高中物理机械能知识点归纳总结与典型例题

1、机械能 第一模块：功和功率 夯实基础学问 （一）功： 1,概念：一个物体受到力 的作用,并且在这个力 的方向上发生了一段位移,就说这个力 对物体做了功； 2,做功的两个必要因素： 力和物体在力的方向上的位移 3,公式： W FScos （ 为 F 与 s 的夹角）功是力的空间积存效应； 4,单位：焦耳（ J） 5,意义：功是能转化的量度,反映力对空间的积存成效； 6,说明 1公式只适用于恒力做功 位移是指力的作用点通过位移 2要分清 “谁做功,对谁做功 ”；即：哪个力对哪个物体做功； 3力和位移都是矢量：可以分解力也可以分解位移；如：位移：沿力方向分解,与力垂直方向分解； 4 功是标量,没有方

2、向,但功有正,负值； 其正负表示力在做功过程中所起的作用 ；正功表示动力做功 此力对物体的运动有推 动作用 ,负功表示阻力做功 5功大小只与 F,s, 这三个量有关与物体是否仍受其他力,物体运动的速度,加速度等其他因素无关 （二）功的四个基本问题； 涉及到功的概念的基本问题,往往会从如下四个方面提出； 1,做功与否的判定问题：物体受到力的作用,并在力的方向上通过一段位移,我们就说这个力对物体做了功；由此看来,做功与 否的判定,关键看功的两个必要因素, 第一是力；其次是力的方向上的位移； 而所谓的 “力的方向上的位移 ”可作如下懂得：当位 移平行于力,就位移就是力的方向上的位的位移；当位移垂直于

3、力,就位移就不是力的方向上的位移；当位移与力既不垂直又不 平行于力,就可对位移进行正交分解,其平行于力的方向上的分位移仍被称为力的方向上的位移； 2,会判定正功,负功或不做功；判定方法有： （1）用力和位移的夹角 判 定 ; 当 0 2 时 F 做正功, 当 时 F 不做功, 2当 时 F 做负功； 2（2）用力和速度的夹角 判肯 定 ; （3）用动能变化判定； 3,做功多少的运算问题： （1）依据定义求功；即： W=Fsco s ；公式中 F 是做功的力； S 是 F 所作用的物体发生的位移；而 方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积； 就是 F 与 S 间的夹角；这 种

4、具体求功时可以有两种处理方法 W 等于力 F 乘以物体在力 F 方向上的分位移 scos,即将物体的位移分解为沿 F 方向上和垂直 F 方向上的两个分位移 W 等于力 F 在位移 s 方向上的分力 Fcos 乘以物体的位 s,即将力 F 分解为沿 s 方向和垂直 s 方向的两个分力 移 在高中阶段,这种方法只适用于 恒力 做功；至于变力做功的运算,通常可以利用功能关系通过能量变化的运算来明白变力的功； （2）W=Pt （3）用动能定理 W=Ek 或功能关系求功；当 F 为变力时,高中阶段往往考虑用这种方法求功； 这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程,功是能的转化的量度；假如知道某一过

5、程中能量转化的数值,那么也就知 道了该过程中对应的功的数值 （4）能量的转化情形求, （功是能量转达化的量度） （5）F-s 图象,图象与位移轴所围均 “面积 ”为功的数值 （6）多个力的总功求解 用平行四边形定就求出合外力,再依据 wFscos 运算功留 应是合外力与位意 移 分别求各个外力的功： W1 F1scos1, W 2=F2scos 再求各个外力功的代数和 s 间的夹角 4,做功意义的懂得问题：做功意味着能量的转移与转化,做多少功,相应就有多少能量发生转移或转化； （三）明白常见力做功的特点： （1）一类是与势能相关的力,如重力,弹簧的弹力,电场力等,它们的功与路程无关系,只与位移

6、有关； 重力做功和路径无关,只与物体始末位置的高度差 h 有关： W= mgh,当末位置低于初位置时, W 0,即重力做正功；反之就重 第 1 页,共 26 页力做负功； （2）摩擦力做功 静 摩擦力做功的特点 静摩擦力可以做正功,也可以做负功,仍可以不做功； 在静摩擦力做功的过程中,只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用） 滑动摩擦力做功的特点 滑动摩擦力可以对物体做正功,也可以对物体做负功,当然也可以不做功； ,而没有机械能转化为其他形式的能 做功与物体的运动路径有关；滑动摩擦力做功要看物体运动的路程,这是摩擦力做功的特点,必需牢记； 一对滑动摩擦力做功的过程中, 如以下图,

7、上面不光滑的长木板,放在光滑的水平地面上, 一小木块以速度 V0 从木板的左端滑 上木板,当木块和木板相对静止时,木板相对地面滑动了 S,小木块相对木板滑动了 d,就由动能定理知： 滑动摩擦力对木块所做功为： Ek 木 f s d 块 滑动摩擦力对木板所做功为： Ek 木 f s 板 得： Ek 木 Ek 木 f d式说明木块和木板组成的系统的机械能的削减量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积；这部分削减的能量转化为内能； 板 块 （3）一对作用力和反作用力做功的特点： 作用力与反作用力同时存在,作用力做功时,反作用力可能做功,也可能不做功,可能做正功,也可能做负功,不要以为作用 力与反作

