、z 为独立变量，固有边界条件为第27页，共93页，2022年，5月20日，2

13、1点29分，星期一对式(3-44)积分求解积分，得由边界条件，得最终得，不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流的速度分布式第28页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一在管中心处 r = 0，流体流速最大将式(3-46)与式(3-47)联立，得圆管横截面积 A，为微元面积 dA，为由管内主体流速定义，得第29页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一所以，又有将式(3-49)代入式(3-47)，得 z 方向上的压力梯度表达式称为Hagen-Poiseuille方程，是计算管内层流压降的基本方程。第30页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一流体在

14、圆管中做稳态层流流动时的范宁摩擦因数 f壁面处剪应力 s 为 代入式(3-50) ,得将式(3-52)代入 f 的定义式(3-11),得化工设计计算中，常用摩擦系数 ， 与 f 的关系为第31页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一二、套管环隙间的轴向稳态层流 有两根同心套管，内管的外半径 r1 ，外管的内半径 r2 ，不可压缩流体在两管环隙间沿轴向稳态流过。所考察的部位远离进、出口。描述圆管的微分方程式(3-44)仍适用该问题的边界条件为第32页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一对式(3-44)进行第一次积分，并代入边界条件(3)，可得对式(3-54)

15、进行积分，得第33页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一根据边界条件(1)，得速度分布式为根据边界条件(2)，得速度分布式的另一形式为第34页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一联立式(3-55)与式(3-56)，得套管环隙内流动的主体流速 ub 在套管环隙截面上，任取一微元面积 dA = r dr d，在该微元面上的速度为 uz，则将式(3-55)或式(3-56)代入上式积分，得 z 方向上的压力降第35页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一三、同心套管环隙间的周向稳态层流(一)速度分布 两个垂直的同心圆筒，内筒的半径为a，外筒的半

16、径为b，在两筒的环隙间充满不可压缩流体。内筒以角速度1外筒以角速度2旋转，当转速稳定后，环隙间流体沿圆周方向绕轴线做稳态层流流动。若圆筒足够长，可以忽略端效应。已知所以，柱坐标系的连续性方程可简化为第36页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一已知又由于 r、 坐标为水平方向，故 Xr = X = 0，X z = g。所以，柱坐标系的 r 方向运动方程 可简化为第37页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一柱坐标系的 方向运动方程可简化为柱坐标系的 z 方向运动方程可简化为第38页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一即，同心套管环隙间的周

17、向稳态层流得运动方程为 r方向即:流体在旋转过程中,其离心力 与径向压力梯度 相平衡。 z方向表明：流体所受重力 与轴向压力梯度 相平衡。 方向这些相互平衡的作用力维持流体做稳态旋转运动。第39页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由于所以式(3-61c)可写成常微分方程的形式边界条件为解式(3-62)，由得积分，得第40页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一所以，式(3-62)的通解为由边界条件(1)和(2)，得因此，速度分布方程为或第41页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一(二)旋转黏度计原理在柱坐标中， 方向上的剪应力与形变速

18、率的关系为若 ur = 0，则又若 u 与 、z 无关，则第42页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一对于本问题由此可知：若12，则若12，则若1=2，则第43页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一若旋转黏度计的外筒固定不动 2 = 0，内筒以角速度 1 转动，即12，由式(b)可得作用于内圆筒外壁上的剪应力为设旋转黏度计圆筒长为 L，则作用于内筒外壁上的摩擦力为式(3-72a)可得内筒绕轴旋转的力矩为因此第44页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一若旋转黏度计的内筒固定不动 1 = 0，外筒以角速度 2 转动，即12，因 梯度方向与

19、坐标 r 的方向相同，故由式(c)可知即，作用于外圆筒内壁上的剪应力为第45页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一设旋转黏度计圆筒长为 L，则作用于外筒内壁上的摩擦力为由式(3-72b)可得外筒绕轴旋转的力矩为因此当测定某液体的黏度时，规定外圆筒转速 2 测定相应的转动力矩Mor，由式(3-74b)可计算待测液体的黏度。第46页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一第四节 爬流一、爬流的概念与爬流运动方程 爬流(蠕动流，creeping flow)，指非常低速的流动。 微细粒子在流体中的自由沉降、气溶胶粒子的运动以及某些润滑问题均属于典型的爬流问题。 x

