数学分析15.1傅里叶级数

1、若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A+A+)若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A+A+)收敛，A+A+)=A+(A+A，记A=，Asin=a，Acos=b，n=1,2,，则该级数可以表示为：+b在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.+b.它是由三角函数列(或称为三角函数系)+b收敛，则三角级数1傅里叶级数一、三角级数正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(x+)表示的周期运动称为简谐振动，其中A为振幅，为初相角，为角频率，其周期T=.nn常用几个简谐振动y=Asin(kx+),k=1,2,nnn的周期运动，即：y=A+)，其周期为T=.nnn当=1时，sin(nx+)=sincosnx+cos

2、sinnx，所以nnnnnnnnnnn1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数nnnnnn证：对任何实数x，|acosnx+bsinnx|a|+|b|，由魏尔斯特拉斯M判别法得证.概念2：若两个函数与在a,b上可积，且bdx=0，则称函数与在a,b上是正交的或称它们在a,b有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,有以下性质：1、所有函数具有共同的周期2；2-上的正交函数系.即有：dx=dx=0；dx=0(mn)；dx=0(mn)；dx=0(

3、mn).3、任何一个函数的平方在-上的积分都不等于零，即dx=dx=；dx=2.二、以2为周期的函数的傅里叶级数定理15.2+b在整个数轴上一致收敛于fnnndx,b=a=dx,b=证：由定理条件可知，f(x)在-上连续且可积，+b+b2=a.nnn)=即a=dx.对即a=dx.对f(x)=+bnnn两边同时乘以coskx(k为正整数)，可得：f(x)coskx=coskx+b)，则新级数收敛，有nnn+(+b.ndx=nn由三解函数的正交性，等式右边除了以=a为系数的那一项积分dx=a外，其余各项积分都为0，dx=a，即a=即a=dx(k=1,2,).同理，对f(x)=+b叶系数为系数的三角

4、级数+b称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)+b.注：若+b在整个数轴上一致收敛于f，则，f(x)=+b.nnn两边同时乘以sinkx(k为正整数)，可得：b=dx(k=1,2,).概念3：若f是以2为周期且在-上可积的函数，则按定理15.2中所求ab称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f的傅里nnnnnnnnnnnn三、收敛定理概念4：若f的导函数在a,b上连续，则称f在a,b.若定义在a,b上除了至多有限个第一类间断点的函数f的导函数在a,b上除了f的左右极限存在，则称f在a,b上按段光滑.注：若函数f在a,b上按段光滑，则有：1、f在a,b上可积；2、在a,b上每一

5、点都存在f(x0)，且有=f=f(x+0)，=f(x-0)；3、补充定义f在a,b上那些至多有限个不存在点上的值后，f在a,b上可积.x-，f的傅里叶级数+x-，f的傅里叶级数+bnnn收敛于f在点x的左右极限的算术平均值，即=+=+b，其中ab为傅里叶系数.nnn注：当f在点x连续时，则有=f(x)，即f的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2的续连函数f在-上按段光滑，则f的傅里叶级数在(-,+)上收敛于f.注：由f周期为2，可将系数公式的积分区间-dx,b=a=dx,b=在(-以外的部分，按函数在(-上的对应关系作周期延拓，如f通过周期延拓后的函数为：，,，,函数f的傅里叶级数就是指

6、函数的傅里叶级数.例1：设f(x)例1：设f(x)，求f的傅里叶级数展开式.解：f及其周期延拓后图象如图：可见f按段光滑.由收敛定理，有a=由收敛定理，有a=dx=dx=.当n1时，a=a=dx=dx=dx=b=dx=dx=-b=dx=dx=-dx=.在(-)上，f(x)=+在(-)上，f(x)=+.当x=时，该傅里叶级数收敛于=.f在-上的傅里叶级数图象如下图：，例2：把函数f(x)=，展开成傅里叶级数.解：f及其周期延拓后图象如图：可见f按段光滑.由收敛定理，有dx=dx-a=dx=dx-当n1时，a=dx=dx-dx；dx=；又dx=；dx=；a=(-1)-1.dx=dx-dx=dx-又

7、dx=-dx=(；dx=-dx=-(dx=-dx=-(；b=(+(=(=f(x)=-+.当x=时，该傅里叶级数收敛于=()=0；当x=0或2时，该傅里叶级数收敛于=-2.f(x)=-+(=；当x(0,)(注：由当x=2时，有=-+n=-8nn=-2.=.=.n例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以波分析。设f(x)的周期为2的矩形波函数(如图)，在-)上表达式，为f(x)=，求该矩形波函数的傅里叶展开式.，解：f(x)在(-)上是奇函数，dx=0，a=a=dx=0，a=dx=dx=dx=当xkk=0,1,2,时，f(x)=；n当x=kk=0,1,2,时，级数每一项都是0，

8、收敛于0.习题1、在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：(1)f(x)=x，(-);(0,2)；(2)f(x)=x，(-);(0,2)；(3)f(x)=，(3)f(x)=，.(ab,a0,b0).解：(1)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.xcosnx是(-)上的奇函数，a=0,n=0,1,2,又b=又b=dx=-dx=n=1,2,.在(-)上，f(x)=2n.ndx=a=dx=2dx=a=dx=dx=a=dx=dx=dx=0.b=b=dx=dx=-dx=-.在(0,2)上，f(x)=-2.n(2)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.dx=dx=adx=

