导数中的端点效应专题

1、 导数中的端点效应专题已知函数f (x) (x 1)ln x a(x 1) .( I )当 a 4 时，求曲线y f (x) 在 1, f (1) 处的切线方程；(II)若当x 1, 时，f(x)0 ,求a的取值范围.已知 入C R,函数f ( x) = ex - ex -入(xln xx + 1)的导函数为 g(x).(1)求曲线y = f ( x)在x= 1处的切线方程；(2)若函数g (x)存在极值，求 入的取值范围；(3)若xR1时，f ( x) R0恒成立，求 入的最大值.已知函数f(x) (x 1)ln x ax a ( a 为正实数，且为常数).( 1 )若函数f (x) 在区间

2、 (0,) 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若不等式(x 1)f(x)A0恒成立，求实数a的取值范围.答案1.试题分析：(I)先求定义域，再求 f(x), f(1), f(1),由直线方程得点斜式可求曲线y f(x)在(1, f (1)处的切线方程为2x y 2 0. ( n )构造新函数 g(x) ln x a(x 1) ,对实数a分类讨论，用导数法求解.x 1试题解析：(I) f(x)的定义域为(0,).当a 4时，f (x) (x 1)ln x 4(x 1), f (x) In x在(1,f (1)处的切线方程为2x y 2 0.(II )当 x (1,)时，f (x) 0等价于

3、 ln x令 g(x) In x a(,则x 1,、1 2a x2 2(1 a)x 1 小g (x) - 2 2,g(1)x (x 1) x(x 1)(i )当 a 2, x (1,)时，x22(1 a)xx (1,)上单调递增，因此 g(x) 0；(ii )当a 2时，令g (x) 0得2, f(1)0.曲线 y f (x)a(x 1)0.0,2xg (x) 0,g(x)在x1 a 1 7(a1)21, x2a 1 7(a1)21 ,由 x2 1 和 x1x2 1 得 x1 1 ,故当 x (1,x2)时，g (x) 0, g(x)在 xg(x)在 x(1*2)单调递减,因此g(x) 0.综

4、上，a的取值范围是,2 .考点：导数的几何意义，函数的单调性2.解：(1)因为 f (x) = ex e入 lnx,所以曲线y = f ( x)在x = 1处的切线的斜率为f(1) =0,又切点为(1 , f (1),即(1 , 0),所以切线方程为y=0.(2) g ( x) =ex e入 In x, g (x)=x入ex当入W0时，g (x)0恒成立，从而g ( x)在(0 , +)上单调递增,(x) =ex+x2- 0 恒成立,故此时g ( x)无极值.当入 0 时，设 h(x) = q -x-,则 h所以h(x)在(0, +8)上单调递增.当0入v e时,入 入h(1)=e入 0, h

5、() = e-e0,且 h(x)是(0 , +o )上的连续函数,因此存在唯一的xc 1 ,入)，使得h(xc) =0.故当入0时，存在唯一的 xc0,使得h(xc) =0.且当 0vxvx0时，h(x)v0,即 g (x)x0时，h(x) 0,即 g (x) 0,所以g ( x)在(0 , x0)上单调递减，在(x, +)上单调递增，因此g ( x)在x = x0处有极小值.所以当函数g (x)存在极值时，入的取值范围是(0 , + ).(3) g (x)=/(x) = ex-e-入 In x, gz (x) = ex-. x若g (x)0恒成立，则有 入Wxex恒成立.设()(x) = x

6、ex(x 1),则 6 (x)=(x+1) ex0 恒成立，所以6 (x)单调递增，从而 6 (x) 6 (1) = e,即入w e.于是当入we时，g ( x)在1 , +8)上单调递增，此时g ( x) g (1) = 0,即f (x) 0,从而f ( x)在1 , +8 )上单调递增.所以f ( x) f (1) =0恒成立.当入e时，由(2)知，存在xC (1 ,入)，使得g ( x)在(0 , x。)上单调递减，即f (x)在(0 , x0)上单调递减.所以当 1 1时，f ( x) 0恒成立矛盾.因此入we,即入的最大值为e.x 1 TOC o 1-5 h z 3. (1) f(x

7、) (x 1)ln x ax a , f (x) In x + a.x因f(x)在(0,)上单调递增，则f (x)0, a, lnx + - 1恒成立. x人1x 1令 g(x) lnx+_ 1 ,则 g (x),xxx(0,1)1(1,)g (x)一0十g(x)减极小值增因此，gmin(x) g(1) 2,即 0 a, 2.(2)当0 a, 2时，由(1)知，当x (0,)时，f(x)单调递增.又 f(1) 0,当 x (0,1), f (x) 0;当 x (1,)时，f(x) 0.故不等式(x 1)f(x)0恒成立.xln x (1 a)x 1右 a 2 , f (x),xT2分设 p(x) xln x (1 a)x 1 ,令 p (x) In x 2 a 0 ,贝U x ea 2 1 .a 2当 x (1,e )时，p (x) 0 , p(x