高中数学选择性必修一 第01章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）（含答案）

1、第一章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1（2020春和平区期中）已知空间向量（3，1，3），（1，1），且，则实数（）AB3CD6【解答】解：，可设k，解得k故选：A2（2020春点军区校级月考）在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（）A1B1CD【解答】解：如图，PABC为正四面体，则APCBPCAPB60，E是棱AB中点，所以，所以（）121，故选：A3（2020春点军区校级月考）设x，yR，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，4，2），且，则|（）ABC3D4【解答】解：设x，yR，向量（x，1，1），（1，y，1），（

2、2，4，2），且，解得x1，y2，（1，1，1）+（1，2，1）（2，1，2），|故选：C4（2019秋焦作期末）在ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点，若，则a，b的值分别为（）ABCD【解答】解：取AD的中点为G，连接GE由已知得GECD，所以DFEG，又因为D是GB的中点，所以F是BE的中点，所以a，b故选：A5（2019秋榆树市期末）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）ABC或D2【解答】解：向量，与的夹角余弦为，cos，解得故选：A6（2020山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一

3、个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A20B40C50D90【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O，OO垂直于纬线所在的圆面，由图可得OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又OAO为40且OAAH，在RtOHA中，OAOH，OHAOAO40，故选：B7（2019秋龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且，用表示向量的结果是（）ABCD【解答】解：M是D1

4、D的中点， 故选：D8（2020茂名二模）已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB则下列命题中正确的有（）平面PAB平面PAE；PBAD；直线CD与PF所成角的余弦值为；直线PD与平面ABC所成的角为45；CD平面PAEABCD【解答】解：PA平面ABC，PAAB，在正六边形ABCDEF中，ABAE，PAAEA，AB平面PAE，且AB面PAB，平面PAB平面PAE，故成立；AD与PB在平面的射影AB不垂直，不成立；CDAF，直线CD与PF所成角为PFA，在RtPAF中，PA2AF，cosPFA，成立在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，故成立CDAF平面PAF

5、，平面PAF平面PAEPA，直线CD平面PAE也不成立，即不成立故选：B二多选题（共4小题）9（2019秋连云港期末）已知点P是ABC所在的平面外一点，若（2，1，4），（1，2，1），（4，2，0），则（）AAPABBAPBPCBCDAPBC【解答】解；A.22+40，因此正确B.（2，1，4）+（1，2，1）（3，3，3），3+6360，AP与BP不垂直，因此不正确C（4，2，0）（2，1，4）（6，1，4），|，因此正确D假设k，则，无解，因此假设不正确，因此AP与BC不可能平行，因此不正确故选：AC10（2019秋南通期末）设，是空间一个基底（）A若，则B则，两两共面，但，不可能共面C

6、对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使D则，一定能构成空间的一个基底【解答】解：由，是空间一个基底，知：在A中，若，则与相交或平行，故A错误；在B中，两两共面，但，不可能共面，故B正确；在C中，对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使，故C正确；在D中，一定能构成空间的一个基底，故D正确故选：BCD11（2019秋建邺区校级期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，1，4），（4，2，0），（1，2，1）下列结论正确的有（）AAPABBAPADC是平面ABCD的一个法向量D【解答】解：对于A，2（1）+（1）2+（4）（1）0，即APAB，A正确；对于

7、B，（1）4+22+（1）00，即APAD，B正确；对于C，由，且，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出，则D错误故选：ABC12（2019秋菏泽期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点则（）ACDANBBDPCCPB平面ANMDDBD与平面ANMD所在的角为30【解答】解：A显然错误；若BDPC，由BDPA，则BD平面PAC，则BDAC，显然不成立；C、PBAN，又PBNM，可得到C成立；D、连接DN，因为PB平面ADMN，所以BDN是BD与平面ADM

8、N所成的角在RtBDN中，所以BD与平面ADMN所成的角为30成立；故选：CD三填空题（共4小题）13（2019秋房山区期末）设是直线与平面所成的角，则角的取值范围是0，【解答】解：是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值，角的取值范围是0，故答案为：0，14（2019秋温州期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴的对称点为A（1，2），那么，在空间直角坐标系中，B（1，2，3）关于x轴的对称轴点B坐标为（1，2，3），若点C（1，1，2）关于xOy平面的对称点为点C，则|BC|【解答】解：在空间直角坐标系中，B（1，2，3）关于

