高中数学示范教案新人教A版必修4

1、3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析“ 二倍角的正弦、余弦、 正切公式” 是在争论了两角和与差的三角函数的基础上,进一步争论具有“ 二倍角” 关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特别化,又为以后求三角函数值、化简、证明供应了特别有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道,二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导仍让同学加深懂得了高中数学由一般到特别的化归思想、因此本节内容也是培育同学运算和规律推理才能的重要内容,对培育同学的探究精神和创新才能、发觉问题和解决问题的才能都有着特别重要的意义 . 本节课通过老师提出问题、设

2、置情境及对和角公式中 、 关系的特别情形 = 时的简化, 让同学在探究中既感到自然、易于接受, 仍可清楚知道和角的三角函数与倍角公式的联系,同时也让同学学会怎样发觉规律及体会由一般到特别的化归思想 . 这一切老师要引导同学自己去做 , 由于,数学课程标准提出：“ 要让同学在参加特定的数学活动,在详细情境中初步熟识对象的特点,获得一些体验” .在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习, 更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换,否就就违反了新课标在这一章的编写意图和新课改 精神 . 三维目标1. 通过让同学探究、发觉并推导二倍角公式, 明白它们之间、以及它们与和角公式

3、之间的内在联系 , 并通过强化题目的训练 , 加深对二倍角公式的懂得,培育运算才能及规律推理才能 , 从而提高解决问题的才能 . 2. 通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简洁的求值、化简、恒等证明 . 体会 . 使同学进一步把握 化归这一基本数学思想在发觉中和求值、化简、恒等证明中所起的作用 联系变化的观点, 自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高同学分析问题、解决问题的 才能 . 3. 通过本节学习, 引导同学领会查找数学规律的方法,培育同学的创新意识,以及善于发觉和勇于探究的科学精神. 重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用 . 教学难点：如何敏捷应用和、差、倍角公式进行

4、三角式化简、求值、证明恒等式 . 课时支配 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1. 复习导入 请同学回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公式的来龙去脉,然后让同学默写这六个公式. 老师引导同学：和角公式与差角公式是可以互相化归的 . 当两角相等时 , 两角之和便为此角的二倍 , 那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢 .今日 , 我们进一步探讨一下二倍角的问题,请同学们摸索一下,应解决哪些问题呢？由此绽开新课 . 思路 2. 问题导入 出示问题,让同学运算,如sin =3 , 52, , 求sin2 ,cos2的值.学生会很容易看出：sin2 =sin + =sin cos +

5、cos sin =2sin cos 联想推出其他公式 . 推动新课新知探究 提出问题的,以此绽开新课,并由此绽开仍记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？ 请同学默写出来,并由一名同学到黑板默写 你写的这三个公式中角 、 会有特别关系 = 吗？此时公式变成什么形式？在得到的 C2 公式中,仍有其他表示形式吗？细心观看二倍角公式结构,有什么特点呢？能看出公式中角的含义吗？摸索过公式成立的条件吗？让同学填空： 老师随机给出等号一边括号内的角,同学回答等号另一边括号内的角,稍后两 人 为 一 组 , 做 填 数 游 戏 ： sin =2sin cos ,cos =cos 2 -sin 2 . 摸索过公式的

6、逆用吗？想一想 C2 仍有哪些变形？请摸索以下问题： sin2 =2sin 吗？cos2 =2cos 吗？tan2 =2tan ？活动： 问题 , 同学默写完后,老师打出课件,然后引导同学观看正弦、余弦的和角公式,提示同学留意公式中的 , ,既然可以是任意角,怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并勉励同学大胆试一试 . 假如同学想到 , 会有相等这个特别情形,老师就此进入下一个问题, 假如同学没想到这种特别情形,老师适当点拨进入问题,然后找一名学生到黑板进行简化, 其他同学在自己的座位上简化、老师再与同学一起集体订正黑板的书写,最终同学都不难得出以下式子,勉励同学尝试一下,对得出的结论给出

