高中数学不等式选修知识点和常考题型归纳

1、高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳选修 4-5 不等式选讲1、基础学问梳理2、常考题型归纳3、强化训练一、基础学问梳理【复习指导】本讲复习时, 紧紧抓住含肯定值不等式的解法,以及利用重要不等式对一些简洁的不等式进行证明 该部分的复习以基础学问、 基本方法为主, 不要刻意提高难 度,以课本难度为宜,关键是懂得有关内容本质 . 基础梳理 1含有肯定值的不等式的解法 1|fx|aa0. fxa 或 fxa；2|fx|aa0. afxa；3对形如 |xa|xb|c,|xa| |xb|c 的不等式,可利用肯定值不等式的 几何意义求解2含有肯定值的不等式的性质 |a|b|ab|a|b|. 3基本不等式

2、 定理 1：设 a,bR,就 a2b22ab.当且仅当 ab 时,等号成立定理 2：假如 a、b 为正数,就ab 2ab,当且仅当 ab 时,等号成立定理 3：假如 a、b、c 为正数,就abc 33 abc,当且仅当 abc 时,等号成立高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳定理 4：一般形式的算术几何平均值不等式假如 a1、a2、 、an为 n 个正数,就a1a2 an nn a1a2 an,当且仅当 a1a2 an 时,等号成立4 柯西不等式1柯西不等式的代数形式：设 a,b,c,d 为实数, 就 a 2 b 2 c 2d2 ac bd 2,当且仅当 ad bc 时等号成立n n n2如

3、 ai, bii N *为实数,就 a 2i b 2i aibi 2,当且仅当i1 i1 i1bi 0i 1,2, , n或存在一个数 k,使得 ai kbii 1,2, ,n时,等号成立3柯西不等式的向量形式：设, 为平面上的两个向量,就| | | |,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立5不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等双基自测 1不等式 1|x1|3 的解集为 _答案 4,20,2 2不等式 |x8| |x4|2 的解集为 _4,x4,解析令： fx|x8|x4|2x12,4x8,4,x8,当 x4 时,fx42；当 4x8 时,fx 2

4、x122,得 x5,4x5；当 x8 时,fx 42 不成立故原不等式的解集为： x|x5答案 x|x5 3已知关于 x 的不等式 |x1|x|k 无解,就实数 k 的取值范畴是 _解析|x1|x|x1x|1,当 k1 时,不等式 |x1|x|k 无解,故高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳k1. 答案 k1 4如不等式 |3x b|4 的解集中的整数有且仅有_解析 由|3xb|4,得b4 3xb4 3,0b4 31,即 解得 5b7. 3b4 34,答案 5,7 1,2,3,就 b 的取值范畴为52022 南京模拟 假如关于 x 的不等式 |xa|x4|1 的解集是全体实数,就 实数 a

5、的取值范畴是 _解析 在数轴上,结合实数肯定值的几何意义可知 a5 或 a3. 答案 , 53, 考向一 含肯定值不等式的解法【例 1】.设函数 fx|2x1|x4|. 1解不等式 fx2；2求函数 yfx的最小值审题视点 第1问：采纳分段函数解不等式；第2问：画出函数fx的图象可求 fx的最小值解1fx|2x1|x4|x5x1 2,3x3 1 2x4 ,x5 x4 .当 x1 2时,由 fx x52 得, x7.x 7；当1 2x4 时,由 fx3x32,得 x5 3,高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳5 3x4；当 x4 时,由 fxx52,得 x 3,x4. 故原不等式的解集为x x

6、7或x5 3 . 2画出 fx的图象如图：fxmin9 2. 1用零点分段法解肯定值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉肯定值的不等式；要遗漏区间的端点值取每个结果的并集, 留意在分段时不2用图象法,数形结合可以求解含有肯定值的不等式,使得代数问题几何化,即通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法【训练 1】 设函数 fx|x1|xa|. 1如 a 1,解不等式 fx3；2假如. xR,fx2,求 a 的取值范畴解 1当 a1 时, fx|x1|x1|,2x, x 1,fx2, 1x1,2x, x1.作出函数 fx|x1|x1|的图象高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳由图象可