20、方向不可压缩流体的运动方程第47页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一式(2-45a)左侧每一项均为惯性力。用 u 代表特征速度，l 代表特征尺寸，则各惯性力的量纲为 。式(2-45a)右侧每一项均为黏性力，各黏性力的量纲为 。惯性力与黏性力之比 对于流体黏性较大、特征尺寸较小或流速非常低的情况，Re数很小( Re 1)，即黏性力起主导作用。爬流是 Re 数非常低的流动。实际应用中，通常把 Re 1 的流动就看做爬流。第48页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一运动方程为当 Re 很低时，可将运动方程中的各项惯性力(包括重力)忽略，得到不可压缩流体爬流的

21、运动方程第49页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一向量式为连续性方程仍为式(3-76)与式(2-21)构成了不可压缩流体做爬流流动时的线性偏微分方程组。共有 4 个方程，可解出4 个未知量 ux、uy、uz 和 p。第50页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一二、粒子在流体中的沉降与斯托克斯定律 一个半径为 r0 的球形粒子在静止的无界黏性不可压缩流体中以速度 u0 做匀速直线运动。等价于：无穷远处速度为 u0的黏性不可压缩流体绕过球形粒子的稳态流动。如图，坐标原点设在球心，z 轴与均匀来流的运动方向一致。此绕球流动为以 z 轴为对称轴的轴对称流动。有

22、题目已知： 第51页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由球坐标系一般流体运动方程式(2-48) r 分量可简化为第52页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一 分量可简化为第53页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由球坐标系一般流体连续性方程式(2-23)可简化为边界条件为式(3-77a) 式(3-77c) 和(3-78a) 及(3-78b) 共同构成描述不可压缩流体绕球爬流规律的数学模型。3个线性偏微分方程，确定3个未知量 。 第54页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一解析解由于式(3-77a) 式(3-77

23、c)是一组线性偏微分方程，故可采用分离变量法求解此边值问题。将未知数表示为如下分离变量的形式将边界条件式(3-78b)代入式(4a)、式(4b)中，得将式(5)和式(6)代入式(4a)、式(4b)中，得第55页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一将式(7a)、式(7b)和式(4c)代入式(3-77a) 式(3-77c)中,如：由式(7a)、式(7b)和式(4c)，可得代入连续性方程式(3-77a)得第56页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一同理，代入 r 分量运动方程得代入 分量运动方程得第57页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一

24、式(8)为一组常微分方程由式(8)可以看出，要使 p ( r , ) 中的变量 得以分离，应取将式(9)代入式(4c)得第58页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一根据式(9)，式(8)可转变为根据式(7a)、式(7b)和式(10)，边界条件可转变为求解上述的二阶常微分方程边值问题即得流体绕球爬流问题的解。第59页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一函数 g 可根据式(11a)的第一个方程用 f 表示，即将式(12)代入式(11a)的第三个方程，得用 f 表示得 h ，即将式(12)、式(13)代入式(11a)的第二个方程，得式(14)符合齐次 Eule

25、r 方程的形式，可用特定的方法解出函数 f 。将 f 的表达式代入式(12)、式(13)中，分别求得 g 、h 的表达式。最后将 f、 g 、h 的表达式代入式(7a)、式(7b)和式(10)，得到球体周围流场中的速度分布和压力分布，即第60页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一(1)流速与流体黏度无关；(2)流速的大小 于球体上、下对称，即对称于y轴；(3)受球体的影响，流动受到阻滞，u 总是小于 u0 ；(4)球体的影响一直扩展到较远的区域，在 r = 10R 处，u 低于 u0 的最大幅度仍达 15%；(5)压力偏差( p- p0 )正比与流体黏度；(6)压力偏差具有

