分析力学三二

1、四、地球表面的引力 人造卫星问题：对于靠近地球表面的物体， 成立？关键：地球此时是否可看作质点？显然：此时地球不能再当成质点。高斯定理 均匀球体对球外一点的力和整个球体的 “作用荷”集中在球心上时对这一点所 施的力相同。 “作用荷” ：电荷(对库仑力)；质量(对万有引力) 1库仑力、万有引力：均为平方反比力故：由高斯定理所得的结论对地球也成立。此时：地球 质量均匀分布的球体 地球与地球表面的物体可用万有引力定律： ( ：地球的质量； ：地球的半径)讨论：2人造卫星：飞船以什么速度环绕地球飞行成为人造卫星？ (第一宇宙速度 )飞船以什么速度摆脱地球引力而飞入太空？ (第二宇宙速度 ) 3先求v2

2、 = ?设：初始时刻 (相切发射)末了时刻：飞船飞到无穷远处，此时E 0。 E = 0：临界条件由 4得求v1 = ? 此时E 0 (束缚运动)5几何关系：a 越小，E 越小；a 的最小值：R06用E表示v1：7第三宇宙速度的计算1. 二体系统：太阳+卫星(或火箭)；质心系：太阳为 质心(静止) 卫星的单体运动仿照第二宇宙速度的计算，有得到 卫星逃离太阳系所应具有的最小速率8 在此，地球是当作质点(无所谓自转)，还是当作刚体？92. 地球公转所具有的速率=29.8(公里/秒)，卫星逃离地 球时，只要具有对地球的速率 =12.4 (公里/秒)，就 可达到卫星逃离太阳系所具有的最小速率。3. 对于

3、卫星逃离地球(地球+卫星：两体问题)的过程， 在相对于太阳静止的惯性系看来： 地球与卫星之间有相互作用(内力)，此相互作用会改变地球与卫星各自的动能、动量。具体来说，对卫星：从相对于地球的发射速率(第三宇宙速率) 变化到12.4(公里/秒) (在太阳看来，卫星速率的变化： 29.8 + 29.8 + 12.4=42.2)10对地球：在太阳看来，地球的速率会从29.8 (公里/秒)经历一个微小的变化，但其动能或动量的变化可观，可对此进行计算。 对于卫星逃离地球的过程，在质心系 (质心系相对于上面提到的惯性系的速率：29.8公里/秒牵连速度)看来：地球与卫星组成二体系统；质心为地心(地球相对于质心

4、静止) 卫星的单体运动 于是，在质心系中，对卫星有以下方程11而因此 卫星相对于地球以16.7(公里/秒)的速率出发，逃离地球时速率变为12.4(公里/秒)，再加上地球公转速率(29.8公里/秒)，最后得到相对于太阳的速率(42.2公里/秒)，从而可以逃逸出太阳系。12上一节：研究的问题归纳为 轨道 (有限运动) 力 (平方反比引力)具体：宏观物体的位置随时间变化的规律、万有引力 定律现在：研究微观粒子在有心场中的运动(碰撞、散射 问题)宏观物体与微观粒子运动的异同点1. 相同点：都遵循有心力场中运动的一般规律132. 相异点：对宏观物体，研究碰撞问题两个质点 先相互飞近，然后在飞开； 对微观

5、粒子，研究散射问题平行飞来的粒子束和“靶”中的粒子碰撞而散开到不同方向上。 对单个射弹粒子和单个靶粒子是碰撞问题，对粒子束和“靶”为散射问题，即束流中不同的粒子会被同一固定的靶粒子散射到不同的方向。 这两者之间有联系！14散射问题关心：射弹粒子被散射到不同方向的概率 是多少？不关心：射弹粒子被散射到什么方向。1.3.4 碰撞与散射 卢瑟福公式一、瞄准距离定义：如果两个质点从相互远离的地方飞拢，然后再 飞开叫碰撞。15质心系： 两个质点的质心系(质心系在此为惯性系)实验室系：观察两个质点中的一个在碰撞前静止不 动的参考系靶： 静止不动的质点 射弹： 从远处飞来和靶相碰的质点设：两质点m1、m2，

