四边形的旋转及翻折

1、- -一正三角形类型在正 ABC 中,P 为 ABC 一点, 将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋转60 0,使得 AB 与 AC 重合； 经过这样旋转变化,将图 1-1-a中的 PA、 PB、PC 三条线段集中于图1-1-b中的一个PCP 中,此时 PAP 也为正三角形；例 1. 如图：1-1：设 P 是等边 ABC 的一点, PA=3 , PB=4,PC=5, APB 的度数是 _.二正方形类型 在正方形 ABCD 中, P 为正方形 ABCD 一点,将 ABP 绕 B 点按顺时针方向旋转 90 0,使得 BA 与 BC 重合；经过旋转变化,将图2-1-a中的 PA、PB、PC 三条线段集

2、中于图2-1-b中的 CPP中,此时 BPP为等腰 直角三角形；例 2.如图 2-1：P 是正方形 ABCD 一点,点 P 到正方形的三个顶点A、B、C 的距离分别为PA=1 ,PB=2,PC=3；求此正方形ABCD 面积； 8 - word.zl- - -三等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ABC 中, C=Rt , P 为 ABC 一点,将 APC 绕 C 点按逆时针方向旋转90 0,使得AC 与 BC 重合；经过这样旋转变化,在图3-1-b中的一个 PCP 为等腰直角三角形；例 3如图,在 ABC 中, ACB =90 0,BC=AC ,P 为 ABC 一点,且 PA=3 ,PB=1 ,

3、PC=2；求 BPC 的度数；平移、 旋转和翻折是几何变换中的三种根本变换；所谓几何变换就是依据确定的法那么,对给定的图形 或其一局部 施行某种位置变化,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系这类实体的特点是：结论开放,注重考察同学的推测、探究才能；便于与其它学问相联系,解题敏捷多变,能够考察同学分析问题和解决问题的才能在这一理念的引导下,近几年中考加大了这方面的考察力度,特殊是 2022 年中考, 这一局部的分值比前两年大幅度提高；- - word.zl- -为帮忙宽阔考生把握好平移,旋转和翻折的特点,奇妙利用平移,旋转和翻折的学问来解决相关的问题,下面以近几年中考题为例说明其解法,供大家参

4、考；一平移、旋转 平移：在平面,将一个图形沿某个方向移动肯定的距离,这样的图形运动称为平移“ 肯定的方向称为 平移方向,“ 肯定的距离称为平移距离；平移特点：图形平移时,图形中的每一点的平移方向都一样,平移距离都相等；旋转：在平面,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原先相等的图形,这样的图形运动 叫做图形的旋转,这个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫做旋转角旋转特点：图形旋转时,图形中的每一点旋转的角都相等,都等于图形的旋转角；例 1如图,将 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转60o后得到 AB C ,且C 为BC 的中点,那么CD:DB =A1:2 B 1: C1: D1:3 点评：

5、 本例考察敏捷运用旋转前后两个图形是全等的性质、等边三角形的判定和含 30o角的直角三角形的性 质的才能,解题的关键是发觉 AC C 是等边三角形二、翻折翻折：翻折是指把一个图形按某始终线翻折180o后所形成的新的图形的变化；翻折特点：平面上的两个图形,将其中一个图形沿着一条直线翻折过去,假如它能够与另一个图形重合,那 么说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是对称轴；解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的,弄清翻折后不变的要素；翻折在三大图形运动中是比拟重要的,考察得较多另外,从运动变化得图形得特殊位置探究出一般的结论或者从中获得解题启示,这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重