9、x轴的对称轴点B坐标为（1，2，3），若点C（1，1，2）关于xOy平面的对称点为点C，则C（1，1，2），|BC|故答案为：（1，2，3），15（2020杨浦区一模）已知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2cm2，则母线与底面所成角的大小为【解答】解：由圆锥侧面积公式Srl1l2，解得l2，设母线与底面所成角为，则cos，故答案为：16（2020春和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为4【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1a

10、，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），故，设平面ACD1的一个法向量为，则，可取，故，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，解得a4故答案为：4四解答题（共5小题）17（2020长春四模）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABDC，BAD90，点E为PB的中点，且CD2AD2AB4，点F在CD上，且（）求证：EF平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，PAPD且PAPD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值【解答】解：（）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在PAB中，ME为一条中位线，则，又由题意有，故，四边形DFEM为平行四边形，EFDM，又EF平

11、面PAD，DM平面PAD，EF平面PAD；（）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，由平面PAD平面ABCD，且PNAD，平面PAD平面ABCDAD，可知PN平面ABCD，又ADNH，故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PBF的一个法向量为，则，可取，又，故，直线PA与平面PBF所成角的正弦值为18（2020沙坪坝区校级模拟）如图，四棱台ABCDA1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD平面ABB1A1，AB2A1B12，AA12，（1）求证：DCAA1；（2）若二面角BCC1D的二面角的余弦值为，求AD的长【解答】解：（1）

12、取AB中点E，连接B1EAEA1B1，且AEA1B1，所以四边形AEB1A1为平行四边形，所以B1EAA12，BE1，所以，则BEB1E，所以AA1AB，又平面ABCD平面ABB1A1，所以AA1平面ABCD，所以DCAA1；（2）由（1）知AA1AD，设AD2a（a0），建系如图，则A（0，0，0），B（0，0，2），C（2a，0，2），D（2a，0，0），C1（a，2，1），故，设平面CC1D的法向量，则，可取，设平面BCC1的法向量，则，可取，所以，由二面角BCC1D的二面角的余弦值为，得，解得a2，所以AD419（2019秋清远期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形

13、，DAB45，PD平面ABCD，APBD（1）证明：BC平面PDB，（2）若AB，PB与平面APD所成角为45，求点B到平面APC的距离【解答】解：（1）证明：PD平面ABCD，BC在平面ABCD内，BD在平面ABCD内，PDBC，PDBD，又APBD，APPDP，且AP，PD均在平面APD内，BD平面APD，又AD在平面APD内，BDAD，又底面ABCD为平行四边形，BCBD，又PDBDD，且都在平面PBD内，BC平面PDB；（2）由（1）知，PB与平面APD所成角即为BPD，故BPD45，又AB，DAB45，AP2+PC2AC2，即APCP，又VPABCVBPAC，即，解得，即点B到平面A

14、PC的距离为20（2020安徽模拟）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BCPD，PBBCCD2，PD4，A为PD的中点，将ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点（1）若M为PD的中点，证明：平面PCD平面ABM；（2）若PC，试确定M的位置，使二面角MABD的余弦值等于【解答】解：（1）证明：由题意，ADBC，且ADBC，故四边形ABCD是平行四边形，又PBBCCD2，PD4，PBA是正三角形，四边形ABCD是菱形，取AB的中点E，连接PE，CE，易知ABC是正三角形，则ABPE，ABEC，又PEECE，AB平面PEC，ABPC，取PC的中点N，连接MN，BN，则MNCDAB，即A，B，

15、N，M四点共面，又PBBC2，则BNPC，又ABBNB，PC平面ABM，又PC在平面PCD内，平面PCD平面ABM；（2），PEEC，又ABPE且ABEC，则可以EB，EC，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设，则，易知平面ABD的一个法向量为，设平面MAB的一个法向量为，又，则可取，由题意，解得2，故DM2MP21（2019秋扬州期末）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCAAA12，点O为AB中点，点D为AA1中点（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数的值【解答】解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCA，取A1B1的中点O1，连接OO1，则OO1AA1，