高中数学选择性必修一 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（含答案）

1、2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典1.3空间向量及其运算的坐标表示（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：_注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1（2020全国课时练习）在空间直角坐标系中，已知，则直线AD与BC的位置关系是（ ）A平行B垂直C相交但不垂直D无法判定【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得向量和的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案.【详解】由题意，点，可得，又由，所以，所以直线AD与BC垂直.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间向量的数

2、量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2（2020全国课时练习）已知向量，若，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得，且，所以，所以，选C.【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现的平行关系，就可以简化运算，否则要设坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了3（2020全国单元测试）已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.ABCD【答案】A【解析】【分析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.【详解】因为在直

3、线上，故存在实数使得，来源:Zxxk.Com.若，则，所以，解得，因此点的坐标为.故选：A.【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.4（2018北京一零一中学双榆树校区高二期中）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】来源:Z.xx.k.Com【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果【详解】如

4、图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且故选C【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点P在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题处理5（2019浙江温州中学高三月考）在四面体ABCD中，为等边三角形，二面角的大小为，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】

5、【分析】以B为原点建立空间直角坐标系,根据关系写出各个点的坐标,利用平面和平面的法向量,表示出二面角的余弦值,即可求得的取值范围.【详解】以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系:因为为等边三角形，不妨设,由于,所以因为当时四点共面,不能构成空间四边形,所以则,由空间向量的坐标运算可得设平面的法向量为则代入可得令,则,所以设平面的法向量为则,代入可得令,则,所以二面角的大小为则由图可知,二面角为锐二面角所以因为所以即所以 故选:C【点睛】根据直线与平面夹角的特征及取值范围,即可求解,对空间想象能力要求较高,属于中档题.6（2020全国高二课时练习）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4

6、，BC1，AA13，已知向量a在基底下的坐标为(2,1，3)若分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为()A(2,1，3)B(1,2，3)C(1，8,9)D(1,8，9)【答案】D【解析】【分析】将向量a根据坐标先用向量，表示，再将，表示为，即可得新坐标.【详解】a23238ji9k(1,8，9)答案：D【点睛】本题主要考查了空间向量用不同的向量作基底的不同表示，涉及到了空间向量的线性运算，属于基础题.7（2019武冈市第二中学高一月考）如图，在三棱柱中，底面，则与平面所成角的大小为ABCD【答案】A【解析】【分析】建立空间坐标系，计算坐标，计算平面的法向量

7、，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，可得，故，而，设平面的法向量为，根据，解得，来源:Z_xx_k.Com.故与平面所成角的大小为，故选A【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难8（2019浙江省杭州第二中学高三月考）已知长方体中，空间中存在一动点满足，记，则（ ）.A存在点，使得B存在点，使得C对任意的点，有D对任意的点，有【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由题意可得各顶点的坐标，由，设的坐标为，可得、的取值范围都为，求出数量积，由的坐标的范围可得答案【详解

8、】以为轴，为轴，为轴，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，、，设点，所以，因为，所以，恒成立，故C正确，A不正确；，令，则，矛盾，所以B不正确；恒成立，所以D不正确.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数量积的大小比较，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9（2020全国课时练习）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）A BC D平面的法向量和平面的法向量互相垂直【答案】BC【解析】【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

9、，写出各点坐标，利用向量的数量积为，分别判断A ，B，C选项；求出平面的法向量，由得出D错误【详解】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设折叠前的等腰直角三角形的斜边，则，则，.从而有，故A错误；，故B正确；，故C正确；易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则即令，则，故，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，考查空间向量的应用，属于中档题10（2020福建三明高二期末）（多选题）如图，在长方体中，以直线，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A点的坐标为B点关于点对称的点为C点关于直线对称的点为D点关于平面对称的点为【答案】AC

10、D【解析】【分析】由已知可得各点坐标，由对称性可判断各选项的真假【详解】根据题意知：点的坐标为，选项A正确；的坐标为，坐标为，故点关于点对称的点为，选项B错误；在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确；点关于平面对称的点为，选项D正确；故选：ACD.【点睛】本题考查空间直角坐标系，属于基础题11（2020全国高二课时练习）（多选）已知单位向量，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的有（ ）.A已知，则B已知，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值C已知，则D已知，

11、则三棱锥的表面积【答案】BC【解析】【分析】根据“仿射”坐标的定义逐项判断即可.【详解】 因为，且，所以，故A错误；如图所示，设，则点在平面上，点在轴上，由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，故C正确；由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误.故选：BC.【点睛】新定义概念题，考查对新概念的理解能力以及运算求解能力，基础题.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12（2020陕西大荔高二期末（理）已知向量，则在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】来源:学.科.网Z.X.X.K根据向量投影的计算公式，计算出在方向上的投影.【

12、详解】依题意在方向上的投影为.【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.13（2020全国高二课时练习）已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由，根据与的夹角为钝角，由且求解.【详解】因为，所以，因为与的夹角为钝角，所以且，由，得，所以.若与的夹角为，则存在，使，即，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14（2018安徽合肥一中高三一模（理）棱长为的正方体如图所示，分别为直线上的动点，则线段长度的最小值为_【答案】【解析】【分析】【详解】分

13、析：先建立空间直角坐标系，再求AF,BG的公垂线段的长度即得解.详解：建立如图所示的空间直角坐标系，设则由.所以来源:Z&xx&k.Com故答案为点睛：（1）本题主要考查空间直角坐标系的计算，考查异面直线上两点的最短距离，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)解答本题的关键是联想到坐标法，如果已知有垂直等关系便于建立直角坐标系时，用坐标法解答解题效率比较高.四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15（2020全国高二课时练习）已知在空间直角坐标系中，.（1）求；（2）若点M满足，求点M的坐标；（3）若，求.【答案】（1），；（2）；（3）16.【解析】【分析】先由点的坐标求

14、出各个向量的坐标，再按照空间向量的坐标运算法则进行计算即可.【详解】（1）因为，所以.所以，又所以，又所以.（2）由（1）知，若设M(x，y，z)，则于是，解得，故（3）由（1）知，.【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.16（2018黑龙江道里哈尔滨三中高三三模（文）矩形ABCD中，P为线段DC中点，将沿AP折起，使得平面平面ABCP求证：；求点P到平面ADB的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（）推导出BPAP，从而BP平面ADP，由此能证明BPAD（）以P为原点，PA、PB为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系Pxyz，利用向量法能求出点P到平面ADB

15、的距离【详解】，则有，满足，平面平面ABCP，平面平面平面ADP，平面ADP，以P为原点，PA、PB为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，0，0，0，则0，0，设平面ABD的法向量y，则，取，得1，点P到平面ADB的距离【点睛】本题考查线线垂直的证明，点到平面的距离的求法和空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（2020河南中原郑州一中高三开学考试（理）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，、分别是、的中点，点在线段上，且.（1）求证：不论取何值，总有；（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）

16、建立空间直角坐标系，表示出，然后计算，进行判断可得结果.（2）分别计算平面，平面的一个法向量，然后使用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，.（1），.，因此，无论取何值，；（2）当时，平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设为平面与平面所成的锐二面角，则.因此，平面与平面所成二面角的余弦值是.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，重在计算，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属中档题.18（2020全国高二课时练习）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.【答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【解析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结