复数知识点归纳 2

1、- 复 数【学问梳理】一、复数的基本概念、虚数单位的性质i 叫做虚数单位,并规定: i 可与实数进行四就运算；2i1;这样方程x21就有解了,解为xi或xi2、复数的概念（1）定义：形如 a bi ,bR）的数叫做复数, 其中 i 叫做虚数单位, 叫做 ,b 叫做；全体复数所成的集合 C 叫做复数集；复数通常用字母 z表示,即 z a bi（a,b对于复数的定义要留意以下几点 : z a bi a,b）被称为复数的代数形式,其中 bi 表示 b 与虚数单位 i 相乘复数的实部和虚部都是实数 ,否就不是代数形式（2分类：满意条件 a,b 为实数 ai 为实数 . b=0复数的分类 +bi 为虚数

2、 . b 0+bi 为纯虚数 . a=0 且 0例题 :当实数 m 为何值时 ,复数 m5 m6m 23 m i是实数 .虚数 .纯虚数？二、复数相等abicdiac,bda,b,c,dR - - 也就是说,两个复数相等,充要条件是他们的实部和虚部分别相等留意 :只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否就无法比较大小例题 :已知xy3x4i0求x,y的值三、共轭复数abi与cdi共轭ac ,bda ,b ,c ,dRb2zabi_的共轭复数记作abi,且za2zz四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴 , y 轴叫做虚轴；明显,实轴上的点都

3、表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数；2、复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Za,b及平面对量OZa ,b a,bR是一一对应关系 （复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面对量相等的向量表示同一个复数例题：（1当实数 m 为何值时 ,复平面内表示复数z2 m8 m15 2 m5 m14 i的点位于第三象限；位于直线yx上2复平面内AB2 ,6,已知CD/AB,求 CD 对应的复数3、复数的模 :- - 向量 OZ 的模叫做复数zabi的模 , 记作 z 或abi,表示点a ,b到原点的距离b,即 zabia2b2,zzz 1z 2ac 2表示a,b

4、到c,d的距离 ,即z 1z2d2如z1abi,z2cdi,就例题 :已知z2i,求z 1i的值五、复数的运算（1运算法就：设z1=ai,2cdi, b,c,R如图给出 错误 . z 1z 2abicdiac bdiz 1z 2abi cdi acbdbcad iz 1abiabicdiacbdbcad iz2cdicdicdic2d2（2几何意义： 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法就进行的平行四边形Z1 可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即错误 . +错误 . ,错误 . =错误 . 错误 .未定义书签； .六、常用结论（1 i ,2i1,i3i,4i1i 的几次1求ni ,只需

5、将 n 除以 4 看余数是几就是例题 :i675（2） 1i22 i,1i22 i（3）13i31,13i3 2222【摸索辨析】判定下面结论是否正确 请在括号中打“ ” 或“ ” ）- - ）方程 x2+x+10 没有解 （2）复数 za+ia,bR中,虚部为b. 3复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小4原点是实轴与虚轴的交点. ）,也就是复数对应的向量的模5复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离【考点自测】1.（ 205安徽 ）设 i 是虚数单位 ,就复数 1-i +）等于 ）.33i . 1+3i C.3i D.12.215课标全国 已知复数 满意 z1i 1i,就

6、等于 A. -2i B.-2+i 2 D.+i3.在复平面内,复数 6+5i,-2+3对应的点分别为 A,B.如 C 为线段 AB 的中点 ,就点 C 对应的复数是 .48i B.8 2i C.2+ D. i4.已知 a,b ,i 是虚数单位 .如 ai=-b,就（ +b2等于（A -4i B.3 i C.-3i D4+3i5.已知 1 i错误 .未定义书签； 43i,就 _【题型分析】题型一复数的概念例 11设是虚数单位.如复数 =a-f10,3-aR是纯虚数,就a 的值为 A -.-1 .1 D.2已知 aR,复数 z12+, z2=12i,如z z2为纯虚数 ,就复数 错误 . 的虚部为