6、其中 m1 射弹，m2 靶 在远离m2处，m1匀速运动：v1，动量：p116 散射过程示意图1 由图：瞄准距离大，散射角小 瞄准距离小，散射角大 (为什么？)17定义：瞄准距离b v1所在直线的延长线和m2之间 的垂直距离实验室系：碰撞前系统动量 碰撞后系统动量 与 之间的夹角散射角质心系： 碰撞前系统动量 碰撞后系统动量 与 的夹角 18质心系中： 动量守恒 能量守恒或 碰撞前后的各个动量的大小都相等 19 散射过程示意图2 20瞄准距离b不同， 不同(或 不同)，即 它们决定于m1、m2 之间的相互作用力F(r)。二、散射截面1. 散射：用一束动量同为p1的射弹射靶。在和靶 相互作用之前，

7、射弹形成平行的束流。在和靶 相互作用后，它们以不同的角度飞开射弹 束流在靶上的散射。21 散射过程示意图3 22 散射过程示意图3 23 散射过程示意图4 在此讨论的散射问题具有轴对称性 24 散射过程示意图4 252. 微分散射面 射入 方向的立体角 中的粒子数 来自于通过靶面 上的粒子当 一定时， 与b的关系是一一对应的。设：J入射流强(单位时间内通过垂直束流运动 方向的平面上单位面积的粒子数)则： 粒子被散射到 方向的几率又26关于 的说明(1) 几何意义对应于立体角 的入射束截面积 面积量纲来源于J：粒子数/(单位时间单位面积)；(2) 由射弹和靶之间的相互作用决定；(3) 散射有效截

8、面。27 被散射到 方向的单位立体角中粒子 的几率(量纲：面积量纲，来源于 )三、 粒子的散射 卢瑟福公式 散射实验 物质的微观结构卢瑟福：用 粒子束撞击非常薄的金箔(厚度= ) 通过 粒子的散射实验，卢瑟福提出原子的 有核模型。28 粒子：两个质子 + 两个中子，带电：+2e 射弹靶：金属的原子核，带正电Ze：(Z：原子序数)库仑力：近似处理：金属原子核质量比 粒子质量大得多 金属原子核静止 (有心力场中的单体问题)比较： 和 29 以前讲的有关公式可用 粒子的运动轨道： (在此： ， 不取为0)其中 30E：入射粒子的能量， ：入射粒子的角动量 (因靶静止，所以二体系统能量=入射粒子能量)

9、设： 粒子远离力心时的速度，则 (能量守恒) (角动量守恒)说明(1)轨道方程中的 为极轴和极点与轨道某一点连线 之间的夹角。粒子散射前的方向沿双曲线的一条渐 近线，该方向正好沿着平行于极轴正方向的方向。31散射后(射弹粒子远离靶粒子，即无穷远处)的方向沿 角方向(双曲线的另一渐近线)。根据散射角 的定义，此角正好为散射角。为了将轨道方程中的极角与散射角区分，在此用了两种符号。(实际上，在无穷远处： )(2) 积分常数 的几何意义因为 当r最小时，有 ，于是 ， 即 为极点到双曲线短半轴和双曲线一支的交点的连线与极轴(z轴)反方向之间的夹角。32现在要做的事：由轨道方程 散射粒子的去向 粒子的

10、运动轨道：由 得散射前：粒子远离靶，即散射后：粒子远离靶，即33 的计算：满足由散射前 得： 散射后 ，所以由即34散射后的角度 可测得，因而由上式可得 又 35 瞄准距离与散射角的关系进一步，对上式微分，得到“”：瞄准距离越大，散射角越小。物理上：b越大， 粒子离靶的距离远，受作用较小， 36运动方向改变得小。 由瞄准距离与散射角的关系可以确定 的值，即可确定粒子被散射到什么地方。但，散射问题不是问：射弹粒子被散射到什么地方？而是问：射弹粒子被散射到不同方向的几率是多大？ (散射问题的提法)此时要求解的是微分散射截面 3738微分散射截面的计算： 进入圆环(b,b+db)的粒子被散射到以靶为