8、用力大小相等,方向相反,就确定有作用力,反作用力的功数值相等； 一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力） （3）斜面上支持力做功问题： 斜面固定不动,物体沿斜面下滑时斜面对物体的支持力不做功 ,可能为负（滑动摩擦力） ,但不行能为正 斜面置于光滑的水平面上,一个物体沿斜面下滑,物体受到的支持力对物体做负功,如以下图,物体下滑到斜面底端,斜面由 于不受地面摩擦,后退一段距离,需要留意的是位移 力做功为 0 的错误结论； S 是物体相对于地面的位移,不要认为是斜面,否就会得出物体受到的支持 F P F S Q 功率 1,功率的定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率,它表示物体做功

9、的快慢 2,功率的定义式： P W ,所求出的功率是时间 t 内的平均功率； t 3,功率的运算式： P=Fvcos ,其中 是力与速度间的夹角；该公式有两种用法： 求某一时刻的瞬时功率；这时 F 是该时刻的作用力大小, v 取瞬时值,对应的 P 为 F 在该时刻的瞬时功率； 当 v 为某段位移（时间）内的平均速度时,就要求这段位移（时间）内 F 必需为恒力,对应的 P 为 F 在该段时间内的平均功率； 重力的功率可表示为 PG=mgV y,即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积 4,单位：瓦（ w）,千瓦（ kw）； 5,标量 6,功率的物理意义：功率是描述做功快慢的物理量；

10、 7,通常讲的汽车的功率是指汽车的牵引力的功率 P F 牵 v 二,汽车的两种起动问题 第 2 页,共 26 页汽车的两种加速问题； 当汽车从静止开头沿水平面加速运动时, 有两种不同的加速过程, 但分析时接受的基本公式都是 P F 牵 v F-f =ma 和 恒定功率的加速；由公式 P=Fv 和 F-f=ma 知,由于 P 恒定,随着 v 的增大, F 必将减小, a 也必将减小,汽车做加速度不断减 小的加速运动,直到 F=f ,a=0,这时 v 达到最大值 v m Pm Pm ；可见恒定功率的加速确定不是匀加速；这种加速过程发动机 F f 做的功只能用 W=Pt 运算,不能用 W=Fs 运算

11、（由于 F 为变力）； 恒定牵引力的加速；由公式 P=Fv 和 F-f=ma 知,由于 F 恒定,所以 a 恒定,汽车做匀加速运动,而随着 v 的增大, P 也将不断 增大,直到 P 达到额定功率 Pm,功率不能再增大了；这时匀加速运动终止,其最大速度为 vm Pm Pm v m ,此后汽车要 F f 想连续加速就只能做恒定功率的变加速运动了；可见恒定牵引力的加速时功率确定不恒定；这种加速过程发动机做的功只能用 W=F s 运算,不能用 W=P t 运算（由于 P 为变功率）； 要留意两种加速运动过程的最大速度的区分； 题型解析 判定力对物体是否做功 【例题】下面列举的哪几种情形下所做的功是零

12、） （ A卫星做匀速圆周运动,地球引力对卫星做的功 B平抛运动中,重力对物体做的功 C举重运动员,扛着杠铃在头上的上方停留 10s,运动员对杠铃做的功 D木块在粗糙水平面上滑动,支持力对木块做的功 解析：引力作为卫星做圆周运动的向心力,向心力与卫星运动速度方向垂直,所以,这个力不做功；杠铃在此时间内位移为零； 支持力与位移方向垂直,所以,支持力不做功；故 A,C, D 是正确的； 【例题】如以下图,质量为 m 的物体 A 静止于倾角为 的斜面体 B 上,斜面体 B 的质量为 M ,现对该斜面体施加一个水平向左 的推力 F,使物体随斜面体一起沿水平方向向左匀速运动的位移为 s,就在此运动过程中斜

13、面体 B 对物体 A 所做的功为：（ C ） Fsm 1A BMgscot C0 D mgssin2 M m 2【例题】如以下图,线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,圆的半径是 1m,球的质量是 ,线速度 v=1m/s,小球由 A 点 运动到 B 点恰好是半个圆周；那么在这段运动中线的拉力做的功是（ ） O A A 0 BCD无法确定 解析：小球做匀速圆周运动,线的拉力为小球做圆周运动的向心力,由于它总是与运动方向垂直,所以,这个力不做功；故 A 是正确的； 【例题】小物块位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上,从地面上看,在小物块沿斜面下滑的过程中,斜面对小物块的 作用力； P Q A

14、 垂直于接触面,做功为零； B 垂直于接触面,做功不为零；C不垂直于接触面,做功不为零； D不垂于接触面,做功不为零； 解析：错解：斜面对小物块的作用力垂直于接触面,作用力与物体的位移垂直,故做功为零；即 A 选项正确； A F P B 固定在水平桌面上,物体 S Q F 分析纠错：小物块 A 在下滑过程中和斜面之间有一对相互作用力 F 和 F,如以下图；假如把斜面 的位移方向和弹力方向垂直,这时斜面对物块 A 不做功；但此题告知的条件是斜劈放在光滑的水平面上,可以自由滑动；此时弹 第 3 页,共 26 页力方向仍然垂直于斜面,但是物块 A 的位移方向却是从初位置指向终末位置；如图 27 所示

15、,弹力和位移方向不再垂直而是成一 钝角,所以弹力对小物块 A 做负功,即 B 选项正确； 判定力对物体做正功仍是负功 【例题】质量为 m 的物体,受水平力 F 的作用,在粗糙的水平面上运动,以下说法中正确选项（ ） A假如物体做加速直线运动, F 确定做正功 B假如物体做减速直线运动, F 确定做负功 C假如物体做减速直线运动, F 可能做正功 D假如物体做匀速直线运动, F 确定做正功 解析：物体在粗糙水平面上运动,它必将受到滑动摩擦力,其方向和物体相对水平面的运动方向相反；当物体做加速运动时, 其力 F 方向必与物体运动方向夹锐角（含方向相同） ,这样才能使加速度方向与物体运动的方向相同；