7、知,不等式的解集为 x|x3 2或x3 2 . 2如 a1,fx2|x1|,不满意题设条件；2xa1, xa,如 a1,fx1a, ax1,2x a1 , x1,fx的最小值为 1a. 2xa1,x1,如 a1,fxa1,1xa,2x a1 ,xa,fx的最小值为 a1. 对于 . xR,fx2 的充要条件是 |a1|2,a 的取值范畴是 , 13, 考向二 不等式的证明【例 2】.证明以下不等式：1设 ab0,求证： 3a32b33a2b2ab2；2a24b29c22ab3ac6bc；3a 68b61 27c 62a2b 2c 2. 审题视点 1作差比较； 2综合法； 3利用柯西不等式证明

8、13a32b33a2b2ab 23a 2ab2b 2ab ab3a22b2ab0, ab0,3a22b20. ab3a22b20. 3a22b33a2b2ab 2. 2a 24b22 a24b 24ab,a 29c22 a29c 26ac,4b 29c22 4b29c 212bc,2a28b218c24ab6ac12bc,a24b29c22ab3ac6bc. 高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳3a 68b61 27c 63 327a 8 6b 6c 632 3a2b2c22a2b2c2,a68b61 27c 62a2b 2c 2. 1作差法应当是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步

9、骤是：作差；分解因式；与0 比较；结论关键是代数式的变形才能2留意观看不等式的结构,利用基本不等式或柯西不等式证明【训练 2】2022辽宁已知 a,b,c 均为正数,证明：a2b2c21 a1 b1 26 3,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立证明法一由于 a,b,c 均为正数,由基本不等式得,a2b2c23abc2 3,a1 b1 c3abc1 3,所以1 a1 b1 29abc2 3,故 a2b2c21 a1 b123abc2 39abc2 3. 又 3abc2 39abc2 32 276 3,所以原不等式成立当且仅当 abc 时,式和式等号成立当且仅当 3abc2 39abc2 3时

10、,式等号成立故当且仅当 abc31 4时,原不等式等号成立法二 由于 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac.所以 a2b2c2abbcac.同理1 a 21 b 21 c 21 ab 1 bc 1 ac,故 a2b2c21 a1 b12abbcac3 ab 3 bc 3 ac6 3.高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳所以原不等式成立当且仅当 abc 时,式和式等号成立,当且仅当abc,ab2bc2ac 23 时,式等号成立故当且仅当 a bc31 4时,原不等式等号成立考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值【例 3】.已知 a,b,cR,且

11、 abc1,求 3a13b13c1的最大值审题视点 先将 3a13b13c1平方后利用基本不等式；仍可以利用柯西不等式求解解 法一 利用基本不等式 3a1 3b1 3c1 2 3a 1 3b 1 3c 1 2 3a13b1 2 3b13c12 3a13c13a1 3b13c13a13b13b13c1 3a13c1 33a13b1 3c118,3a13b13c13 2, 3a13b13c1max3 2. 法二 利用柯西不等式 12 1212 3a12 3b12 3c121 3a1 13b113c12 3a13b13c1233abc3又 abc1, 3a13b13c1218,3a13b13c13

12、2. 当且仅当 3a13b13c1时,等号成立 3a13b13c1max3 2. 利用基本不等式或柯西不等式求最值时,第一要观看式子特点,构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式,其次要留意取得最值的条件是否成立【训练 3】 已知 abc1,ma2b2c2,求 m 的最小值解法一abc1,a 2b 2c 22ab2bc2ac1,高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳又 a 2b 22ab,a 2c 22ac,b 2c 22bc,2a2b2c22ab2ac2bc,1a2b2c22ab2bc2ac3a2b2c2a2b2c21 3. 当且仅当 abc 时,取等号, mmin1 3. 法二 利用柯西不等

