2022年北京理工大附中高三第二次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A月收入的极差为60B7月份的利润最大C这12个月利润的中位数与众数均为30D这一年的总利润超过400万元2泰山有“五岳之首”“天下第一

2、山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A甲走桃花峪登山线路B乙走红门盘道徒步线路C丙走桃花峪登山线路D甲走天烛峰登山线路3如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点

3、，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）ABCD4已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p（ ）A1BC2D45已知集合，则( )ABCD6已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ）A4B8C9D277函数（且）的图象可能为（ ）ABCD8已知集合，集合，则等于（ ）ABCD9函数在上的大致图象是（ ）ABCD10若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）ABCD11如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( ) A16053B64212

4、如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设， ，则的面积为_.14的展开式中，的系数为_（用数字作答）.15已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是_16函数在上的最小值和最大值分别是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学

5、生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分频数624（）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？ 是否合格 性别 不合格合格总计男生女生总计（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，其中.18（12分）已知

6、椭圆与x轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.19（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（1）求,的值：（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求的面积20（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫

7、全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：市场：需求量（吨）90100110频数205030市场：需求量（吨）90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.（1）求的概率；（

8、2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.21（12分）设数列的前列项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.22（10分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表质量指标值频数2184814162（1）求图中实数的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区

9、间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40

10、，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.2D【解析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登

11、山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.3C【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法

12、，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4C【解析】设直线l的方程为xy，与抛物线联立利用韦达定理可得p【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为xy，并与y22px联立得y2pyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），y1+y2p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2），所以p=2,故选C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题5B【解析】先由得或，再计算即可.【详解】由得或，,又，.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.6D【解析】设正四面体的棱长为，取的中点

13、为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.【详解】设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，则，设内切球的半径为，内切球的球心为，则，解得：；设外接球的半径为，外接球的球心为，则或，在中，由勾股定理得：，解得， 故选：D【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.7D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.8B【解析】求出中不等式的解集确

14、定出集合，之后求得.【详解】由，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.9D【解析】讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，故切线的斜率变小，当时，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，则，所以函数在上单调递增，令 ，当时，故切线的斜率变大，当时，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.10A【解析】首先画出可行域，利用目标函数

15、的几何意义求的最小值【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以故选：A【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题11A【解析】设球心为O，三棱柱的上底面A1B1C1的内切圆的圆心为O1，该圆与边B【详解】如图，设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面A1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O，则由球的几何知识得OO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径R、球

16、心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法（2）若直角三角形的两直角边为a,b，斜边为c，则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c12B【解析】连接、，即可得到，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【详解】解：连接、，是半圆弧的两个三等分点， ，且，所以四边形为棱形，故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.【详解】由于三角形是由个全等的

17、三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为.故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1460【解析】根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.【详解】因为，所以，则所求项的系数为.故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.15【解析】首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.【详解】解：且，即解得，即因为在区间上恒成立，解得即故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的

18、综合问题，属于基础题.16【解析】求导，研究函数单调性，分析，即得解【详解】由题意得，令，解得，令，解得.在上递减，在递增，而，故在区间上的最小值和最大值分别是故答案为：【点睛】本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）详见解析；（）详见解析；（）不需要调整安全教育方案.【解析】（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）

19、由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【详解】解：（）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.性别与合格情况的列联表为： 是否合格 性别 不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为, .的分布列为：20151050所以. （）由（）知： .故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、

20、数学期望和方差的计算，所以中档题.18（1）（2）直线恒过定点,详见解析【解析】（1）依题意由椭圆的简单性质可求出，即得椭圆C的方程；（2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标，同理可求出点的坐标，根据的坐标可求出直线的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标【详解】（1）由题有，.，.椭圆方程为.（2）设直线的方程为：，则或，同理，当时，由有.，同理，又，当时，直线的方程为直线恒过定点，当时，此时也过定点.综上:直线恒过定点.【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属

21、于难题19（1）；（2）.【解析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积【详解】（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），解得，1，1，（）由已知，可设直线方程为，联立得，易知0，则因为，所以1，解得联立 ，得，80设，则 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题 意在考查学生的数学运算能力20（1）；（2）吨，理由见解析【解析】（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，由题可得，代入，计算可得答