高中数学一轮复习课件-等比数列及其前n项和

1、等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q0).1.等比数列的概念同一个(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2_.ab(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an_；通项公式的推广：anamqnm.2.等比数列的通项公式及前n项和公式a1qn1已知an是等比数列，Sn是数列a

2、n的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akal_.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为_.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为_.3.等比数列的性质amanqmqn常用结论解(1)在等比数列中，q0.(2)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a1时，Snna.(4)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列.C解当n1时，a1S13b，当n2，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1，当b1时，a12适合an23n

3、1，an为等比数列.当b1时，a1不适合an23n1，an不是等比数列.2.设bR，数列an的前n项和Sn3nb，则()A.an是等比数列B.an是等差数列C.当b1时，an是等比数列D.当b1时，an是等比数列解易知S2，S4S2，S6S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6S4)(S4S2)2，即4(S66)22，所以S67.3.(2021全国甲卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若S24，S46，则S6()A.7 B.8 C.9 D.10A解A，B显然是正确的；4.(多选)若an是公比为q(q0)的等比数列，记Sn为an的前n项和，则下列说法正确的是( )A.若a10，0q1，则an为递

4、减数列B.若a10，0q1，则an为递增数列C.若q0，则S4S62S5ABD解设公比为q，则ana1qn1，5.(2022百校大联考)已知在等比数列an中，a1a3a118，则a2a8_.4解当q1时，a37，S321，符合题意；6.(易错题)已知在等比数列an中，a37，前三项之和S321，则公比q的值是_.考点等比数列基本量的运算D解设等比数列an的公比为q，因为数列an的各项均为正数，所以a10，且q0，故A，B正确；由q22q30，解得q3或q1(舍)，ABD莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn.3.(2022亳州模拟)九章算术中有述：今有蒲生一日，长三尺，

5、莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是_.(结果精确到0.1.参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()A.2.9天 B.3.9天 C.4.9天 D.5.9天C感悟提升考点等比数列的判定与证明解易知q1，由题意可得例1 Sn为等比数列an的前n项和，已知a49a2，S313，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解假设存在常数，使得数列Sn是等比数列，S11，

6、S24，S313，1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.感悟提升证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，所以2an1an1，2(an11)an1，又a1a11，训练1 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.角度1项与和的性质考点等比数列的性质及应用解析log9a1log9a2log9a10log9(a1a10)(a2a9)(a3

7、a8)(a4a7)(a5a6)log9955，故选B.例2 (1)若等比数列an的各项均为正数，且a1a109，则log9a1log9a2log9a10()B(2)(2021济南模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若S101，S307，则S40_.解等比数列an的前n项和为S101，S307，S10、S20S10、S30S20、S40S30成等比数列，即1、S201、7S20、S407成等比数列，(S201)21(7S20)，解得S203或S202(舍)，所以1、2、4、S407成等比数列，所以S4078，解得S4015.15(3)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项

8、的和大80，则公比q_.解由题设，S偶S奇80，S2n240.2A.S2 021S2 022B.a2 021a2 02310C.T2 022是数列Tn中的最大值D.数列Tn无最大值角度2等比数列的最值AB故0q1，且a2 0211，0a2 0221，故S2 022S2 021，A正确；T2 021是数列Tn中的最大值，CD错误.故选AB.(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.解公比不为1的等

9、比数列an满足a5a6a4a78，a5a6a4a74，由a2am4，2m5611，解得m9.训练2 (1)公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a78，若a2am4，则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.11B(2)(2021长沙检测)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S82S45，则a9a10a11a12的最小值为()A.25 B.20 C.15 D.10解在正项等比数列an中，Sn0，因为S82S45，则S8S45S4，易知S4，S8S4，S12S8是等比数列，所以(S8S4)2S4(S12S8)，B因为a9a10a11a12S12S8，所以a9a10a11a12的最小值为2

10、0.数列中的创新问题读懂题意，将其转化为数列问题，根据条件可将其转化为有规律等差或等比数列问题，解此类题的关键是找到其规律.A.54 B.18 C.9 D.6解奇数构成的数阵，令2n12 021，解得n1 011，故2 021是数阵中的第1 011个数，A则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1 035个奇数，所以2 021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增的，且共有45个奇数，所以2 021位于第45行，从左到右第21列，所以i45，j21，解对于A，(n)a0a1ak，2n020a021a122ak12kak2k1，所以(2n)0a0a1ak(n)，A正确；对于B，取n2，则2n37120121122，(7)3，而2020121，则(2)1，即(7)(2)1，B错误；(2)(多选)(2021新高考卷)设正整数na020a12ak12k1ak2k，其中ai0，1(i0，1，k)，记(n)a0a1ak，则( )A.(2n)(n)B.(2n3)(n)1C.(8n5)(4n3)D.(2n1