数形结合思想在初中教学中的应用

1、PAGE 第 PAGE 6 页 共 NUMPAGES 6 页数形结合思想在初中教学中的应用内容摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。关键词：数形结合思想 初中数学教学 应用 “数”和“形”是数学中两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数

2、与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。华罗庚教授曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”由此可见，数形结合的巧与妙，数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得数量关系与空间形式珠联壁合，相映生辉。因此在数学教学中注重渗透这一思想，引导学生要善于将数与形巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断地感悟中开阔和发展思维，为有效地解决问题奠定良好的基础一、实数与数轴上的点的对应关系是数与形的最初碰撞数轴的引入为数与形的结合打开了一扇大门，它是实数内容体现数形结合思想的有力证明。“数”与“形”是对立统一

3、的，借助于数轴，可以把抽象的实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的。例1、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 = 。分析：利用数轴的直观性可知，结合实数绝对值的几何意义易得，此题很好地体现了数形结合在解题中的直观性与简明性，同时也彰显了了数轴的工具作用，充分体现了实数与数轴的完美结合。二、方程与数轴的有机结合是数与形的再次碰撞数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。例2、已知数轴上两点A、B对应的数分别为1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；数轴

4、上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？分析：如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA。依题意，3x=x（1），解得x=1由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。P在点A左侧，PA=1x，PB=3x依题意，（1x）+（3x）=5，解得 x=1.5P在点B右侧，PA=x（1）=x+1，PB=x

5、3依题意，（x+1）+（x3）=5，解得 x=3.5点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A。P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。设运动t分钟，此时P对应的数为t，B对应的数为320t，A对应的数为15t。B未追上A时，PA=PA，则P为AB中点。B在P的右侧，A在P的左侧。PA=t（15t）=1+4t，PB=320t（t）=319t依题意有，1+4t=319t，解得 t=B追上A时，A、B重合，此时PA=PB。A、B表示同一个数。依题意有，15t=320t，解得 t=即运动或分钟时，P到A、B的距离相等。方程与数轴的有

6、机结合数与形的再次碰撞，让我们再次感受到数轴的优越性。三、不等式（组）的解集蕴含数与形的结合例3、已知关于的不等式组的整数解只有3和4，求和的取值范围分析：由，得；由，得因为原不等式组有解，所以其解集应为又因为它只有3和4两个整数解，所以借助如图所示的数轴分析，可知只能在2和3之间取值，只能在4与5之间取值又由于解集中不含等号，所以的值可以取2，但不能取3，而的值可以取5，但不能取4，否则整数解就不是只有3和4了，所以，所以 2 5由此可见，利用数轴将不等式（组）的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到整数解的个数有多少个，数形结合更能深刻地反映不等式（组）解集的几何意义。四、应用题的解

7、答借助数与形的结合例4、甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小时，求两人的速度。分析：这是一道已知条件相对复杂的应用题，将数与形结合起来，借助图形进行分析，就会变得直观、清楚多了。A、B所走的路程可用下图表示：从图中可清楚地看到，A、B两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的3倍，即等量关系为：A走的路程 + B走的路程 =233。如果设B每小时走千米，则A每小时走千米，由于两人途中

8、都停留了一段时间，A实际走小时，B实际走小时，由此就不难列出方程：，得出，由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带来方便，它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，两者之间的互助与联通能开辟出解题捷径，是一种有效的解题策略。五、函数诠释数与形的完美结合例5、若方程 （0）的两根满足：1，13，求的取值范围。分析：画出与方程对应的二次函数 （0）的草图： 由图可知：当=1时，0； 当=3时，0.即 0 ； 0.解得：1.例6、若关于的不等式 的解只有一个，求的值。解：如图：在同一坐标系内，作出与的图象。题设条件等价于抛物线在直线与之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直

9、观性质可知：这个交点只能在直线上，故方程组 仅有一组解。 即 对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。六、构造几何图形求代数式的最值问题“以形助数”例7、已知、均为正数，且。求的最小值。在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角形利用勾股定理进行处理。如图作线段，在上截取，过点作,且使得,过点作,且使得。这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到,，所以本题中求解的问题实质上就是求这两个直角三角形的斜边长之和最小。在图形中延长至点，使得,连接 ，由三角形两边之和大于第三边可知当三点共线时，最短。所以最小值就是线段的长度。下面求解，延长至点，使得且，连接，此时构出一个直角三角形即，在这个直角三角形中,所以的最小值为。可见,挖掘代数式的几何意义,数形结合起到了鬼斧神工的妙用。因此在教学中要有意识地去体现和解释数学知识中抽象概念和形象事物之间的联系，提高学生的数学思维，促使学生对概念的认识从感性上升到理性