7、说明 . 这个过程老师要舍得花时间,充分地让同学去摸索、去探究,并初步地感受二倍角的意义 . 同时开拓同学的思维空间,为同学将来遇到的 3 或 3 等角的探究附设类比联想的源泉 . sin + =sin cos +cos sin sin2 =2sin cos （ S2 ）; cos + =cos cos- sin sin cos2 =cos2 -sin2 C2 ; 余弦, 正切公tan + =tantantan212tan2T21tantantan这时老师适时地向同学指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦,式,并指导同学阅读教科书,准确明白二倍角的含义,以后的“ 倍角” 专指“ 二倍角”

8、、教师适时提出问题, 点拨同学结合 sin 2 +cos 2 =1 摸索 , 因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式 . 这时老师点出, 这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）. 倍角公式给出了 的三角函数与 2的三角函数之间的关系. 问题 , 老师指导同学,这组公式用途很广,并与同学一起观看公式的特点与记忆,首先公式左边角是右边角的2 倍；左边是2的三角函数的一次式,右边是的三角函数的二次式, 即左到右升幂缩角,右到左降幂扩角、二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式,正切是分式 . 问题 , 由于仍没有应用,对公式中的含义同学可能仍懂得不到位,老师要引导同学观察摸索并初步感性熟识到： 这

9、里的“ 倍角” 专指“ 二倍角”, 遇到“ 三倍角” 等名词时, “ 三” 字等不行省去； 通过二倍角公式 , 可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数； 二倍角公式是两角和的三角函数公式的特别情形； 公式 S 2 ,C 2 中的角 没有限制,都是 R. 但公式 T2 需在 1 k + 和 k + k Z 时才成立,这2 4 2一条件限制要引起同学的留意 . 但是当 =k + ,k Z 时, 虽然 tan 不存在 , 此时不能用2此公式,但 tan2 是存在的 , 故可改用诱导公式 . 问题 , 填空是为了让同学明白二倍角的相对性,即二倍角公式不仅限于 2 是 的二倍的形式 , 其他如 4 是

10、 2 的二倍 , a 是 a 的二倍 ,3 是 3a 的二倍 , a 是 a 的二倍,2 4 2 3 6- 是-a 的二倍等 , 全部这些都可以应用二倍角公式 . 2 4 2例如 :sin a =2sin a cos a ,cos a =cos 2 a -sin 2 a 等等 . 2 4 4 3 6 6问题 , 本组公式的敏捷运用仍在于它的逆用以及它的变形用,这点老师更要提示同学引起足够的留意 . 如:sin3 cos3 = 1 sin6 , 4sin a cos a =22sin a cos a =2sin a , 2 4 4 4 4 22 tan 402 =tan80 , cos 22 -

11、sin 22 =cos4 ,tan2 =2tan 1-tan 2 等等 . 1 tan 40问题 , 一般情形下 :sin2 2sin ,cos2 2cos ,tan2 2tan .如 sin2 =2sin , 就 2sin cos =2sin , 即sin =0 或 cos =1, 此时 =k k Z. 如 cos2 =2cos , 就 2cos2 - 2cos -1=0, 即 cos =123cos =123舍去 . 如 tan2 =2tan , 就12tana=2tan , tan =0, 即 =k k Z. tan2a解答： （略）应用示例思路 1 例 1 已知 sin2 =5 , 1

12、34 2, 求 sin4 ,cos4 ,tan4 的值 . 留意二倍角公活动： 老师引导同学分析题目中角的关系,观看所给条件与结论的结构,式的选用,领会“ 倍角” 是相对的这一换元思想. 让同学体会“ 倍” 的深刻含义,它是描述两个数量之间关系的 . 此题中的已知条件给出了 2 的正弦值 . 由于 4 是 2 的二倍角 , 因此可以考虑用倍角公式 . 本例是直接应用二倍角公式解题,目的是为了让同学初步熟识二倍角的应用,懂得二倍角的相对性,老师大胆放手,可让同学自己独立探究完成 . 解: 由 , 得 2 .4 2 2又sin2 = 5 , 13cos2 = 1 sin 22 a = 1 5 2