13、式121212a2b2c21 a1b1cabc1. a2b2c21 3,当且仅当 abc 时,等号成立mmin1 3如何求解含肯定值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出,所降低,重点考查含肯定值不等式的解法 式,题型为填空题或解答题高考对不等式选讲 的考查难度要求有 可能含参 或以函数为背景证明不等【示例】 . 此题满分 10 分2022 新课标全国 设函数 fx|xa|3x,其中 a0. 1当 a1 时,求不等式 fx3x2 的解集；2如不等式 fx0 的解集为 x|x1 ,求 a 的值第2问解不等式 |xa|3x0 的解集,结果用 a 表示,再由 x|x1 求 a. 解答示范

14、1当 a1 时,fx3x2 可化为 |x1|2. 由此可得 x3 或 x 1. 3 分 故不等式 fx3x2 的解集为 x|x3 或 x 15 分 2由 fx0 得,|xa|3x0. 此不等式化为不等式组xa,或xa,xa3x0ax3x0,高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳xa,xa,即 xa 4 或 xa 2. 8 分 由于 a0,所以不等式组的解集为 x xa 2 . 由题设可得a 21,故 a2.10 分 此题综合考查了含肯定值不等式的解法,属于中档题解含肯定值的不等式主要是通过同解变形去掉肯定值符号转化为一元一次和一元二次不等式组进行求解含有多个肯定值符号的不等式,一般可用零点分段

15、法求解,对于形如 |xa|xb|m 或|xa| |xb|mm 为正常数 ,利用实数肯定值的几何意义求解较简便【试一试】2022辽宁 已知函数 fx|x2|x5|. 1证明： 3fx3；2求不等式 fxx28x15 的解集3,x2,尝试解答 1fx|x2| |x5|2x7,2x5,3,x5.当 2x5 时, 32x73.所以 3fx3. 2由1可知,当 x2 时,fxx 28x15 的解集为空集 ；当 2x5 时,fxx28x15 的解集为 x|53x5 ；当 x5 时,fxx28x15 的解集为 x|5x6 综上,不等式 fxx28x15 的解集为 x|53x6.二、常考题型归纳6.1 均值不

16、等式在证明中的应用1. （1）已知a bR, , x yR ,求证：2 xy2xy2；abab高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳（2）已知实数,x y 满意：2x2y21,试利用（ 1）求21 y的最小x2值；（1）证：ab2 xy2x2y22 bx2 ayx2y222xyxy21abab2 xy2xy2（当且仅当xy b时,取等号）；y21时,2ababa1222 1129,当且仅当x（2）解：2 2 x2y22x2y22x2y23x2y2的最小值是 9；考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2 肯定值不等式 a 6.2.1 单肯定值不等式2. 已知函数f x 2 x5xx

17、4 ,x0如函数yf x a x 恰有 4个零点,2x2 ,0就实数 a 的取值范畴为 _. 答案： 1,2解析：分别作出函数 y f x 与 y a x 的图像,由图知,a 0 时,函数 y f x 与 y a x 无交点,a 0 时,函数 y f x 与 y a x 有三个交点,故 a 0.当 x 0,a 2 时,函数 y f x 与 y a x 有一个交点,高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳当 x 0, 0 a 2 时,函数 y f x 与 y a x 有两个交点,当 x 0 时,如 y ax与 y x 25 x 4, 4 x 1 相切,就由 0得：a 1 或 a 9（舍）,因此当

18、x 0,a 1 时,函数 y f x 与 y a x 有两个交点,当 x 0,a 1 时,函数 y f x 与 y a x 有三个交点,当 x 0, 0 a 1 时,函数 y f x 与 y a x 有四个交点,所以当且仅当 1 a 2 时,函数 y f x 与 y a x 恰有 4个交点 . 考点：单肯定值不等式3. 存在x0,使得不等式x22xt成立,就实数t 的取值范畴为_ 答案：9 ,2 42 x2xt,即xt22 x,解析：不等式高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳令y 1xt,y 1的图象是关于 xt对称的一个 V字形图形, 其象位于第一、二象限；y 2 2 x 2,是一个开口向