7、 ）A.1 .i .错误 .D.03）如 z1m 2+m1）+（m2m i mR,232i,就“m=1” 是“z2” 的 .充分不必要条件B.必要不充分条件- - C.充要条件 .既不充分又不必要条件引申探究1对本例（ 1中的复数 z,如 |=错误 .未定义书签； ,求 的值 .2.在本例 中,如z1 为实数 ,就 a_ _ _.思维升华 解决复数概念问题的方法及留意事项1复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应当满意的条件问题,只需把复数化为代数形式 ,列出实部和虚部满意的方程 不等式 组即可 .2解题时肯定要先看复数是否为 ai（ a,bR的形式 ,以确定实部和虚部 .1 如

8、复数 zx2-1x i 为纯虚数 ,就实数 x 的值为（A. - . C.1 D.1 或 12201 浙江 已知 i 是虚数单位, a,bR,就“=b1” 是“a+b2=i” 的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件题型二 复数的运算命题点 复数的乘法运算例 2 1 015 湖北 i 为虚数单位 ,i6的共轭复数为 A.i B. C. .1- - 2022 北京 复数 i2 -i）等于 12i B.-2i C.- 2i D.12i命题点 2 复数的除法运算例 3 1）（ 01湖南 已知 f（ i2,1+i 为虚数单位） ,就复数 等于（.1i 1-

9、 C. i D. 1i（错误 .未定义书签； ） 错误 .未定义书签； _.命题点 3 复数的运算与复数概念的综合问题例1） 215天津 i 是虚数单位,如复数1-2i a+i 是纯虚数 ,就实数 的值为 _22 14江苏 ）已知复数 5+2i命题点 4 复数的综合运算i 为虚数单位） ,就 的实部为 _ _.例 121安徽 设 i 是虚数单位 ,错误 . 表示复数 z 的共轭复数 .如 z=1i,就错误 .未定义书签；i 错误 . 等于 A. 2 B.2i C2 .i（2如复数 z 满意（ -4z=|4+3i|,就 的虚部为（.-4 B.错误 .未定义书签；C .错误 .未定义书签；思维升华

10、 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四就运算 ,可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作另一类同类项,分别合并即可 .2复数的除法 .除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 ,解题中要留意把 i 的幂写成最简形式 .- - （ 复数的运算与复数概念的综合题 ,先利用复数的运算法就化简 ,一般化为 abi ,b的形式,再结合相关定义解答 .）复数的运算与复数几何意义的综合题 .先利用复数的运算法就化简,一般化为 bia,bR的形式,再结合复数的几何意义解答（5复数的综合运算 .分别运用复数的乘法、除法法就进行运算 ,要留意运算次序,要

11、先算乘除, 后算加减,有括号要先算括号里面的 .12 5 山东 如复数 满意 错误 . i, 其中 i 为虚数单位 ,就 z 等于 A.1 B.+i 1-i D. -1+i） 错误 . 2 016_.（3） 错误 . +错误 .未定义书签；2 016=_.题型三 复数的几何意义例 6 1）2022重庆 实部为 -2,虚部为的复数所对应的点位于复平面的.第一象限B.其次象限C.第三象限.第四象限2 ABC 的三个顶点对应的复数分别为应的点为ABC 的 1,z2,3,如复数 z 满意 |z 1|z2=|z-z3|,就 z 对A. 内心垂心C.重心D外心要求某个向量对应的复数时,思维升华由于复平面内

12、的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. 1如图 ,在复平面内 ,点 A 表示复数 z,就图中表示z 的共轭复数的点是.B.B C.DD- - （2）已知 z 是复数, 2、 fz,2-）均为实数 应的点在第一象限 ,求实数 a 的取值范畴 .【思想与方法】解决复数问题的实数化思想i 为虚数单位 ,且复数 ai）2在复平面内对典例 已知 x,为共轭复数 ,且y）2-y 4-6,求 ,y. 思维点拨 1）,为共轭复数 ,可用复数的基本形式表示出来；（2利用复数相等 ,将复数问题转化为实数问题温馨提示1）复数问题要把握一点,即复数问题实

