线性代数 第四五章向量组线性相关 秩 特征值特征向量

1、4.1节 向量组及其线性组合 定义： n个有序数a1 ， a2 ， ， an 组成的有序数组（a1 ， a2 ， ， an ）称为n维向量。其中， ai叫作向量的第i个分量。 n称为向量的维数常用记号： a b c 等等 行向量： 列向量： 4.1节 向量组及其线性组合例1： 行向量： 列向量： 一个mn的矩阵每一行可看作是一个行向量，每一列可看作是一个列向量。反过来，维数相同的若干个行（列）向量可组成矩阵。4.1节 向量组及其线性组合向量的运算： 加法、数乘（同矩阵的运算定义相同）例2 设 求向量 x 。解： 共有8条运算律（要求熟记）数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下

2、列八条运算规则：4.1节 向量组及其线性组合定义： 设有m个n维向量 。若有一个向量能写成如下形状： 则称是 的线性组合。 或称可用向量组 线性表示。4.1节 向量组及其线性组合 ？ 向量能否由向量组 线性表示 将各个向量写成矩阵的列的形式，构成一个矩阵： 对上述得到的矩阵进行初等行变换，将它化为行最简形矩阵从得到的行最简形矩阵可判别能否线性表示，如果可以，还能求出相应的线性表示式行初等变换法求线性表示的步骤（P84定理1）：4.1节 向量组及其线性组合例3 设 能否由 线性表示 对矩阵的初等行 变换不改变列向量间的线性关系4.1节 向量组及其线性组合例4 设，问：能否由 线性表示 不能由 线

3、性表示。4.2节 向量组的线性相关性定义： 设有m个n维向量 。若存在m个不全为零 的数 使得： 则称 线性相关。 否则称 线性无关。即：如果要使得（1）式成立，则必须取所有的系数为零， 那么这组向量线性无关。4.2节 向量组的线性相关性如果向量的个数大于向量的维数，则必线性相关如果向量的个数与向量的维数相等，可用行列式法判别如果向量的个数小于向量的维数，可用初等变换法 将各个向量写成矩阵的列的形式，构成一个矩阵： 对上述得到的矩阵求秩，若秩小于m，则向量组线性 相关；若秩等于m，则向量组线性无关。判别一组向量线性相关或线性无关的方法（P88定理4）行列式等于零 向量线性相关行列式不等于零 向

4、量线性无关4.2节 向量组的线性相关性例1 设 则由于该组向量的维数是2，而向量组有3个向量，故该向量组是线性相关。例2 设判别该组向量是线性相关还是线性无关。解：所以该组向量 线性相关。4.2节 向量组的线性相关性例3 设，问：该向量组是否线性相关？ 因为矩阵的秩为3，等于向量组的向量个数，故该向量组线性无关4.2节 向量组的线性相关性定理1：一组向量线性相关的充分必要条件是这组向量中至少有一个向量可以用其余的向量线性表出。线性关系的几个定理定理2：设一组向量线性相关，则在这一组中再添加若干个向量得到的新向量组也线性相关。（部分相关则整体必相关）定理2的推论：设一组向量线性无关，则在这一组中

5、任取若干个向量得到的新向量组也线性无关。（整体无关则部分必无关）注意：定理2及其推论的逆命题都不成立！4.3节 向量组的秩 定义：设有一组向量，如果在这组向量中选出 r 个向量 ，满足：（1） 这 r 个向量线性无关；（2）从这组向量中任取r+1个向量都线性相关。 则称这 r 个向量 为该向量组的最大线性无关向量组（最大无关组）4.3节 向量组的秩例： 线性相关线性无关则 是该向量组的最大无关组线性无关则 也是该向量组的最大无关组向量组的最大无关组不一定唯一4.3节 向量组的秩 推论（等价定义）：设有一组n维向量，如果在这组向量中选出 r 个向量 ，满足：（1） 这 r 个向量线性无关；（2）

6、从这组向量中任取一个向量 添加进去， 线性相关。 则这 r 个向量 便是该向量组的一个最大无关组4.3节 向量组的秩定义：由单个零向量O组成的向量组，其不含最大无关组，故规定其 秩为零。 ？如何求向量组的最大无关组和向量组的秩定义：向量组 A 的最大无关组所包含的向量个数，称为该向量组的 秩，记为 r(A)、rank（A） 。 4.3节 向量组的秩例1 设求该向量组的一个最大无关组，并求向量组的秩。解：则 是该向量组的一个最大无关组，且向量组的秩等于24.3节 向量组的秩将各个向量写成矩阵的列的形式，构成一个矩阵；对上述得到的矩阵进行初等行变换，将它化为行阶梯形矩阵；在得到的行阶梯形矩阵中选取