19、下, 关于 y 轴对称,最大值为 2 的抛物线；要存在 x 0,使不等式 x t 2 x 2 成立,就 1y 的图象应当在其次象限和 y 2 的图象有交点,两种临界情形,当 t 0 时,1y 的右半部分和 y 2 在其次象限相切：1y 的右半部分即 1y x t ,联列方程 y x ty 2 x 2,只有一个解；即 x t 2 x 2,即 x 2x t 2 0,1 4 t 8 0,得：t 9；4此时 1y 恒大于等于 2y,所以 t 9 取不到；4所以 9t 0；4当 t 0 时,要使 1y 和 y 2 在其次象限有交点,即 1y 的左半部分和 2y 的交点的位于其次象限；无需联列方程,只要

20、1y 与 y 轴的交点小于 2 即可；1y t x 与 y 轴的交点为 0, t,所以 t 2,又由于 t 0,所以 0 t 2；综上,实数 t 的取值范畴是：9t 2；4故答案为：9 ,24高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳考点：单肯定值不等式6.2.2 同系数肯定值相加型不等式4. 已知函数 f x | 2 x 1| | 2 x a ,g x x 3 . （1）当 a 2 时,求不等式 f x g x 的解集；（2）设 a 1,且当 x a, 1 时,f x g x ,求 a 的取值范畴；2 25 , x x 12（1）当 a 2 时,令 y 2 x 1 2 x 2 x 3 x 2,

21、1x 1,23 x 6, x 1作出函数图像可知,当 x 0,2 时,y 0,故原不等式的解集为x0 x2；x3,（2）依题意,原不等式化为1a故xa2对a 1,2 2都成立,故aa2,2高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳故a4,1,4 3. 3故 a 的取值范畴是考点：同系数肯定值相加型不等式6.2.3 同系数肯定值相减型不等式5. 已知函数f x x2x55fx3（1）证明：3f x 3;8x15的解集；（2）求不等式f x x2（1）f x x2x53,x22x7,2x当 2x5时,32 x73,x53,所以,3（2）由（ 1）可知当x2时,f x 2 xx8x15的解集为空集；x3

22、x5当 2x5时,f x 28x15的解集为x|5当x5时,f x x28x15的解集为x| 56高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳综上：不等式f x x28x15的解集：x|53x6考点：同系数肯定值相减型不等式6.2.4 不同系数肯定值相加减型不等式6. 设函数 f x 2 x 1 x 2（1）求不等式 f x 2 的解集；（2）如 x R f x t 2 11 t 恒成立,求实数 t 的取值范畴21x 3, x2（1）由题意得 f x 3 x 1, 1 x 22x 3, x 2当 x 1 时,不等式化为 x 3 2,解得 x 5 x 5,2当 1x 2 时,不等式化为 3 x 1 2

23、,解得 x 1 1 x 2,2当 x 2 时,不等式化为 x 3 2,解得 x 1 x 2,综上,不等式的解集为 x x 1 . x 5（2）由（ 1）得 f x min 5,如 x R,f x t 2 11 t 恒成立,2 2就只需 f x min 52 t 2 112 t,解得12 t 5,综上, t 的取值范畴为 1 ,52考点：不同系数肯定值相加减型不等式高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳6.3 已知肯定值不等式解求参数7. 设函数f x xa3 , x a0 xa3 x01当a1时,求不等式f x 3x2的解集；2假如不等式f x 0的解集为x x1,求 a 的值；（1）当a1时