13、12. 13 13于是 sin4 =sin2 2 =2sin2 cos2 =25 1312=120; , 在解题时 . 本节13169cos4 =cos2 2 =1-2sin22 =1- 2 5 132=119 ; 129tan4 =sin4 a=-120 169169 = 119120. cos 4 a119点评： 同学由问题中条件与结论的结构不难想象出解法,但要提示同学留意 留意优化问题的解答过程,使问题的解答简捷、奇妙、规范,并达到娴熟把握的程度公式的基本应用是高考的热点. 变式训练 1. 不查表 , 求值:sin15 +cos15 .解: 原式 =sin15cos 152sin2152

14、sin15cos2156让学2点评： 此题在两角和与差的学习中已经解决过,现用二倍角公式给出另外的解法,生体会它们之间的联系,体会数学变化的魅力. 2.2022年高考海南卷 ,9 如cos2 a2, 就 cos +sin 的值为 sina42A.7 B.1 C.1 D. 27222答案 : C 3.2022年高考重庆卷 ,6 以下各式中 , 值为3 的是 2215 -sin215A.2sin15 - cos15 B.cosC.2sin215 -1 D.sin215 +cos215答案 : B 例 2 证明1sin2cos 2=tan . 教 从复杂一端1sin2cos 2活动： 先让同学摸索一

15、会,勉励同学充分发挥聪慧才智,战胜它,并力争一题多解师可点拨同学想一想,到现在为止, 所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：化向简洁一端；两边化简,中间碰头；化切为弦；仍可以利用分析综合法解决,有时几种方 法会同时使用等 . 对找不到摸索方向的同学,老师点出：可否再添加一种,化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导,前面学习同角三角函数的基本关系时 1” 上做做文章？曾用到“1” 的代换,对“1” 的妙用大家深有体会,这里可否在“待同学探究解决方法后,可找几个同学到黑板书写解答过程,以便对比点评及给同学以 启示 . 点评时对能够善于运用所学的新学问解决问题的同学赐予颂扬；对

16、临时找不到思路的 在证明过程 同学赐予点拨、 勉励 . 强调“1” 的妙用很妙,妙在它在三角恒等式中一旦显现,中就会起到至关重要的作用,在今后的证题中,万万不要忽视它 . 证明 : 方法一 : 左=sin2 1cos 22sincos 112cos 2sin21cos 22sincos 12cos 21=sincos1cos2sincoscos2=sincossin2sincoscos2sincossin=tan =右 . cossincos所以 , 原式成立 . 方法二 : 左=sin2sin2 cossin2sin2cos2sin22sin2sin22 cossin22 cossin2si

17、n22cos2=2 2sincos =tan =右 . cossincos方法三 : 左= 1sin2cos2sin22 cos2sin.cos2 cossin2 1sin2cos2sin22 cos2sin.cos2 cossin2=sincos2cossincossinsincos2cossincossin其次, 化倍角为单 1” 的代换的妙用,=sincossincossincossincossincoscossin=sincos.2sin=tan =右 . sincos.2cos点评： 以上几种方法大致遵循以下规律：第一从复杂端化向简洁端；角,这是我们今日刚刚学习的；第三,证题中留意对