16、此时,力 F 与物体位移的 方向夹锐角,所以,力 F 对物体做正功, A 对； 当物体做减速运动时,力 F 的方向可以与物体的运动方向夹锐角也可以夹钝角（含方向相反） ,只要物体所受合力与物体运动方 向相反即可,可见,物体做减速运动时,力 F 可能对物体做正功,也可能对物体做负功, B 错, C 对； 当物体做匀速运动时,力 F 的方向必与滑动摩擦力的方向相反,即与物体位移方向相同,所以,力 F 做正功, D 对； 故 A ,C, D 是正确的； 弄清求恒力做功的方法 【例题】如以下图, 均匀长直木板长 L=40cm ,放在水平桌面上, 它的右端与桌边相齐, 木板质量 m=2kg,与桌面间的摩

17、擦因数 , 今用水平推力 F 将其推下桌子,就水平推力至少做功为（ ）（g取 10/s2） F LA B C 8J D 4J 解 析 ： 将 木 板 推 下 桌 子 即 木 块 的 重 心 要 通 过 桌 子 边 缘 , 水 平 推 力 做 的 功 至 少 等 于 克 服 滑 动 摩 擦 力 做 的 功 , LW Fs mg 20 J；故 A 是正确的； 2 2【例题】在光滑水平面上有一静止的物体；现以水平恒力甲推这一物体,作用一段时间后,换成相反方向的水平恒力乙推这一物 体,当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时,物体恰好回到原处,此时物体的动能为 32J,就在整个过程中,恒力甲做的功 等于

18、J,恒力乙做的功等于 J； 解析一：此题的条件是恒力甲与恒力乙的作用时间相同,而且物体恰好回到原处；解题时要抓住这基本特点,运用牛顿运动定 律和运动学公式,只要得出恒力甲与恒力乙大小之间的关系就可求得它们做功之间的关系； 解析：在恒力甲作用下,有 s 1F1 2 t 2 t 2m在恒力乙作用下,有 s F1 mtt 1F2 2 m 可解得： F2 = 3 F1 所以, W2 = 3 W1 把 32J 的动能分为 4 份,恒力甲做的功等于 32J/4 = 8J,恒力乙做的功等于 24J； 解析二：因位移大小相等,时间间隔又相等,所以两阶段运动的平均速度大小必相等, v1 v2 v1 得 v2 2

19、v1 22所以 Ek 2 12 mv2 12 m 2v1 412 mv1 4Ek 1 1:3,做功之比也为 1:3,以后在电场的题中也会用到这个模型； 222即得 E k1 Ek 2 32 J 48J 4由动能定理得,两力做功分别为 W1 E k 1 8J W2 Ek 2 Ek 2 Ek1 32 8J 24J 小结 此题的结论是普遍适用的,恒力甲与恒力乙之比为 第 4 页,共 26 页弄清求变力做功的几种方法 功的运算在中学物理中占有特殊重要的位置,中学阶段所学的功的运算公式 运算就没有一个固定公式可用,下面对变力做功问题进行归纳总结如下： 1,等值法（转化为恒力做功） W=FScosa 只能

20、用于恒力做功情形,对于变力做功的 等值法即如某一变力的功和某一恒力的功相等,就可以通过运算该恒力的功,求出该变力的功；而恒力做功又可以用 W=FScosa 运算,从而使问题变得简洁； 【例题】如图,定滑轮至滑块的高度为 h,已知细绳的拉力为 F（恒定）,滑块沿水平面由 A 点前进 S 至 B 点,滑块在初,末位 置时细绳与水平方向夹角分别为 和 ；求滑块由 A 点运动到 B 点过程中,绳的拉力对滑块所做的功； h解析：设绳对物体的拉力为 T,明显人对绳的拉力 F 等于 T； T 在对物体做功的过程中大小虽然不变,但其方向时刻在转变, 因此该问题是变力做功的问题；但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的

21、摩擦不计的情形下,人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做 的功；而拉力 F 的大小和方向都不变,所以 F 做的功可以用公式 W=FScosa 直接运算；由图 1 可知,在绳与水平面的夹角由 变 到 的过程中,拉F 的作用点的位移大小为： F. S 1 Fh sin 1力 hhWT WF S S1 S2 sin sin sin 2,微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时,如力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变,且力与位移的方向同步变化,可用微 元法将曲线分成无限个小元段,每一小元段可认为恒力做功,总功即为各个小元段做功的代数和； 【例题】如以下图,某力 一样,就转动一周这个力 F=10N 作

22、用于半径 R=1m 的转盘的边缘上,力 F 的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向 F 做的总功应为： RO F A, 0J B, 20J C , 10J D,20J 解析：把圆周分成无限个小元段,每个小元段可认为与力在同始终线上,故 W=F 2 R=10 2 J=20,故JB 正确； 3,平均力法 W=FS,就转一周中各个小元段做功的代数和为 假如力的方向不变,力的大小对位移按线性规律变化时,可用力的算术平均值（恒力）代替变力,利用功的定义式求功； 【例题】一辆汽车质量为 105kg,从静止开头运动, 其阻力为车重的 倍；其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为 F=103 x+f