24、,f x 3x2可化为 |x1|2；由此可得x3或x1；故不等式f x 3x2的解集为 x x3或x1； 2 由f 0得xa3 x0此不等式化为不等式组xa3x0或xaaxxaxa即xa或aa42由于a0,所以不等式组的解集为x xa2由题设可得a=-1,故a22考点：已知肯定值不等式解求参数6.4 已知肯定值不等式解的范畴求参数范畴8. 已知函数 f x | x a | | x 2 | . （1）当 a 3 时,求不等式 f x 3 的解集；（2）如 f x | x 4| 的解集包含 1,2 ,求a的取值范畴 . 答案：高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳52 x x23,或x33（1）当

25、a3时,f x |x3|x2 |12x35 x32 x所以不等式f x 3可化为x23,或2x52x132x5解得x1或x4因此不等式f 3的解集为 x x1或x4（2）由已知f x |x4|即为 |xa|x2| |x4|,也即 |xa| |x4 |x2|如f x |x4 |的解集包含 1,2 ,就x1,2, |xa| |x4|x2 |,也就是x1,2, |xa| 2,所以x1,2,xa22,xa从而1a2,2a2解得3a0因此a的取值范畴为a 3,0. 考点：已知肯定值不等式解的范畴求参数范畴、相加减同系数肯定值不等式高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳6.5 含肯定值不等式的恒成立问题9

26、. 已知函数f x 2x12x1,a b 都成立,求 x（1）如对任意的 x 有f x 1a 成立,求 a 的取值范畴；（2）如不等式2abaab f x 0,对于任意的2的取值范畴；（1）依据题意 ,a 小于等于f x 的最小值0恒成立,xR4 , x x1 2由f x 2,1x1224 , x x1 2可得f x min2所以a2（2）当ab0即 ab 时, 2b0f x 1恒成立,当ab0时,由肯定值不等式得性质可得2 aba2ab aab,当且仅当 2ab a0时取 ,2aabba2 aba1ab f x 0,2aabba1 2f x 21f x 1,f x 221x122高中数学不等

27、式选修学问点和常考题型归纳考点：含肯定值不等式的恒成立问题、同系数肯定值相加型不等式6.6 含肯定值不等式的能成立问题10. 已知函数 f x x 1 x 3 . 1求 x 的取值范畴 ,使 f x 为常数函数 . 2如关于 x 的不等式 f x a 0 有解,求实数 a 的取值范畴 . 2 x 2, x 31 f x x 1 x 3 4, 3 x 12 x 2, x 1就当 x 3,1 时, f x 为常数函数 . 2方法一 :如图,结合1知函数 f实数 a 的取值范畴为a4 . x 的最小值为 4 , 方法二 :x1x3x1x3; a4 . x1x34, 等号当且仅当x3,1时成立 . 得

28、函数 fx的最小值为 4 ,就实数a 的取值范畴为考点：含肯定值不等式的能成立问题高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳6.7 利用肯定值的三角不等式放缩求最值11. 已知实数,x y满意：|xyy|1,| 2xy|1,求证：|y|53618证明：3|y| = |3 |= | 2x12xy| 2xy2xy ,由题设|xy|1,| 2xy|,363|y|11=5. 366|y|5. 18考点：肯定值的三角不等式6.8 数形结合在含参肯定值不等式中的应用12. 已知函数f x 2 x6x92 x8 x16R都成立,g x 对任意的 x（1）求f x f4的解集；R,如f x （2）设函数k x3,

29、kg x 求实数 k 的取值范畴（1）f x 2 x6x9x28x16x32x42|x3|x4 |,f x f4,即 |x3|x4 |9 , 9,xx4,49 或34xxx3,9 或x3,3x4x3x43图象的上解得不等式：x5；：无解；：x4,所以f x f4的解集为 x x5或x4g x k x（2） g x 即f x |x3|x4 |的图象恒在方,高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳2 x 1, x 4,可以作出 f x | x 3| | x 4 | 7, 4 x 3, 的图象,2 x 1, x 3而 g x k x 3 图象为恒过定点 P 3, 0,且斜率 k 变化的一条直线,作出函

30、数 y f x , y g x 图象,其中 k PB 2, A 4,7,k PA 1,由图可知,要使得 f x 的图象恒在 g x 图象的上方,实数 k的取值范畴应当为 1 k 2考点：同系数肯定值不等式相加型、应用7.证明不等式的基本方法7.1 比较法证明不等式数形结合在含参肯定值不等式中的设不等式 | 2x1|1的解集是 M ,a bM高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳（1）试比较ab1与 ab 的大小；max2,a2b2,2,求证：h2.（2）设 max 表示数集 A的最大数haabb答案：（ 1）ab1ab （2）见解析解析：（ 1）先解出Mx|0 x1 .ab1ab a1b10.

