《微积分(下)》多元函数微分学演习题-参考谜底

1、 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求以下二元函数的极限:(1) (2) (3) (4) 解: (1) 当时，因此 。 (2) 当时，因此，。(3) 当时，因此，。(4) 当时，因此，。2证明：当时，的极限不存在。证明: 取，那么 显然此极限值与k的取值相关，因此当时，的极限不存在。二、填空题3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ； 8. 9. ；10. 11. .三、选择题 12.C 13.D 14.D四、计算与应用题15. (1) , 求； (2) , 求；解： (1) ,， 因此，。(2) ,， 因此， 16.解： ，17. 解： ， ， ， 18.，求。解 ；19.

2、设函数 ，求 解：20.解：， 21.计算以下函数的二阶偏导数:(1) ； (2) ；解: (1) , ， 。 (2) ,; 。22求复合函数的偏导数或导数:(1) ，求；(2) ，求；解: (1) ,;(2) ,;23求以下方程所确定的隐函数的导数:(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解：(1) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。(2) 方程两边关于x求导，得 ， 因此，所求隐函数的导数为。(3) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。(4) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。24.设 由方程 确定，求 解：令 ， 所以25求以下函数的极

3、值，并确定其性质(1) ；(2) ；(3) ； 解: (1)由 可得驻点(0，0)和(1,1)，又，因此在驻点(0，0)处，且满足 因此在驻点(0，0)处函数无极值。在驻点(1,1)处，又，且满足，因此在驻点(1,1)处函数取得极小值-1。(2) 由可得惟一驻点(1，1)，又，因此在驻点(1，1)处，且满足，, 因此在驻点(1，1)处函数极小值2。(3) 由可得惟一驻点(-2, 0)。又 ，因此在驻点(1，1)处， ，且满足，, 因此在驻点(-2, 0)处函数极小值。26求以下函数的条件极值： (1) ； (2) ；(3) ；解：(1) 由得驻点(0，0)和(2，2)， 又因为 ，从而在驻点处

4、: 因此原函数在驻点(1，1)处取得极大值1。(2) 构造拉格朗日函数 ， 由得驻点(2，2，-2)，又因为 ，从而在驻点处 因此原函数在驻点(2，2)处取得极小值3。(3) 构造拉格朗日函数 ， 由得驻点(2，2，4)，又因为 ，从而在驻点处 因此原函数在驻点(2，2)处取得极小值4。27求以下函数的最值：(1) ； (2) ；(3) ；解：(1)由得驻点(0，0)和(2，2)， 又 从而在驻点(0，0)处: 且因此原函数在驻点(0，0)处取得极大值0;在驻点(2，)处: 且因此原函数在驻点(2，2)处无极值; 在边界上，原函数化为因此 在边界上，原函数化为因此在边界上，原函数化为由可知此时的驻点为 又因为因此 又 因此在边界上，函数满足在边界上，函数化为由可知此时的驻点为 又因为因此 又 因此在边界上，函数满足，综上所述, 原函数的最大值为z(4,1)=7,最小值为(2) 由得惟一驻点(1/2,1/2)， 又 从而在驻点(1/2,1/2)处: 且因此原函数在驻点(1/2,1/2)处取得极小值-1/2;在边界上，原函数化为设那么因此 综上所述，原函数的最大值为最小值为(3) 由得惟一驻点(1,1)， 又 从而在驻点(1/2,1/2)处: 且因