23、0, f0 是车所受的阻力；当车前进 100m 时,牵引力做的功是多少？ 解析：由于车的牵引力和位移的关系为 F=10 3 x+f 0,是线性关系, 故前进 100m 过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 F 所 做的功；由题意可知 f 0 10510N 5104N,所以前进 100m过程中的平均牵引力 : 4 3 4 F 5 10 100 10 5 10 N W F s 1105100J 110 J； 7 2 5 1 10 N 【例题】边长为 a 的立方木块浮于水面,平稳时有一半露在水面；现用力向下压木块使之缓慢地下降,直到立方块上表面与水面 齐平；求在这一过程中压力做的功,水的密度为 ；

24、 1mg 所以平均力为 mg 力做的功为 解析：力的最小值为 0,而上表面与水面平齐时,压力为 2W mg a而 mg ga 3 2所以 W mg a4 ga 22228【例题】用铁锤将一铁钉击入木块,设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比；在铁锤击第一次时,能把铁钉击入木 块内 1 cm；问击其次次时,能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等） 第 5 页,共 26 页x1 x2 （2）不能类比迁移,采 解析：考查对功概念的懂得才能及理论联系实际抽象建立模型的才能； B 级要求； 错解分析：（ 1）不能据阻力与深度成正比这一特点,将变力求功转化为求平均阻力的功,进行等效替代； 用类似据匀

25、变速直线速度 -时间图象 求位移的方式,依据 F-x 图象求功； 解题方法与技巧：解法一： （平均力法） 铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功,但摩擦阻力不是恒力,其大小与深度成正比,比例系数为 1K ； 第一次击入深度为 x1,平均阻力 F1 = 1kx1,做功为 W1= F1 x1= 1kx12； 22k（ x2 -x1 2 2）； 其次次击入深度为 x1 到 x2,平均阻力 F2 = 1k（ x2+ x1）,位移为 x2-x1,做功为 W2 = F2 （x2 -x1 ）= 22两次做功相等： W1 =W2； 解后有： x2= 2x1 cm, x=x2-x1 cm； 解法二：（图象法） F

26、 kx2 kx1 x1 x2 x 由于阻力 F= kx,以 F 为纵坐标, F 方向上的位移 x 为横坐标,作出 F-x 图象（图 4-4）；曲线上面积的值等于 F 对铁钉做的功； 由于两次做功相等,故有： S1=S2 （面积）,即： 1 kx12= 1 k（ x2+ x1）（ x2-x1）,所以 x= x2-x1 cm 2 2【例题】要把长为 l 的铁钉钉入木板中,每打击一次赐予的能量为 E 0 ,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成 正比,比例系数为 k；问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 解析：在把钉子打入木板的过程中,钉子把得到的能量用来克服阻力做功,而阻力与钉子进入木板的

27、深度成正比,先求出阻力 的平均值,便可求得阻力做的功；钉子在整个过程中受到的平均阻力为： F 0 kl kl 2钉子克服阻力做的功为 2WF Fl 12 kl 设全过程共打击 n 次,就赐予钉子的总能量： EnE0 1 22 kl ,所以 n2 kl 2E0 2总4,用动能定理求变力做功 动能定理表达式为 WEk ,其中 W是全部外力做功的代数和, Ek 是物体动能的增量；假如物体受到的除某个变力以外 的其他力所做的功均能求出,那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功； 【例题】如以下图,质量为 m 的小球用长 L 的细线悬挂而静止在竖直位置；在以下三种情形下,分别用水平拉力 F 将小球拉到细

28、 线与竖直方向成 角的位置；在此过程中,拉力 F 做的功各是多少？ LmF 第 6 页,共 26 页用 F 缓慢地拉； F 为恒力；如 F 为恒力,而且拉到该位置时小球的速度刚好为零；可供选择的答案有 A FL cos B FL sin C FL 1 cos D mgL 1 cos 解析：如用 F 缓慢地拉,就明显 F 为变力,只能用动能定理求解； F 做的功等于该过程克服重力做的功；选 D如 F 为恒力,就可以直接按定义求功；选 B 如 F 为恒力,而且拉到该位置时小球的速度刚好为零,那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的；选 B, D 在第三种情形下,由 FL sin = mgL 1

29、 cos ,可以得到 F 1 cos tan ,可见在摆角为 时小球的速度最大；实际 mg sin 2 2上,由于 F 与 mg 的合力也是恒力,而绳的拉力始终不做功,所以其成效相当于一个摆,我们可以把这样的装置叫做 “歪摆 ”； 【例题】如以下图, AB 为 1/4 圆弧轨道,半径为 0. 8m,BC 是水平轨道,长 L=3m ,BC 处的摩擦系数为 1/15,今有质量 m=1kg 的物体,自 A 点从静止起下滑到 C 点刚好停止；求物体在轨道 A RB CAB 段所受的阻力对物体做的功； 解析：物体在从 A 滑到 C 的过程中,有重力, AB 段的阻力, AC 段的摩擦力共三个力做功,重力

30、做功,水平面上摩擦力做功, 由于物体在 AB 段受的阻力是变力,做的功不能直接求；依据动能定理可知： W 外 =0, 所以 mgR mgL WAB 0 WAB 6 J 【例题】如以下图,质量 m 1kg 的物体从轨道上的 A 点由静止下滑,轨道 AB 是弯曲的,且 A 点高出 B 点 h ；物体 到达 B 点时的速度为 2m / s ,求物体在该过程中克服摩擦力所做的功； A hB FN 和摩擦力 Ff ；由于轨道是弯曲的,支持力和摩擦 解析：物体由 A 运动到 B 的过程中共受到三个力作用：重力 G,支持力 力均为变力；但支持力时刻垂直于速度方向,故支持力不做功,因而该过程中只有重力和摩擦力