31、 问题得证 . （2）hmax2,a2b2,2 b,aab可知h2,ha2b22 b, ,haab所以依据不等式的性质,同向正向不等式具有可乘性,从而可证出h3h8. . 故2考点：比较法证明不等式7.2 综合法证明不等式7.3 分析法证明不等式13. 已知f x x1x1,不等式f x 4的解集为 M . （1）求 M ；高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳（2）当a bM 时,证明:2ab4ab . 16,（1）解不等式：x1x14；xx14或21x1或x2 x12441x2或1x1或2x1,2x2M2,2. （2）需证明：42 a2abb22 a b28 ab0只需证明2 a b24a

32、24 b2160,即需证明a24b2404a b 2, 2a24,b24a240,b2a24b240,所以原不等式成立 . 考点：分析法证明不等式7.4 反证法证明不等式14. 设a0,b0.且ab1 a1 . b证明：2,即ab2；（1）ab2；b2不行能同时成立 . （2）a2a2与b2由ab11 = a b ab,ba0,b0.得ab1a（1）由基本不等式及ab1,有ab2ab高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳（2）假设 a 2a 2 与 b 2b 2 同时成立,就由 a 2a 2 及 a 0 得 0 a 1,同理 0 b 1,从而 ab 1,这与 ab 1 冲突,故 a 2 a 2

33、 与 b 2 b 2 不行能同时成立 . 考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用8.5 放缩法证明不等式多为数列的题 15.已知数列an的前 n项和S 满意S n2 ann 1T nn0（1）求数列an1的通项公式；T ,证明：na n（2）设b n,记数列nb的前 n 和为an32【答案】（1）a nn 21；（2）详见解析 .【解析】试题分析：（ 1）考虑到 a n 1 S n 1 S n,因此可以利用条件中的式子得到数列 a n 的一个n递推公式,从而即可求解；（2）由（ 1）可知 b n a n 2n 1 1,b n 1n 12,a n 1 2 1 2 2 2从而可证 T n

34、 n 0,进一步放缩可得 n 12 n 1n 1n,求和即可得证 .2 2 2 2 2 3 2 3 2试 题 解 析 ：（ 1 ） S n 2 a n n , 当 n 1 时 ,S 1 a 1 2 a 1 1 a 1 1, 又 S n 1 2 a n 1 n 1, 与 S n 2 a n n 两 边 分 别 相 减 得 a n 1 2 a n 1 2 a n 1, 得a n 1 1 2 a n 1,又a 1 1 2,数列 a n 1 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,a n 1 2 n,得 a n 2 n1；高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳n2b n1ann 21n 2,n01得

35、b n1n2n12又,12n112an2T n3 2211,T n0,2242222n 212n11n,T n111223 2n3 223222n 2111,1T nn0.33 2n3329.柯西不等式9.1 柯西不等式的代数形式16. 已知关于 x 的不等式 xab的解集为 x| 2x24t2 1求实数a b 的值；4t2求at12bt 的最大值 . 1由 xab,得baxba就baa42,b解得a3,b1.23 t12t34tt322 1 24tt4当且仅当43tt 即 1t1 时等号成立,高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳故3t12tmin4. 考点：柯西不等式的代数形式9.2 一般

