专升本辅导第讲二重积分市公开课获奖课件

1、第11讲 重积分第一节 二重积分概念与性质第二节 二重积分计算法复习要求（1）理解二重积分概念及其性质.（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下计算办法.（3）会用二重积分处理简朴应用问题（限于空间封闭曲面所围成有界区域体积、平面薄板质量）. 复习内容第1页第1页三、二重积分性质二、二重积分概念一、问题提出第一节 二重积分概念和性质第2页第2页一、问题提出曲顶柱体体积柱体体积=底面积*高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体第3页第3页求曲顶柱体体积采用 “分割、作近似、求和、取极限”办法第4页第4页环节下列：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体体积，先分割曲顶柱体底，并取典型小

2、区域，曲顶柱体体积第5页第5页求平面薄片质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量第6页第6页二、二重积分概念第7页第7页假如当各小闭区域直径中最大值l趋近于零时，这和式极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上二重积分， 记为Ddyxfs),(， 即Ddyxfs),(iiniifshxlD=),(lim10. 第8页第8页对二重积分定义阐明：二重积分几何意义当被积函数不小于零时，二重积分是柱体体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值第9页第9页在直角坐标系下用平行于坐标轴直线网来划分区域D，则面积元素为故二重积分可写为D第10

3、页第10页（二重积分与定积分有类似性质）性质设 为常数，则 性质对区域含有可加性三、二重积分性质第11页第11页性质假如 在上， ， 为 面积，则 性质若在D上则有特殊地第12页第12页（二重积分估值不等式）（二重积分中值定理）第13页第13页例1预计积分 值，其中 是矩形域解：在区域 上，由于 , 因此即（拟定被积函数在上最大值和最小值）,.,第14页第14页例2 判断 符号.解：当 时，故又当于是时，第15页第15页例3 比较积分 所围成解：由于积分域 在直线 下方，因此对任意点从而有而由二重积分性质得（在 上比较被积函数大小） 其中 是由直线 和。都有，第16页第16页四、小结二重积分定

4、义（和式极限）二重积分几何意义（曲顶柱体体积）二重积分性质第17页第17页第二节 二重积分计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分第18页第18页一、利用直角坐标计算二重积分假如积分区域为：X型其中函数 、 在区间 上连续.第19页第19页应用计算“平行截面面积为已知立体求体积”办法得第20页第20页假如积分区域为：Y型第21页第21页X型区域特点： 穿过区域且平行于y轴直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域特点：穿过区域且平行于x轴直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后三个区域上分别使用积分公式第22页第22页解积分区域如图例1 改变积分-

5、xdyyxfdx1010),(顺序.原式-=ydxyxfdy1010),(.第23页第23页解积分区域如图例2 改变积分-+xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2顺序.第24页第24页例3计算其中 是由直线 解法一积分区域是X型解法二积分区域是Y型，及所围成闭区域。第25页第25页例4计算其中 是由直线所围成闭区域。解既是X型，及是Y型（计算比较麻烦）第26页第26页例5计算其中 是抛物线及直线所围成区域。，解：为Y型为X型（计算比较麻烦）第27页第27页例6求两个底圆半径都是R直交圆柱面所围成立体体积。解：设这两个圆柱面方程分别为由对称性算第一卦限部分从而所得立体体积及第28页第28页二、利用极坐标计算二重积分第29页第29页二重积分化为二次积分公式（）区域特性如图第30页第30页区域特性如图第31页第31页二重积分化为二次积分公式（）区域特性如图第32页第32页二重积分化为二次积分公式（）区域特性如图极坐标系下区域面积第33页第33页解例1 写出积分Ddxdyyxf),(极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),(2xyxyxD-= 10 x.在极坐标系下因此圆方程为 1=r,直线方程为qqcossin1+=r,第34页第34页解例2 计