31、做功； W WG Wf 由动能定理 W Ek ,其中 外 E k 1mv B 2 1mv A 2 ,所以 mgh Wf 2 1 mvB ,代入数据解得 Wf 2 J 外 2 2【例题】 如以下图, 某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为 m 的重物, 开头时人在滑轮的正下方,绳下端 A 点离滑轮的 距离为 H；人由静止拉着绳向右移动,当绳下端到 B 点位置时,人的速度为 v,绳与水平面夹角为 ；问在这个过程中,人对重 物做了多少功？ v A B 解析：人移动时对绳的拉力不是恒力,重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动,故无法用 W Fscos 求对重物做的功, 需从动能定理的角度来分析求解；

32、 H H 1 sin 当 绳 下 端 由 A 点 移 到 B 点 时 , 重 物 上 升 的 高 度 为 ： h H , 重 力 做 功 的 数 值 为 ： sin sin W G mgH 1 sin ,当绳在 B 点实际水平速度为 v 时,v 可以分解为沿绳斜向下的分速度 v 和绕定滑轮逆时针转动的分速 sin 度 v2 ,其中沿绳斜向下的分速度 v1 和重物上升速度的大小是一样的,从图中可看出： v1 v cos ,以重物为争论对象,依据动 2 2能定理得： W WG 1mv1 2 0 W mgH 1 sin mv cos 2 人 sin 2人【例题】如以下图,在水平放置的光滑板中心开一个

33、小孔 O,穿过一细绳,绳的一端系住一个小球,另一端用力 F 拉着使小球在 平板上做半径为 r 的匀速圆周运动,在运动过程,逐步增大拉力,当拉力增大为 8F 时,球的运动半径减为 r/2 ,求在此过程中拉 力所做的功 第 7 页,共 26 页O F 解析：对于变力做功问题,假如能知道运动过程中初末状态的动能,都可利用动能定理求解；动能定理是一个适用面很广的定 理,凡是涉及力对物体做功过程中动能的变化问题几乎都能使用,不仅能够解决恒力做功问题也适用于变力做功问题,这也正是 动能定理广泛应用于解决力学问题的优点；答案 :3Fr/2 ； 【例题】如以下图,在长为 L 的轻杆中点 A 和端点 B 各固定

34、一质量均为 m 的小球,杆可绕无摩擦的轴 O 转动,使杆从水平位置 无初速释放摆下；求当杆转到竖直位置时,轻杆对 O A,B 两球分别做了多少功 .vA A B vB 解析：错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向,所以轻杆对 A ,B 两球均不做功； 分析纠错： 设当杆转到竖直位置时, A 球和 B 球的速度分别为 V A 和 V B；假如把轻杆, 地球,两个小球构成的系统作为争论对象, 那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒；如取 B 的最低点为零重力势能参考平面,可得： 3 1 2 1 2mgL mVA mVB , 又 因 A 球 对 B 球 在 各 个 时 刻 对

35、 应 的 角 速 度 相 同 , 故 B 2 A , 由 以 上 二 式 得 ： 2 2 23gL 12gL L 1 2VA ,VB ；依据动能定理,可解出杆对 A ,B 做的功；对于 A 有 WA mg m A 5 5 2 2所以 WA mgL ,对于 B 有 WB mgL 1 m B 2,所以 WB mgL 2【例题】如图 4 所示,质量 m=2kg 的物体,从光滑斜面的顶端 A 点以 V 0=5m/s 的初速度滑下,在 D 点与弹簧接触并将弹簧压缩 到 B 点时的速度为零,已知从 A 到 B 的竖直高度 h=5m,求弹簧的弹力对物体所做的功； A v0 D hB 解析： WB 125 J

36、 5,用 W=Pt 利用此式可求出功率保持不变的情形下变力所做的功； 【例题】质量为 5t 的汽车以恒定的输出功率 75kW 在一条平直的大路上由静止开头行驶,在 10s 内速度达到 10m/s,求摩擦阻力 在这段时间内所做的功； 解析：汽车的功率不变,依据 P Fv 知,随着速度 v 的增大,牵引力将变小,不能用 3WF Pt 75 10 10J 5 ,再由动能定理得： 10 J W Fl 求功,但已知汽车的功率恒 定,所以牵引力在这段时间内所做的功 Wf WF 12 mv 02所以 Wf 12 mv WF 5 51 0J 26,用功能原理求变力做功 除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做

37、功的代数和等于系统机械能的增量；如只有重力和弹力做功的系统内,就机械能守 恒（即为机械能守恒定律）； 【例题】两个底面积都是 S 的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h1 和 h2,如以下图,已知水的密度为 ；现 把连接两桶的阀门打开,最终两桶水面高度相等,就这过程中重力所做的功等于 ； h1 h2 解析：由于水是不行压缩的,把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中,利用等效法把左管高 h1 2h2 以上部分的 水等效地移至右管,如图中的斜线所示； h1 A B h2 最终用功能关系,重力所做的功等于重力势能的削减量, 所以重力做的功 W G h1 2h2 h1 gS 2

38、h2 1gS h1 2 h2 4【例题】如以下图,将一个质量为 m,长为 a,宽为 b 的矩形物体直立起来的过程中,人至少需要做多少功？ ab分析：在人把物体直立起来的过程中,人对物体的作用力的大小和方向均未知,无法应用 WF l cos 求解； 该过程中,物体要经受图 4 所示的状态,当矩形对角线竖直时,物体重心高度最大,重心变化为： h 1a 2 b 2 b ,由功能原理可知 W 外 E P E k , 当 E k 0 时, W 外 最小,为： 2W 外 p mg h 1 mg abb 2 2E 27,用图象法 在 F x 图象中,图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功； 【例题】放在地面