7、每个非零行的第一个非零元所在的列对应的向量，即构成一个最大无关组。而其所含的个数即向量组的秩。但若还须求线性表示，则要化为行最简形矩阵行初等变换法求最大无关组和秩的步骤：4.3节 向量组的秩例2 设求一个最大无关组，并将其它向量用该最大无关组线性表示。解：则 是该向量组的一个最大无关组，且向量组的秩等于24.4节 线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的结构齐次方程组的解的性质：性质1：设 是齐次方程组 的解向量，则 也是齐次方程组的解向量。性质2：设 是齐次方程组 的解向量，k 是任一常数 ，则 也是齐次方程组的解向量。 命题：设 是齐次方程组的解向量，则对任意一组实数 ， 也是方程组的解向

8、量4.4节 线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的结构定义：设 是齐次方程组 的一组解向量，且： （1）该组向量线性无关； （2） 齐次方程组的任意一个解向量都可以用该 组向量线性表示，即有： 则称 是齐次方程组的基础解系由定义可知，基础解系即为齐次方程组的解向量组的最大无关组定理：设齐次方程组的系数矩阵的秩r(A)=rn，则方程组有非 零解且存在基础解系 ，使得方程组的 每个解都是 的线性组合。其中，snr。4.4节 线性方程组的解的结构例1 求方程组 的解解： 其中 是该方程组的基础解系该方程组的解为：4.4节 线性方程组的解的结构例2 求方程组 的解解： 其中 是方程组的基础解系该方程

9、组的解为：4.4节 线性方程组的解的结构非齐次线性方程组的解的结构非齐次方程组的解的性质：性质1：设 是非齐次方程组 的解向量，则 是对应的齐次方程组 的解量。性质2：设 是非齐次方程组 的解向量， 是对应齐次方程组 的解向量，则 也是非齐次方程组 的解向量。 定理：设非齐次方程组的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等且都等于rn， 是其一个解向量，设对应的齐次方程组有基础解系 ，则非齐次方程组的解可表示为：4.4节 线性方程组的解的结构例3 求方程组 的解解： 该方程组的解为：对应齐次方程组的基础解系非齐次方程组的一个解（特解）4.4节 线性方程组的解的结构例4 求方程组 的解解： 该方程组的解为

10、：对应齐次方程组的基础解系非齐次方程组的一个解（特解）本章知识点 基本概念： 向量 线性表示 线性相关 线性无关最大线性无关组 向量组的秩 非齐次线性方程组的解的结构 齐次线性方程组的解的结构基本方法： （重点，必须熟练掌握）判别向量能否由向量组线性表示的方法判别向量组线性相关或线性无关的方法求最大无关组并用无关组表示其余向量的方法5.2节 方阵的特征值与特征向量 定义： 设 A 是一个 n 阶方阵 ，若存在一个数 以及一个非零 n 维列向量 x ，使得： ，则称 是 A 的特征值， x 称为 A 关于 的特征向量？如何求：特征值与特征向量X 是齐次方程组：（A - E ）x O 的非零解；

11、必须满足： | A - E | 0定义： 特征方程： 特征多项式： 5.2节 方阵的特征值与特征向量例1: 求 的特征值与特征向量。解：A的特征多项式为： 所以 A 的特征值为： 将 代入 得到齐次方程组： 解得特征向量： 将 代入 得到齐次方程组： 解得特征向量： 5.2节 方阵的特征值与特征向量 5.2节 方阵的特征值与特征向量例2 求矩阵的特征值和特征向量。5.2节 方阵的特征值与特征向量解：A的特征多项式为： 所以 A 的特征值为： 5.2节 方阵的特征值与特征向量 将 代入 得到齐次方程组： 解得特征向量： 将 代入 得到齐次方程组： 解得特征向量： 5.2节 方阵的特征值与特征向量

12、例3 求矩阵的特征值和特征向量。5.2节 方阵的特征值与特征向量解：A的特征多项式为： 所以 A 的特征值为： 5.2节 方阵的特征值与特征向量下面求特征向量 将 代入 得到齐次方程组： 解得特征向量： 将 代入 得到齐次方程组： 解得特征向量： 5.2节 方阵的特征值与特征向量例4: 求 的特征值。解：A的特征多项式为： 所以 A 的特征值为： 上（下）三角矩阵和对角矩阵的特征值就是主对角线上的n 个元素5.2节 方阵的特征值与特征向量求特征值与特征向量方法总结： 第一步：求出矩阵 A 的特征多项式： | A - E | 第二步：求解特征方程： | A - E | 0 ，得到 n 个根（包括