26、反对称性，即球的上半部分取负值( p p0 )。这就表明上、下球面的压力分布不对称。第61页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一作绕球爬流的流体受到球体的阻力作用，与此相对应，球体则受到流体的曳力作用。流体作用在球面上的应力分量有三个，分别为 rr 、r、r。对于不可压缩流体，各应力分量的表达式为对于绕球爬流这种轴对称流动，有所以由式(3-80c)，知第62页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由于流体具有黏性，在球面上 ，于是在球面上有由式(3-77a)可以推出将以上各式代入式(3-80a)、式(3-80b)，经简化得将式(3-79)代入式(3-81)

27、，并 r = r0，可得第63页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由此可知，流体作用于球体的曳力由两部分组成： (1)由于垂直作用于球面上的法向应力(只有压力，无附加法向应 力)的不对称分布所引起的形体曳力； (2)由作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力。 因为流动对称与 z 轴，即球面上的 rr和 r在 方向上无变化，故两类应力在与 z 轴相垂直的方向上的合力均为零。又因粒子与流体在 z方向上做相对运动，故作用在球体上的力全部沿 z 轴方向。令 Fdf 表示作用于球面上的法向应力引起的形体曳力，它等于此应力在 z 方向上的合力，即第64页，共93页，2022年，5月20

28、日，21点29分，星期一令 Fds 表示作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力，它等于此应力在 z 方向上的合力，即用 Fd 表示流体作用于球体的总曳力，它等于形体曳力和摩擦曳力之和，即式(3-83)称为Stokes方程，它表明流体作用于球体的曳力亦即球体作用于流体的阻力大小与球体的半径、流体的黏度及均匀来流的速度成正比。在总阻力中，形体阻力占1/3，摩擦阻力占2/3。第65页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由绕流流动的曳力系数的定义式，即得，爬流流动的曳力系数为当Re1时，式(3-84)的结果与实验值吻合得很好。当Re5时，奥森公式的结果与实验值吻合得很好，即第66页，

29、共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一 随着Re的变大，爬流条件不再成立。图 3-9 给出粒子在流体中沉降时曳力系数随Re变化的实验结果曲线。第67页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一第五节 势流 当流体在大Re数下运动时，所受的惯性力作用要远大于黏性力作用，此时除了贴近物体壁面的区域不能忽略黏性力的影响外，流动的大部分区域可按理想流体处理。一、理想流体的运动方程理想流体的黏度 =0，可将Nivier-Stokes方程简化，即第68页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一写成向量形式上述方程称为Euler方程。不可压缩流体的连续性方程仍为

30、式(3-86)与式(2-20)构成理想流体运动的偏微分方程组，4个方程，可解出 4个未知量 ux、uy、uz 和 p 。第69页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一二、流体的旋度与速度势函数在流场中，流体微团若具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是有旋的，简称旋流。在流场中，流体微团若不具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是无旋的。无旋流动也叫有势流动，简称势流。(一)流体的旋度描述流体质点旋转性质的物理量称为旋度，其定义为 对于在重力场作用下的理想不可压缩流体而言，如果初始流动是有旋的，则将一直保持有旋状态；如果初始流动是无旋的，则将一直保持无旋状态。第70页，共93页，2022

31、年，5月20日，21点29分，星期一(二)速度势函数以流体沿x、y方向的二维流动为例，在此有 。当流动无旋时，式(3-87)变为 即 令代入式(3-89)，得 或第71页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一上式积分，得令积分常数等于零，则式(3-90a)、式(3-90b)中的 ( x , y ) 称为速度势函数。速度势函数存在的唯一条件是流动必须是无旋的(或有势的)。 在三维无旋流动中，也存在相应的速度势函数 ( x , y , z ) ，即速度势函数与速度向量的关系为即速度势函数的梯度为流体的速度向量。第72页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一三、势