39、上的木块与一劲度系数 k 200 N / m 的轻弹簧相连； 现用手水平拉弹簧, 拉力的作用点移动 x1 m 时, 木块开头运动,连续拉弹簧,木块缓慢移动了 x2 m 的位移,求上述过程中拉力所做的功； 解析：由题意作出 F x 图象如图 3 所示,在木块运动之前,弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系,木块缓慢移动时弹簧 弹力不变,图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功；即 F/N 40 x/m W 1.0 6 0.440J 20J 2弄清滑轮系统拉力做功的运算方法 当牵引动滑轮两根细绳不平行时,但都是恒力,此时如将此二力合成为一个恒力再运算这个恒力的功,就运算过程较复杂；但如 等效为两个恒力

40、功的代数和,将使运算过程变得特殊简便； 【例题】如以下图,恒定的拉力大小 F=8N,方向与水平线夹 =60角,拉着绳头使物体沿水平面移动 d=2m 的过程中,拉力做 了多少功？ 第 9 页,共 26 页F 解析：如以下图,随着物体沿水平面前进 d=2m,绳头从 A 点被拉到 B 点,由此可见：拉 F 所作用的物体（绳头）的位移 S 可由几何关系求得为 S 2d cos30 2 3m .而力 F 与位移 S 间的夹角为 30 所以,这过程中拉 F 作用于绳头所做的 功为 W Fs cos 823 3 J 24 J 2解法二 如图 6-5 绳子张力大小为 F,但张力对物体做功包括沿 F 方向的张力

41、所做的功 W1 和水平向右的张力所做的功 W2,即 W W1 W2 Fs cos Fs 22Fscos 2W 2F cos s cos 解法三 如图 6-6 ,绳子对物体拉力的合力大小为 2F cos ,此合力做的功为 2 22 22Fs cos 2【例题】如以下图,在倾角为 30的斜面上,一条轻绳的一端固定在斜面上,绳子跨过连在滑块上的定滑轮,绳子另一端受到一 个方向总是竖直向上,大小恒为 F=100N 的拉力,使物块沿斜面对上滑行 1m 滑轮右边的绳子始终与斜面平行 的过程中,拉力 F 做的功是 F 30 100J 150J 200J 条件不足,无法确定 W=F 1S+F2Scos60,而

42、 F1=F2=F=100N,所以 解析：拉力 F 做的功等效为图 8 中 F1 ,F2 两个恒力所做功的代数和；即 F2 F1 30 W=FS1+cos60=150J；即 B 选项正确 求某力的平均功率和瞬时功率 【例题】质量为 的物体从高处以水平的初速度 V 0 =5m/s 抛出,在运动 t=2s 内重力对物体做的功是多少？这 2s 内重力对 第 10 页,共 26 页物体做功的平均功率是多少？ 2s 末,重力对物体做功的瞬时功率是多少？（ g 取 10m / s2） 解 析 ： t=2s 内 , 物 体 在 竖 直 方 向 下 落 的 高 度 h12 gt 110 2 2 20 m , 所

43、 以 有 22WG mgh 10 20 100 J , 平 均 功 率 P W 50 W ； 在 t=2s 末 速 度 物 体 在 竖 直 方 向 的 分 速 度 t Vyt gt 20m / s ,所以 t=2s 末瞬时功率 P mgVyt 100 W ； 【例题】（1994年 上海）跳绳是一种健身运动；设某运动员的质量是 50kg,他一分钟跳绳 180 次；假定在每次跳动中,脚与地面 的接触时间占跳动一次所需时间的 2 / 5,就该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是 W（ g 取 10m/s2）； 解析：跳一次的时间是 t0 = 60 / 180 s = 1 / 3 s, 人跳离地面作竖

44、直上抛,到最高点时间为 t = 111 2 s 235此过程克服重力做功 W = 1 mg 22 gt 25 W,跳绳时克服重力做功的平均功率 P W 25 W = 75W t0 13【例题】起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度,其速度图象如以下图,就钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图中 的哪一个？ v 0 t1 t2 t 0P t2 t3 t 0P 3t1 t1 t 2 t3 t 0A t2 t3 t 0t3 t B P P t1 t1 t2 C D解析：在 0 t1 时间内,重物加速上升,设加速度为 a1,就据牛顿其次定律可得钢索的拉力 F1=mg+ma 1,速度 V t=a1t,

45、所以拉力 的功率为： P1=ma 1+ga1t;, 在 t1 t2 时间内,重物匀速上升,拉力 F2=mg,速度为 V 1 =a1t1 ,所以拉力的功率为： P2=mga1t1 ； 在 t2 t3 时间内,重物减速上升,设加速度大小为 a2,就据牛顿其次定律可得钢索的拉力 F2=mg-ma2,速度 V 2=a1t1,所以拉力的 功率为： P1 =mg-a2 a1 t1；综上所述,只有 B 选项正确 机车起动问题 【例题】汽车以恒定功率 P 由静止动身,沿平直路面行驶,最大速度为 v,就以下判定正确选项（ C ） A汽车先做匀加速运动,最终做匀速运动 B汽车先做加速度越来越大的加速运动,最终做匀