11、中心的极角在 到 ， 在0 到 的立体角 (与 无关) 中 环带所张的立体角，此时由 射到圆环上的粒子数为微分散射截面为39总散射截面：不管入射粒子的瞄准距离有多大，都会被散射卢瑟福公式或40推导卢瑟福公式的另一种方法已知：(1) 有心力场中，轨道的微分公式 其中： 为矢径r与矢径r+dr之间的夹角，dr：r的增量 (2) 对 粒子散射实验，有 则41其中： 的值由能量守恒与角动量守恒定律确定，即42由此得到而 ，所以43由微分散射截面公式，得到上式即为卢瑟福公式。44说明：大到行星，小到原子，它们运动规律的分析都 基于有心力场 (特别是平方反比有心力场)的运 动规律。思考题：卢瑟福怎样根据粒

12、子散射实验提出原子的有 核模型？四、实验室系和质心系 前面的分析：假设靶保持不动(靶质量和射弹粒子质量相差很大时)，此时，实验室系和质心系的区别消失(实际上是单体运动)。 45一般情况：二体运动，需要考虑这两种参考系的区别。 在碰撞过程中，动量守恒在质心系、实验室的表示如下。质心系： 动量守恒 能量守恒46 碰撞过程中，两个粒子的速度大小 不变，只是改变了方向。47实验室系：已知 v1，v2 = 0 设： 第一个粒子碰后速度方向的单位矢量 (质心系中的散射方向)则质心系对实验室系的速度为 48由 得碰前 (质心系) ：碰后(实验室系) ： 49碰后动量： 其中 为约化质量观察： 中均含 、 和

13、(实验室系)50上两式可用几何图形表示： 以o点为圆心， 为半径作一个圆，水平方向：入射方向， 的方向作矢量： ， (质心系中，所在直线OC交圆于C)51显然：AO、OB沿水平方向，且B点在圆周上。由 的表达式设： 质心系中的散射角 实验室系中的散射角易得， 与 的关系讨论：1. ：碰后的粒子可沿任意方向运动 522. ：碰后的粒子在实验室系中的运动受限制最大散射角：有实验室系碰前： 射弹的能量 靶粒子的能量53碰后： 靶获得的能量由前面的图： 越大，BC越大 越大当 时，即 (舍去0) b=0 (两个粒子对头相碰后原路返回)此时：能量转移最大转移的最大能量 54 越小，能量转移越大解释：核反

14、应堆中采用含轻核多的物质作中子减速剂 (中子的能量最大程度地转移给轻核) 射弹粒子的能量全部转移给靶粒子， 自己停下来(实验室系)。 55五、 粒子散射实验结果及分析 粒子的初速度：结果：多数 粒子穿进金箔 散射角 1/8000的粒子反弹回来 散射角原子模型(1) 葡萄干面包模型： 原子中正电荷均匀分布在原子球体内，电子镶嵌在其中。原子如同西瓜，瓜瓤好比正电荷，电子如同瓜籽分布在其中。该模型还进一步假定，电子分布在分离的同心环上，每个环上的电子容量都不相同，如下图。 5657 粒子穿进带正电荷球体内部所受斥力大小为 当 (原子半径)时，F的值不可能太大，这样 不会出现大角度散射，即不会有 。 (2) 原子有核模型 由 及 ，得余切函数图58卢瑟福的原子模型：“行星” 模型59有1/8000几率的大角度散射： b更小 (散射角更大) 粒子打入原子中心附近区域，受到很大斥力 大部分粒子的散射角 ，说明b较大时受到 的力很小 金属中的正电荷集中在半径小于 的小范 围内 (原子有核模型)说明：在计算散射截面时的假定(1)原子核前后不互相遮挡；(2) 粒子只经过一次散射60六、硬球散射见理论物理基础教程P5253七、量子散射理论见理论物理基础教程P48349561补充说明：物理公式 物理量是通过描述自然规律的方程式或定义新