6、要的,值得大家留 意；例 2如图,将矩形ABCD 沿 AE 折叠,假设 BAD 30 ,那么 AED 等于- - word.zl- -A30B45C 60D 75点评 ：本例考察敏捷运用翻折前后两个图形是全等的性质的才能,解题的关键是发觉EAD=EAD ,AED =AED 点评 ：图形沿某条线折叠,这条线就是对称轴,利用轴对称的性质并借助方程的的学问就能较快得到计 算结果；由此看出, 近几年中考, 重点突出, 试题贴近考生, 贴近中学数学教学,图形运动的思想图形的旋转、翻折、平移三大运动 都一一考察到了 因此在平常抓住这三种运动的特点和根本解题思路来指导我们的复习,将是一种事半功倍的好方法；平

7、移与旋转实际上是一种全等变换,由于具有可操作性,因而是考察同学们动手才能、观看才能的好素 材,也就成了近几年中考试题中频繁显现的容；题型多以填空题、运算题出现；在解答此类问题时,我们通 常将其转换成全等求解；依据变换的特点,找到对应的全等形,通过线段、角的转换到达求解的目的；例 1：如图,直角梯形 ABCD 中, AD BC,ABBC,AD=2 ,BC=3,将腰 CD 以 D 为中心,逆时针旋 ADE 的面积是转 90 至 ED ,连结 AE、CE,那么- - word.zl- -A 1 B 2 C 3 D 不能确定点评：明确ADE 的边 AD 上的高的概念不要误写成 DE ,作梯形高是常见的

8、解题方法之一；变式题 1：如图,ABC 中 AB=AC , BAC =90 ,直角 EPF 的顶点 P 是 BC 中点,两边 PE,PF 分别交 AB、AC 于点 E、F,给出以下五个结论：1AE=CF 2 APE= CPF3 EPF 是等腰直角三角形4EF=AP 5S 四边形 AEPF =S ABC 2,当EPF 在 ABC 绕顶点 P 旋转时点 E 不与 A、B 重合上述结论中始终正确的序号有例 2 D 、E 为 AB 的中点,将ABC 沿线段 DE 折叠,使点 A 落在点 F 处；假设 B=50 ,那么 BDF= 点评：几何变换没有可套用的模式,关键是同学们要善于多角度、多层次、多侧面地

9、摸索问题,观看问题、分析问题；变式题 2：如图,矩形纸片ABCD ,AB=2 , ADB=30 ,将它沿对角线BD 折叠使ABD 和 EBD 落在同一平面那么A、E 两点间的距离为- word.zl- - -旋转具有以下特点：1图形中的每一点都围着旋转中心旋转了同样大小的角度；2对应点到旋转中心的距离相等；3对应角、对应线段相等；4图形的外形和大小都不变；利用旋转的特点,可奇妙解决许多数学问题,如 一.求线段长 .例：如图,长方形ABCD 的周长为 20,AB=4 ,点 E 在 BC 上,且AE EF,AE=EF ,求 CF 的长；二.求角的大小例:如图, 在等边 ABC 中,点 E、D 分别

10、为 AB、BC 上的两点, 且 BE=CD ,AD 与 CE 交于点 M,求AME 的大小；三.进展几何推理例：如图,点F 在正方形 ABCD 的边 BC 上, AE 平分 DAF ,请说明 DE=AF-BF成立的理由；- - word.zl- -数学思想是解数学题的精华和重要的指导方法,在平移和旋转中的应用也相当的广泛,一般可以归结为两 种思想对称的思想和旋转的思想,详细的分析如下： 1 、对称的思想：在平移、旋转、对称这些概念中,对称这一概念特别重要 .它包括轴对称、旋转对称、中 心对称 .对称是一种种要的思想方法,在解题的应用特别广泛 . 例： 观看图中所给的图案,它可以看成由哪个较根本

11、的图形经过哪些运动变换产生的？它是不是轴对称图 形？旋转对称图形？中心对称图形？分析：这是一个涉及轴对称平移、旋转的综合性例子；解题思路主要通过直观观看取得；这个图案较根本的图形是正方形,一个小正方形沿对角线方向平移一个对角线长、两个对角线长后得一正方形串,然后在串的轴线上找一点O 为旋转中心,旋转三个90 后得到题目中给出的图案,整个过程如下图；这个图形是轴对称、旋转对称.中心对称图形；方法探究 ：这里的较根本图形也可以看成线段；一线段经平移、旋转后得一正方形,然后重复上面的过程；2、旋转的思想：旋转也是图形的一种根本变换,通过图形旋转变换,从而将一些简洁的平面图形按要求旋 转到适当的位置,