46、速运动 C汽车先做加速度越来越小的加速运动,最终做匀速运动 D汽车先做加速运动,再做减速运动,最终做匀速运动 【例题】 汽车发动机额定功率为 60 kW,汽车质量为 103kg,汽车在水平路面行驶时, 受到的阻力大小是车重的 倍,试求： 汽车保持额定功率从静止动身后能达到的最大速度是多少？ 解析：汽车以恒定功率起动时,它的牵引力 F 将随速度 V 的变化而变化,其加速度 a 也随之变化, 由此可得汽车速度达到最大时, a=0 , F f kmg V mP =12 m/s kmg P F Vm 小结：机车的速度达到最大时,确定是机车的加速度为零；弄清了这一点,利用平稳条件就很简洁求出机车的最大速

47、度； 【例题】 质量为 2t 的农用汽车,发动机额定功率为 30kW ,汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为 54km/h；如汽车以额定 功率从静止开头加速,当其速度达到 v=36km/h 时的瞬时加速度是多大？ 第 11 页,共 26 页解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力 可以求得这时的 2F 等于阻力 f,即 Pm=f vm,而速度为 v 时的牵引力 F=Pm/v,再利用 F-f=ma , 【例题】 汽车发动机额定功率为 60 kW,汽车质量为 103kg,汽车在水平路面行驶时, 受到的阻力大小是车重的 倍,试求： 如汽车从静止开头,以 0.5 m/s2 的加速度匀加速运动,就

48、这一加速度能保护多长时间？ 解析：要保护汽车加速度不变,就要保护其牵引力不变,汽车功率将随 V 增大而增大,当 P 达到额定功率 P 额后,不能再增加, 即汽车就不行能再保持匀加速运动了； 所以,汽车达到最大速度之前已经受了两个过程：匀加速和变加速,匀加速过程能保护到汽车功率增加到 P 额 的时刻,设匀加速 能达到最大速度为 V1 ,就此时 V1 at ；小结：机车匀加速度运动能保护多长时间,确定是机车功率达到额定功率的时间；弄清 P FV1 代入数据可得 : t 16s 额kmg ma 了这一点,利用牛顿其次定律和运动学公式就很简洁求出机车匀加速度运动能保护的时间； F 【例题】质量 4t

49、的机车,发动机的最大输出功率为 100kW,运动阻力恒为 2 10 3 N ,试求； （1）当机车由静止开头以 2 的加速度沿水平轨道做匀加速直线运动的过程中,能达到的最大速度和达到该最大速度所需的 时间；（ 2）如机车保持额定功率不变行驶,能达到的最大速度以及速度为 10m/s 时机车的加速度； 2解析：（1） Vm=25m/s t=50s （2） um 50m / s a 2m / s 【例题】额定功率为 80kW 的汽车,在平直的大路上行驶的最大速度是 20m/s,汽车的质量是 2t,假如汽车从静止开头做匀加速 直线运动,加速度的大小是 2m/s2,运动过程中阻力不变；求： （1）汽车受

50、到的阻力多大？（ 2）3s 末汽车的瞬时功率多大？（ 3）汽车保护匀加速运动的时间是多少？ 解析：（1）当汽车达最大速度时,加速度为零,牵引力的大小等于阻力的大小,即 f P额 80 10 3N = 4 10 3N20 vm （2）设汽车做匀加速运动时,需要的牵引力为 F 1,有 F1 f = ma,所以 F1 = f + ma =（ 4 31032 1032 ）N = 3 8 10 N6 W = 48kW 3s 末汽车的瞬时速度为 v3 = 6m/s,所以汽车在 3s 末的瞬时功率为 P3 = F1 v3 = 8 10（3）汽车做匀加速运动时,牵引力恒定,随着车速的增大,汽车的输出功率增大,

51、当输出功率等于额定功率时的速度是汽车做匀 加速运动的最大速度,设为 v1,有 v P 额 F 1 80 108 10 3 3m/s= 10m/s ,依据运动学公式,汽车保护匀加速运动的时间为 t v1 10 s = 5s a 2【例题】电动机通过一绳子吊起质量为 8 kg 的物体,绳的拉力不能超过 120 N ,电动机的功率不能超过 1200 W,要将此物体由静 止起用最快的方式吊高 90 m（已知此物体在被吊高接近 90 m 时,已开头以最大速度匀速上升）所需时间为多少？ 解析：此题可以用机车起动类问题的思路,即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承担的最大拉力拉物体,使 物体以最

52、大加速度匀加速上升,第一个过程终止时,电动机刚达到最大功率；其次个过程是电动机始终以最大功率拉物体,拉力 逐步减小,当拉力等于重力时,物体开头匀速上升； 在匀加速运动过程中加速度为 a= Fm mg 120 8 10 m/s2=5m/s2,末速度 Vt= Pm 1200 =10m/s ,上升的时间 m 8 Fm 120 2 2Vt 10 Vt 10 t1= s=2 s , 上 升 高 度 为 h= =10m , 在 功 率 恒 定 的 过 程 中 , 最 后 匀 速 运 动 的 速 率 为 a 5 2a 2 5Vm= Pm Pm 1200 =15 m/s , 外 力 对 物 体 做 的 总 功

53、 W Pmt 2 mgh2 W=Pmt2-mgh2 , 动 能 变 化 量 为 F mg 8 10 EK 1 m m 2 1 m t 2,由动能定理得 Pm t2 mgh2 1 m m 2 1 m t 2,代入数据后解得 t 2 ,所以 2 2 2 2t t1 t2 所需时间至少为 7.75 s； 小结：机车运动的最大加速度是由机车的最大牵引力准备的,而最大牵引力是由牵引物的强度准备的；弄清了这一点,利用牛顿 其次定律就很简洁求出机车运动的最大匀加速度 用图象法巧解机车功率问题 【例题】 火车在恒定功率下由静止动身, 沿水平轨道行驶, 5 min 后速度达到最大 20m/s,如火车在运动过程中