32、流的求解 不可压缩流体的大Re数流动，可当作是不可压缩的理想流体的流动，描述其规律的一组特定方程为这是一组非线性偏微分方程，仍无法求出简化方程通解，只能求出这组方程的特解。这里仅讨论不可压缩理想流体的稳态无旋流动。第73页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一将速度势函数定义式(3-90)代入不可压缩流体的连续性方程得或为二阶线性偏微分方程，称为Laplace方程。如果 1、 2、 n是方程(3-92)的解，则为方程(3-92)的通解。 求出 后，再按式(3-90)求出速度分布，然后由 Euler 方程(3-86)求出压力分布。第74页，共93页，2022年，5月20日，21

33、点29分，星期一以不可压缩理想流体的稳态绕圆柱的大Re数流动为例 设速度为 u0 的不可压缩、理想的均匀来流绕一半径为 R 的无限长圆柱体作稳态有势流动。根据设定，将此柱体绕流视作 x-y 平面上的稳态有势流动。用二维柱坐标系( r , )描述此流动，如图所示。已知柱坐标系的连续性方程可简化为由速度势函数 ( r , )，可知第75页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一式(2)代入式(1)，得式(3)即为 Laplace 方程。由已知条件可写出边界条件，为采用分离变量法求解式(3)的边值问题。将速度势函数 ( r , ) 表示成变量分离形式，即由式(5)可以看出，要使 (

34、r , ) 中的变量得以分离，应取将式(7)代入式(6)中，得第76页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由式(8),可知代入式(3)式(5)中，得 f ( r ) 应满足的常微分方程及边界条件，即式(9)是二阶线性常微分方程，它符合齐次 Euler 方程的形式，其通解因而可写成将式(10)、式(11)代入式(12)中，得第77页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一固有将式(13)代入式(8)，得由此速度势函数，可求得速度分布，即第78页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一由速度分布可求得速度大小，即由式(16)可知：u 于柱体不仅上

35、、下对称( x 轴),而且前、后对称( y 轴)；u可以小于u0 ,也可大于u0 ,这是柱体改变流道截面大小的结果；u的最大值(2u0)出现在柱体顶端和底端(r = R, = /2和3/2)。第79页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一不可压缩理想流体的稳态无旋流动的 Euler 方程(3-86)的求解x方向的 Euler 方程，对左侧整理如下第80页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一于是 x 方向的 Euler 方程为同理，y，z方向的 Euler 方程为当流动无旋时， ，由旋度定义式(3-87)简化式(3-94)，得第81页，共93页，2022年，

36、5月20日，21点29分，星期一向量式为仅考虑重力场作用下的流动，取 x、y 的坐标为水平方向，z 坐标为垂直向上，则重力场为有势场，令单位质量流体所具有的势能为 ，则向量式为由式(3-96)和式(3-98)，式(3-95d)可写成第82页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一或即将式(3-97)积分得将式(3-102)代入式(3-101)，得式(3-103) 即为 Bernoulli 方程。其边界条件为第83页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一对于柱体周围的任一流线，当柱体半径不是很大时，可不考虑位能变化。因此，式(3-103)转变为将式(16)代入式

37、(3-104)中,得流场中的压力分布势流的求解：先由式(3-92) 求出 后,再按式(3-90)求出速度分布 ux、uy、uz ,最后将其代入 Bernoulli 方程中求得压力分布。第84页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一根据柱体绕流流场中的速度和压力分布，可求出柱体表面上的速度和压力分布。(1)柱面上的速度分布令r = R，由式(15)求得柱面上的速度分布，即而速度大小 u 在柱面上的分布为见图，对于柱面上的A点，因 = ，故u = 0，A 点称为前驻点。离开A点沿圆周向上， 逐渐减小，u 逐渐增大。至 =/2的点B处， u =2u0，即 u 达到最大值。随后沿圆周向下， 继续减小，u 也逐渐减小。至 = 0 的 C点处， u 又降为零， C点称为后驻点。由于柱面上u 的分布对称于 x 轴，故 u 在 从 到 2的下半圆周上的变化情形和上半圆周完全相同。第85页，共93页，2022年，5月20日，21点29分，星期一(2)柱面上的压力分布由式(17)引入如下的无量纲压力系数来表征流场中的压力分布令 r = R，由式(20)求得柱面上的压力系数分布，即第86页，共93