12、使问题获得简洁的解决,它是一种要的解题方法；例：如图,正方形 ABCD 一点 P,PAD PDA15 ,连结 PB、PC,请问： PBC 是等边三角形吗？为 什么？- - word.zl- -1如图,ABC 是等腰直角三角形,BC 为斜边,将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与ACP 重合,假如AP=3 ,恳求出 PP 的长A PP2如图,在ABC 中, BAC=120 ,以 BC 为边向形外作等边三角形BCBCD , ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转 60 后得到ECD ,假设 AB=3 , AC=2 ,求 BAD 的度数与 AD 的长AC- word.zl-E- - -3如图,点O 是等

13、边ABC 一点, AOB=110 , BOC=将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转60得 ADC ,连接 OD 1试说明：COD 是等边三角形；SAPB202 cm,SCDQ30 cm2,那么 S 阴2当=150 时,试判定AOD 的外形,并说明理由；3探究：当为多少度时,AOD 是等腰三角形？4. 如图在 ABCD 中, E、F 分别是 AD 、BC 边上的任意两点,影 = ；- BAFEQDPC- word.zl- -5.如图,在 ABCD 中, E、F 是对角线 BD 上的两点, BEDF,点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上,且 AGCH,连接 GE、EH 、HF、FG求证

14、：四边形GEHF 是平行四边形EF 并延长,分别与BA、6.如图,在四边形ABCD 中, AB=CD ,点 E、F 分别是 BC、AD 的中点,连接CD 的延长线交于点 M、N,那 么 BME=E 不 需 证 明 小明的思路是：在图 1 中,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HE、HF,依据三角形中位线定理,证明HE=HF ,从而1= 2,再利用平行线性质,可证得BME= E 1：如图 2,在四边形 ADBC 中,AB 与 CD 相交于点 O,AB=CD ,E、F 分别是 BC、AD 的中点,连接 EF ,分别交 DC 、AB 于点 M、N,判定OMN的外形,请直接写出结论； 2：如图

15、3,在ABC中, ACAB, D 点在 AC 上, AB=CD ,E、 F 分别是 BC、AD 的中点,连接EF 并 延 长 , 与 BA 的 延 长 线 交 于 点 G , 假 设 EFC=60, 连 接 GD , 判 断 AGD 的 形 状 并 证- - word.zl- -明7.如图,在 ABC 中, AB=AC ,AD 是 ABC 的角平分线,点O 位 AB 的中点,连接DO 并延长到点E,使OE=OD ,连接 AE、 BE 1求证：四边形AEBD 是矩形；AEBD 是正方形,并说明理由- word.zl-2当ABC满意什么条件时,矩形- - -8. 如图,平行四边形ABCD 中, A

16、BAC ,AB1,BC5对角线 AC,BD相交于点 O ,将直线AC 绕点 O 顺时针旋转,分别交 BC,AD 于点 E,F1证明：当旋转角为 90 时,四边形 ABEF 是平行四边形；2试说明在旋转过程中,线段 AF 与 EC 总保持相等；3在旋转过程中, 四边形 BEDF 可能是菱形吗？假如不能,请说明理由； 假如能,说明理由并求出此时 AC绕点 O 顺时针旋转的度数A F D O B E C BD；9.在 ABC 中, AB=AC ,BAC= 0 60 ,将线段 BC 绕点 B 按逆时针方向旋转60 得到线段- - word.zl- -1如图 1,直接写出ABD的大小用含 的式子表示 ；2如图 2, BCE=150