54、所受阻力大小恒定； 就该火车在这段时间内行驶的距离： （ ） A可能等于 3kmB 确定大于 3kmC 确定小于 3kmD无法确定 第 12 页,共 26 页解析： v/ms-120 0300 t/ s 火车由静止动身保持功率不变,必定是一个加速度不断减小的加速运动,就图象各点的斜率（即瞬时加速度）随时间逐步减小, 其 v t 图 线 为 下 图 曲 线 部 分 , 且 曲 线 为 向 上 凸 ； 而 在 对 应 时 间 内 的 匀 加 速 运 动 为 斜 直 线 , 这 段 时 间 的 位 移 s 20 5 2 60 m 3000m 3km（画阴影线面积）确定要小于向上凸的曲线与时间轴围成的

55、面积；其图线很直观地表现 出它们的大小关系；所以选 B； 【例题】完全相同的两辆汽车,以相同速度在平直的大路上并排匀速行驶,当它们从车上轻推下质量相同的物体后,甲车保持原 来的牵引力连续前进,乙车保持原先的功率连续前进,一段时间后： （ ） A甲车超前 B乙车超前 C仍齐头并进 D先是甲车超前,后乙车超前 解析： 假如考虑列式分析,恐难以解决的；那么我们利用所熟识的匀加速运动和功率不变条件下的速度 时间图象解决此题就特殊便利 了；两辆车以相同的速度并排行驶时,当同时从两辆车上轻推下质量相同的物体,它们所受阻力必定有所减小,使牵引力大于阻 力,速度增大；不过此后,甲车保持原先的牵引力就做匀加速运

56、动；乙车保持功率不变（ P Fv ,速度增大,就牵引力减小） 做加速度越来越小的加速运动；简洁看出,它们的初速度一样,匀加速运动的图线确定是功率不变的加速运动图线在零时刻的切 线,很明显乙曲线与时间轴围成的面积小于甲图线与时间轴围成的面积,即相同时间内乙的位移小于甲的位移；故甲车确定超前 乙车,所以此题应选 A 其次模块：动能和动能定理 夯实基础学问 一,动能 1,概念：动能概念的懂得：物体由于运动而具有的能叫动能, 2,达式为： Ek 12 mv 23,状态量：和动量一样,动能也是用以描述机械运动的状态的状态量；只是动量是从机械运动动身量化机械运动的状态,动量确 定的物体准备着它克服确定的阻

57、力仍能运动多久；动能就是从机械运动与其它运动的关系动身量化机械运动的状态,动能确定的 物体准备着它克服确定的阻力仍能运动多远； 4,标量 5,单位：焦耳（ J） 二,动能定理： 1,推导：动能定理实际上是在牛顿其次定律的基础上对空间累积而得：在牛顿其次定律 s,即可得 WFs mas 12 mv2 12 mv1 22合F= ma 两端同乘以合外力方向上的位移 2,表述：外力所做的总功等物体动能的变化量 W=EK（这里的合外力指物体受到的全部外力的合力,包括重力） 3,动能定理表达式： W EK 2 EK 1 EK 合式中 W 是指合外力对物体所做的功的代数和,它可以是合外力做的功,也可以是各外

58、力做的总功；既可以是几个外力同时做的 功的代数和,也可以是各外力在不同时间内做功的累积；即可以是恒力做功,也可以是变力做功；式中 EK 是物体动能增量； 动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化；实际应用时,后一种表述比较好操作；不必求合力,特殊是 第 13 页,共 26 页在全过程的各个阶段受力有变化的情形下,只要把各个力在各个阶段所做的功都依据代数和加起来,就可以得到总功 和动量定理相像,动能定理也建立起过程量（功）与状态量（动能）变化间的关系,利用这一关系,也可以通过比较状态达到了 解过程之目的； 功和动能都是标量,动能定理表达式是一个标量式,不能在某一个方向上应用动能

59、定理 4,懂得动能定理的另一种形式, “生热议程”也叫系统动能定理 （1）内容：摩擦力在物体间相对滑动时所做的功,即摩擦力与相对位移之积等于系统动能的变化 （2）表达式： F s Ek1 Ek 2 5,运用动能定懂得题的关键：分析受力（四周物体施予争论对象的全部的力）及各力做功的情形,受哪些力？每个力是否做功？ 在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？ 6,技巧：应用动能定懂得多过程问题时可把多过程看成整体列方程,更简便；对于多过程,多阶段问题,常常可以用多种做法： 分阶段列方程； 对整个过程列方程（往往是 v0 ,vt 都为 0） 对整个过程列方程较简洁； 7,留意事项： 动能定理适用于

60、单个物体或者可以看做单一物体的物体系,对于物体系统特殊是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能 定理由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化 动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情形下得出的但它也适用于变力及物体作曲线运动的情形即动能定 理对恒力,变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用 对动能定理中的位移与速度（ v 和 s）必需相对同一参照物 8,应用动能定理的优越性 一般来说,用牛顿其次定律和运动学学问求解的问题,用动能定理也可以求解,而且往往用动能定理求解简捷可是,有些用 动能定理能够求解的问题,应用牛顿其次定律和运动学学问却无法求解可以说,娴熟地