18、数字的处理,特别“请同学们在探究中认真体会这点. 在这道题中通常用的几种方法都用到了,不论用哪一种方法,都要思路清楚,书写规范才是 . 思路 2例 1 求 sin10 sin30 sin50 sin70 的值 . 活动： 本例是一道敏捷应用二倍角公式的经典例题,有肯定难度, 但也是训练同学思维才能的一道好题 . 此题需要公式的逆用,逆用公式的先决条件是熟识公式的本质,要善于把表象的东西拿开,正确捕获公式的本质属性,以便合理运用公式. 教学中老师可让同学充分进行争论探究, 不要轻易告知同学解法,可适时点拨同学需要做怎样的变化,又需怎样应用二倍角公式 . 并点拨同学结合诱导公式摸索 . 同学经过探

19、究发觉,假如用诱导公式把 10 ,30 ,50 ,70 正弦的积化为 20 ,40 ,60 ,80 余弦的积 , 其中 60 是特别角 , 很简洁发觉 40 是 20 的 2 倍,80 是 40 的 2 倍, 故可考虑逆用二倍角公式 . 解: 原式=cos80 cos60 cos40 cos20=23.sin20cos20cos40cos80.23.2sin20=sin160sin201.16sin2016sin2016点评：二倍角公式是中学数学中的重要学问点之一,又是解答很多数学问题的重要模型和工具,具有敏捷多变,技巧性强的特点,要留意在训练中细心体会其变化规律. 例 2 在 ABC中,co

20、sA=4 ,tanB=2, 求 tan2A+2B 的值 . 5活动： 这是本节课本上最终一个例题,结合三角形,具有肯定的综合性, 同时也是和与差公式的应用问题. 老师可引导同学留意在三角形的背景下争论问题, 会带来一些隐含的条件, 如 A+B+C= ,0A ,0B ,0C , 就是其中的一个隐含条件. 可先让同学争论探究,老师适时点拨 . 同学探究解法时老师进一步启示同学摸索由条件到结果的函数及角的联系由于对 2A+2B与 A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路, 所以同学会产生不同的解法,不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区分 . 不论同学的解答正确与否,老师都不

21、要直接干预 . 在同学自己尝试解决问题后 , 老师可与同学一起比较各种不同的解法, 并引导同学进行解题方法的归纳总结 . 基础较好的班级仍可以把求 tan2A+2B 的值改为求 tan2C 的值 . 解： 方法一 : 在 ABC中, 由 cosA= 4 ,0A , 得5sinA= 1 cos 2 A 1 4 2 3 .5 5所以 tanA= sin A = 3 5 = 3 , cos A 5 4 43tan2A= 2 tan A 24 241 tan 2 A 1 3 2 74又 tanB=2, 所以 tan2B=12tanB 2 B224.244444.tan1223于是 tan2A+2B=t

22、an2Atan2B17 2431tan2Atan2 B17773方法二 : 在 ABC中, 由 cosA=4 ,0A , 得 5sinA=1cos2 A1423.55所以 tanA=sin cosA3 55 = 43 . 又 tanB=2, 411A所以 tanA+B=tanAtanB1332241tanAtanB24于是 tan2A+2B=tan2A+B =12tanAB211 211 2244., 本质上没有区分, 其目的是tan2AB 1117点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用为了勉励同学用不同的思路去摸索, 以拓展同学的视野. 变式训练化简：1cos 4 asin4

23、a.2acos2a1cos4 asin4a解： 原式2cos22a2sin2sin22 a2sin2 acos2a=2cos2a cos2 asin2a 2sin2 asin2acos2a=cot2 .知能训练 2022年高考四川卷 ,17 已知 cos =1 ,cos - = 713 , 且 0 142, 1 求 tan2 的值 ; 2 求 .解: 1 由 cos =1 ,0 72, 得 sin =12 cosa=11 7243.83.7tan =sina=4737=43 . 于是 tan2 =12tana243cosa1tan2a1tan2a472 由 0 2, 得 0 - 2. 113233.又cos - = 13 , sin - = 141cos2 a1414由 = - - , 得cos =cos - - =cos cos - +sin sin - =1 713 + 1447333=1 . 214 =3. 三角函数值的符号, 已知三角函数值点评 : 此题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、求角以及运算才能.