36、形式的柯西不等式17. 已知函数f x m|x2|,mR 且f x20的解集为1,1 , 1求 m的值; 2 如a b cR 且1 a11m ,求证a2 b3 c9.2b3 c1f x2mx0,xm1,1f x20的解集是m0,mxm ,故m1 . 111, , , a b cR,2 由 1知1 a2b3 c由柯西不等式得a2 b3 ca2 b13 1119.a2 b3 ca12 bb3 c12a23 c考点：一般的柯西不等式三、 强化训练 选修 4-5 不等式选讲 1不等式 x|2x1|3 的解集为 _解析 原不等式可化为高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳2x10,或2x10,. x 2

37、x1 3x 2x1 3.解得1 2x4 3或2x1 2. 所以原不等式的解集是x2x4 3答案x2x4 32不等式 |x1|x2|5 的解集为 _解析法一当 x2 时原不等式即 1x2x5,解得 3x2；当 2x1 时,原不等式即 1x2x5,由于 31 时,原不等式即 x12x5,解得 1x2. 综上,原不等式的解集为 x|3x2 法二 不等式 |x1|x2|5 的几何意义为数轴上到2,1 两个点的距离之和小于 5 的点组成的集合,而 2,1 两个端点之间的距离为 3,由于分布在2,1 以外的点到 2,1 的距离在 2,1 外部的距离要运算两次,而在2,1内部的距离就只运算一次,因此只要找出

38、2 左边到 2 的距离等于53 21的点 3,以及 1 右边到 1 的距离等于53 21 的点 2,这样就得到原不等式的解集为 x|3x2 答案 x|3x2 3已知 a,b,c 是正实数,且 abc1,就1 a1 b1 c的最小值为 _解析 a1 b1 cabcabc babc c3b aa b c aa c c bb c3222 9.当且仅当 abc1 3时等号成立答案 9 高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳42022 广州模拟 不等式 |x1|x2|a 对任意实数 x 恒成立, 就 a 的取值范围是 _解析|x1|x2|x1|2x|x12x|3, a3. 答案 , 3 5使关于 x 的

39、不等式 |x1|kx 有解的实数 k 的取值范畴是 _解析 |x1| kx. kx|x1|,2x1,x1,又 x|x1|1,x1,x|x1|的最大值为 1.ka 的解集是全体实数,就 a 的取值范畴是 _新- 课 - 标 - 第 -一- 网解析 令 fx|x3|x4|,就|x3|x4|x34x|1,就 fxmin1,故 a1. 答案, 1 a 的取值范畴是7如关于x 的不等式 |a|x1| |x 2|存在实数解,就实数_解析 令 t|x1|x2|,得 t 的最小值为 3,即有 |a|3,解得 a3 或 a3. 答案 , 33, 8在实数范畴内,不等式 |2x1|2x1|6 的解集为 _解析原不

40、等式可化为x1 2,12x2x162x12x16,解得3 2x3 2,高中数学不等式选修学问点和常考题型归纳即原不等式的解集为x3 2x3. 答案x3 2x392022 江西重点盟校二次联考 如不等式 |x1|x3|m1|恒成立,就 m 的 取值范畴为 _解析|x1|x3|x1x3|4,不等式 |x1|x3|m1|恒成立,只需 |m1|4,即 3m5. 答案 3,5 102022 临沂模拟 对任意 xR,|2x|3 x|a24a 恒成立,就 a 满意_解析|2x|3x|5,要使 |2x| |3x|a24a 恒成立,即 5a24a,解得 1a5. 答案 1,5 11如不等式 |3xb|4 的解集中的整数有且仅有 _1,2,3,就 b 的取值范畴是解析|3xb|4. b4 3 xb4 3 .0b4 3 1,. 5b7,即 b 的取值范3|a5|1 对于任一非零实数 x 均成立,就实数 a 的取值范畴是_解析 x1 x|x| 1 |x|2,所以 |a5|12,即|a5|1, 4a2；2求函数 yfx的最小值解1fx|2x1|x4|x5,x1 2,3x3,1 2x4,x5,x4.当 x2 得 x7,x7；当1 2x2 得 x5 3,新 - 课- 标