13、 重根） ，即为矩阵 A 的 n 个特征值第三步：将各个特征值 代入齐次线性方程组：（A - E）x O ，求出基础解系即为矩阵 A 相应于特征值 的特征向量5.2节 方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的性质： 命题1：任一 n 阶矩阵 A 必有 n 个特征值 （包括重根，且根可能为复数）命题2：若 x 是矩阵 A 的关于特征值 的特征向量 ， 则 k x （k 0）也是 A 的 关于特征值的特征向量；若 x 和y 都是矩阵 A 的关于特征值 的特征向量 ， 则 k x+ l y （ k 和 l 不同时为零）也是 A 的 关于特征值的特征向量5.2节 方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量

14、的性质： 命题3：若 是矩阵 A 的特征值，x 是相应的特征向量 ， 则 k 是矩阵 k A 的特征值，x 也是相应的特征向量 命题4：若 是矩阵 A 的特征值，x 是相应的特征向量 ， 则2 是矩阵 A 2 的特征值，x 也是相应的特征向量5.2节 方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的性质：例5 设 2 是 可逆矩阵 A 的特征值，则： _ 是矩阵（3) A 的特征值； _ 是矩阵 A3 的特征值； _ 是矩阵 A1 的特征值； _ _ 是矩阵（2）A1 的特征值；命题5：若 是可逆矩阵 A 的特征值，x 是相应的特征向量 ， 则 1 是矩阵 A1 的特征值，x 也是相应的特征向量 5.

15、2节 方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的性质：例5（补）： 设 2 是 可逆矩阵 A 的特征值，则： _ 是矩阵 A 的特征值； _ 是矩阵 3 A 的特征值 命题6：若 是可逆矩阵 A 的特征值，x 是相应的特征向量 ， 则 也是矩阵 A 的特征值，但x 不一定是 相应的特征向量 5.2节 方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的性质：定理1 ：若 是矩阵 A 的 s 个互不相等的特征值， 是分别相应于 的特征向量 ， 则 是一组线性无关的向量。 ！注意：属于不同特征值的特征向量必线性无关， 但属于同一特征值的特征向量则可能线性无关，也可能线性相关 推论：若 n 阶 矩阵 A 有 n

16、个不同的特征值， 则 矩阵 A 必有 n 个线性无关的特征向量 5.3节 相似矩阵 定义： 设 A 与 B 都是 n 阶方阵 ， 若存在一个非奇异 n 阶方阵 P ，使得： ，则称 B 相似于 A ， 或称 A 经过相似变换变到了B. P 则称为 变换阵矩阵的相似关系有如下性质:反身性：矩阵 A 与 A 自身总相似对称性：若 B 与 A 相似, 则 A 与 B 也相似传递性：若 A 与 B 相似, B 与 C 相似, 则 A 与 C 也相似5.3节 相似矩阵相似矩阵的重要性质： 定理1：相似矩阵有相同的特征多项式 , 从而所有的特征值都相同. 注意 是相似矩阵.5.3节 相似矩阵相似矩阵的重要

17、性质： 推论：若矩阵 A 与 对角阵 相似, 则 对角阵 的对角线上的元素 即为 矩阵 A 的特征值 例1：设如下两个矩阵相似 , 求 x 的值.解：计算得 矩阵 A 的特征值为: 2 和 3 , 由上面的推论可得: x = 35.3节 相似矩阵 定理2：n 阶 矩阵 A 相似于 一个对角阵 的 充要条件是 A 有 n 个 线性无关 的特征向量. 推论：若 n 阶 矩阵 A 有 n 个不同的特征值, 则 A 必 相似于 一个 对角阵.5.3节 相似矩阵例2: 判别 能否相似于对角阵.若能.求出变换阵.解： A 的特征值为： 相应于特征值 的特征向量是： 相应于特征值 的特征向量是： 令: ， 则: 2 阶 矩阵 A 有 2 个不同的特征值, 故 A 能 相似于对角阵.5.3节 相似矩阵例3 判断矩阵能否相似于对角矩阵，若能，求出此对角矩阵。5.3节 相似矩阵解： A 的特征值为： 相应于 的特征向量为: 相应于 的特征向量为: 由于三阶矩阵 A 只有 2个线性无关的特征向量, 故 A不能 相似于对角阵.5.3节 相似矩阵例4 判断矩阵能否相似于对角矩阵，若能，求出对角矩阵。5.3节 相似矩阵解：A 的特征值为：相应于