9、dx=a=a=dx=dx=dx=.在(-)上，f(x)=+4n.a=在(-)上，f(x)=+4n.a=dx=dx=dx=ndx=dx=dx=dx=.b=b=dx=dx=-dx=-.在(0,2)上，f(x)=+4sinnxn(3)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.dx=dx+dx=dx+dx=dx=dx=dx+在(-)上，f(x)=(b-a)+b(-1)-1cosnx-(-1)b.=bdx=b在(-)上，f(x)=(b-a)+b(-1)-1cosnx-(-1)b.dx=dx+dx=dx+dx=bn2、设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c，有dx=a=dx=dx=b=d

10、x=证：dx=dx+dx+dx.令t=x+2，则dx=dt=-dx.dx=dx，从而有dx=a=dx=dx=同理可证：b=dx=，3、把函数f(x)=，展开成傅里叶级数，并由它推出：(1)=1-+-+；(2)=1+-+；(3)=1-+-+-+.解：函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.在(-)上，f(x)=n=.=n=1-+-+.(1)当x=时，f()=(1+-+在(-)上，f(x)=n=.=n=1-+-+.(1)当x=时，f()=(1+-+)-n=(1+-+)-；dx=dx+dx=dx+dx=nnnn(2)=1-+-+=(1+-+)+(-+-+)n=+=1+-+.(3)当x=

11、时，f()=n=(1-+-+-+)；=1-+-+-+.4f(x)满足条件f(x+)=-f(x)(-)上的傅里叶级数具有什么特性.解：若f在(-)上存在傅里叶级数，则f按段光滑.记t=x+，则dx=-)dx=-)dx+=-)dt+dx=-dt+dx=1-(-1)dx,n=0,1,2,；a=0,n=0,1,2,；同理可得：b=0,n=1,2,；f在(-)上的傅里叶级数的特性为：a=b=0,n=1,2,.5、设函数f(x)满足条件f(x+)=f(x)，试问此函数在(-)上的傅里叶级数具有什么特性.解：若f在(-)上存在傅里叶级数，则f按段光滑.记t=x+，则dx=)dx=)dx+=)dt+dx=dt

12、+dx=1+(-1)dx,n=0,1,2,；a=0,n=1,2,；同理可得：b=0,n=1,2,；f在(-)上的傅里叶级数的特性为：a=b=0,n=1,2,.=sin(m+n)x|+sin(m-n)x|=0,m=sin(m+n)x|+sin(m-n)x|=0,mn；数系，但它们合起来的三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,不是0,上的正交函数系.证：dx=dx+dx又当n=0时，dx=dx=0当n=1,2,时，dx=dx=0，三角函数系cosnx,n=0,1,2,中，任何两个不相同的函数的乘积在0,上的积分都为0，而任一函数的平方在0,上的积分都不

13、为0，cosnx,n=0,1,2,是0,上的正交函数系.同理可证：sinnx,n=1,2,也是0,上的正交函数系.但对三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,dx=-cosx|=20，它不是0,上的正交函数系.7、求下列函数的傅里叶级数展开式：(1)f(x)=0 x2；(2)f(x)=-x2；(3)f(x)=ax+bx+c,0 x2-x；(4)f(x)=chx,-x；(5)f(x)=shx,-x.解：(1)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.dx=a=dx=a=a=dx=dx+dx=0.b=b=dx=在(0,2)上，f(x)=.n(

14、2)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.，函数等价于f(x)=，函数等价于f(x)=，dx=dx+a=-dx=dx=dx+dx+a=-dx=dx+=ndx+=-n).在(-)上，f(x)=在(-)上，f(x)=+.当x=时，dx+该傅里叶级数收敛于=f(),在-上，f(x)=在-上，f(x)=+.=-dx+bdx=.(3)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.+dx=a+dx=a=+dx=dx+bdx+dxb=+dx=dx+bdx+dx=-b=-.在(0,2)上，f(x)=ax+bx+c=a+b+c+cosnx-n+dx=a+dx=a=+dx=dx+bdx+d

15、x=-dx+b=-dx+bdx=(-1).a=a=e+edx=.当n1时，=dx+bdx+dx=-b=-(-1).a+c+cosnx-a+c+cosnx-(4)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.a=a=e+edx=dx+dx=(-1).b=e+edx=0.n在(-)上，f(x)=chx=+cosnx.een在(-)上，f(x)=chx=+cosnx.eeeedx=0.a=dx=0.当n1时，a=eedx=b=dx+n在(-)上，f(x)=shx=sinnx.在(0,2)上，f(x)=-+cosnx=cosnx.dx=(-1).n(5)函数f及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数.n8f(x)=(3x-6x+2),0 x2它推出=.解：根据第7题第(3)小题的结论，有：nn当x=0时，该傅里叶级数收敛于=.=.9、设f为-上的光滑函数，且f(-)=f().a,b为f的傅里叶系数，a,b为f的导函数f的傅里叶系数.证明：a=0,a=nbb=-na,(n=1,2,).证：f为-上的光滑函数，f在-上有连续的导函数f.(x)dx=(x)dx=(x)dx=(x)dx=+10、证明：若三角级数+b中的系数a,b满足：|b|；证：10、证明