13、数化,这是解决复数问题最基本的思想方法.（）此题求解的关键是先把x、 y 用复数的基本形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常用的数学方法）此题易错缘由为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程2.复数 za+a,bR是由它的实部和虚部唯独确定的,两个复数相等的充要条件是复数问题 转化为实数问题的主要方法 .对于一个复数 z=abi a,b,既要从整体的角度去熟悉它,把复数看成一个整体 ,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去熟悉 .3.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三

14、角形法就,其方向是应留意的问题,平移往往和 加法、减法相结合 .- - 【失误与防范】1.判定复数是实数 ,仅留意虚部等于 0 是不够的 ,仍需考虑它的实部是否有意义2.两个虚数不能比较大小 .3留意复数的虚部是指在 abi （, 中的实数 b,即虚部是一个实数 .【巩固练习】1.015福建 如1i23i= abi,bR,i 是虚数单位） ,就,b 的值分别等于 ）.3,2 .3,2C.,3 .D.-1,42.设 z=错误 .未定义书签； i,就 |z|等于 A. 错误 .未定义书签；B.错误 . C.错误 . D.3.（ 215课标全国 如 a 为实数 ,且+ai a-2i- ,就 a 等于

15、 A. -1 B0 C.1 D2.如为虚数单位 ,图中复平面内点 Z 表示复数 z,就表示复数 错误 . 的点是 .F C. D.H52022 江西 ）错误.未定义书签； 是的共轭复数 ,如 z+错误. 未定义书签； =2,错误.未定义书签； i=2 （i 为虚数单位） ,就等于 A. i .-1 C.-+ D -i601江苏 设复数 满意 2=3+4（ i 是虚数单位 ,就 z 的模为 _.7.如 错误 .未定义书签； aa, b 为实数 ,i 为虚数单位 ,就 a+b _ _.8复数 i -（2 对应的点在第三象限内,就实数 的取值范畴是 _.9运算 :1 错误 . ;（2错误 .未定义书

16、签； ;（ 错误 .未定义书签； 错误 . ;）错误 .未定义书签； .- - 10复数 z1=错误 . 1-a2, z2=错误 .未定义书签； 2a-5i,如 错误 .未定义书签；1+z2 是实数 ,求实数 a 的值 .【才能提升】11.复数 z1, z2 满意 1=m（ 4-m2） i,z22cos +3 （ m, ,并且 z1,就 的取值范畴是 A. -1,1.错误 . C.错误 .未定义书签；D.错误 .未定义书签；12.设（ n错误 . n错误 . n（nN *,就集合 f（ n） 中元素的个数为 ）A.1 B. C.3 D. 很多个已知复数 z xyi,且 |z2| ）,就 错误

17、.未定义书签； 的最大值为 _ _. .设R,如复数 z错误 . 错误 .未定义书签； 在复平面内对应的点在直线 x 0 上,就的值为 _ _. .如 +r2i 是关于 x 的实系数方程 2bx+c=的一个复数根- ,就 b=_,c_ _- 【巩固练习参考答案】.23.B4.D.D. 6.错误 . . 7. 8.m错误 .未定义书签；.9.解 1错误 . =错误 .未定义书签； =-1 i2错误 . 错误 .未定义书签； 错误 .未定义书签； =错误 .未定义书签； =错误 . 错误 .未定义书签；i.3）错误 .未定义书签； 错误 .未定义书签； =错误 .未定义书签； 错误 .未定义书签；

18、 =+i2错误 .未定义书签；-.） 错误 .未定义书签； 错误 .未定义书签； =错误 . 错误 . =-错误 . 错误 . i.10.解z 1+z2=错误 .未定义书签； a-10i+ 错误 . 2a-5i= 错误 .未定义书签；+（ a 2-10） +a5i 3=a+ a-1 +a22a-15）错误 .未定义书签；1z2 是实数, a 2a15=,解得 =-5 或 a= .又（ a5a-1 0,a -5 且 a 1,故 a=3.11.解析 由复数相等的充要条件可得 错误 . 化简得 -4os sin ,由此可得 4co 3si 4= 1sn2-sin + sin23sin =4 错误 .未定义书签；2-错误 .未定义书签；,由于 sin ,1,所以 in23 n 错误 . . 答案 C2.解析 （n）=错误 . 错误 .未定义