高中数学人教A版高中必修1第一章集合与函数概念-描点法Plus

1、描点法Plus教学设计成都树德中学 邓连康一、教学内容解析1. 本课的地位与作用函数是贯穿整个高中数学的核心内容，而函数图象是函数的主要表达方式，所以函数图象及图象的应用在高中数学中占有很重要的地位。函数图象是函数概念及其性质的重要内容，也是为后续学习函数的零点、方程的根、解不等式等内容打下基础。2. 本课内容剖析本节课主要是讨论怎么作出复杂函数图象。函数图象本身是由点构成，所以描点法是基础。连点成线的过程中，线怎么连是本节课主要讨论解决的问题。进而需要确定函数的性质，利用函数性质，结合描点法作函数图象是本节课的重点内容，即描点法升级版，称之为描点法Plus二、学生学情分析本节课授课对象是高一

2、年级学生。学生已知的函数图象是：一次函数、二次函数、反比例函数的图象。作函数图象的基本方法是描点法。对常用函数的图象和性质比较熟悉，在通过这段时间对函数的学习，可以探究部分函数的一般性质，比如单调性，最值，奇偶性。还没有经历过画出一个稍微复杂函数的图象，独立画出复杂函数图象还是有很大困难。三、教学目标设置1.教学目标：利用函数性质结合描点法作出函数图象，构建函数图象作图的一般步骤。2.目标解析：（1）描点法是函数作图基本方法。随着高中数学的深入学习，需要作出更加准确的函数图象。除了分析函数的单调性、值域、奇偶性等性质，还需要分析特殊点、特殊线等特殊性质。再结合描点法作出函数图象。（2）研究函数

3、的性质比较困难，通过学生独立分析，老师引导，利用所学知识研究函数性质。（3）利用函数性质作图过程中，注意函数图象的特殊线、特殊点，这是本节课的难点。通过学生自主探究，相互讨论，数值计算等方式让学生认识渐近线。四、教学策略分析本节课的教学策略主要采用问答式、自主探究的教学方式。因为每位同学的知识、能力不同，认识问题的习惯和特点也不同，所以本节课的部分教学过程不是封闭的、静态的，而是动态的、开放的。充分发挥学生的主观能动性，调动学生探索未知的积极性，有利于学生学习探究能力的发展。五、课前准备教具:多媒体（投影仪）、PPT课件、翻页笔、希沃手机助手，直尺。学具:草稿本、直尺、铅笔、画图和演示用的A4

4、纸。课前思考：已知，需要画出函数的图象，你有哪些思考，请结合你的思考画出函数图象。六、教学过程结合以上分析,本课的教学环节拟分为三环节,教学流程及大致时间分配如下：诗与远方（4分钟）数学与思（30分钟）数学与诗（6分钟）教学内容师生活动设计意图数学与诗诗情画境猜一猜：每个图象分别对应哪一句诗？华罗庚教授数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。老师：同学们，高中的学习生涯已经拉开帷幕，我们学习函数也有一段时间了，请回想我们主要学习了函数的哪些知识？学生：函数三要素：定义域，对应关系，值域；函数性质：单调性，最值，奇偶性。老师：在学习函数

5、的相关概念时，为了更好的理解概念，常用三种语言表示概念，还记得三种语言是指哪三种语言？学生：图形语言，文字语言，符号语言。老师：非常好。数学概念的学习过程，实际上是图形语言、文字语言，符号语言互相转化和内化的过程。三种语言各有特点。我们牙牙学语的时候就开始接触文字语言，中国的语言文化更是沉淀了几千年，并且积累了大量的经典文学著作。我们熟悉的唐代诗人王之涣的名作登鹳雀楼就是其中之一。老师：诗句以文字语言向读者表达情境，数学老师我分别用四个数学图象表达四句诗中的意境，请同学们猜一猜每个图象分别对应哪一句诗？学生：很快指出第三句和第四句对应的图象，第一二句可以稍作讨论。老师：以上四个数学图象能够将诗

6、句中的意境直观的表达。每一组图象，都是先已知解析式，再作出相应的图象。例如，看到熟知的高斯函数，请回想它的图象是怎样画出来的？学生：高斯函数本质上是分段函数，写出分段函数的解析式（PPT展示分段函数解析式），然后作出图象。老师：那第一句和第二句对应的函数图象又是怎样画出来？学生：不清楚。老师：这两个函数我们都还没有学习，所以现在还不能回答这个问题。但是作出函数图象，结合解析式在研究函数性质、方程、不等式等问题中有着重要的作用。这正是数形结合思想。数学家华罗庚教授还专门作了一首诗。老师：既然数形结合如此好，那这节课就先探究函数的形，即：函数图象怎么画？让学生感受图象表达的直观性。说明探究函数图象

7、作图的必要性，为下一个环节做铺垫。（二）数学与思探究1：课前思考：已知，若要画出函数图象，你有哪些思考，请结合思考画出函数图象。描点法函数性质+描点法问题分析函数解析式，判断函数图象是否关于轴对称？奇偶性：偶函数。问题：分析函数解析式，判断函数图象在是不是下降的？写出分析过程。单调性与最值：在单调递减，无最小值问题：，函数图象在下降，函数图象是一直在轴上方，还是穿过轴？数值计算：23456710100渐近线：函数图象：问题：在上，函数图象下降的速度由快到慢，下降速度的快慢又与函数的什么性质有关？探究1小结描点法Plus老师：课前给同学们布置了思考问题，同学们都完成了吗？左侧板书：1、学生：完成

8、了。老师：我们一起看看这几位同学的完成的情况。展台展示：展示四位学生的函数图象。老师：首先不谈图象的对与错，我们先看看图象是否规范：注意：关注：作图工具；坐标轴及原点标识，平滑曲线连点等。老师：同学们再来看看这四位同学画对了吗？学生：不知道/不确定/对了。老师：数学是理学，有严密的分析过程，就能得到准确的结论。下面就请这几位同学说一说他们怎么画出这个函数图象的。学生：用描点法画出的函数图象。老师：很好，描点法是作图的基本方法。还有其他的思考吗？学生：先描点法作出一些特殊的点，然后再分析函数性质，结合性质再作出函数图象。老师：这位同学先分析函数性质，再结合描点法作出函数图象，你为什么想到要去分析

9、函数性质呢？学生：比如说如果知道函数的单调性，就可以知道函数图象是上升还是下降。（若学生回答较困难，老师可以引导）（老师：比如说知道函数的单调性，就可以知道函数图象的什么特点？学生：图象是上升还是下降）老师：回答的非常好，知道函数的性质可以知道函数图象有什么特点。刚才看到同学们画的函数图象都是关于轴对称的，那首先就来检验这个图象特点是否正确，请同学们完成以下问题。性质1：奇偶性问题分析函数解析式，判断图象是否关于轴对称？学生：是的。老师：你是通过函数什么性质判断的？学生：是偶函数。老师：你又是怎样判断是偶函数的？学生：定义法。右侧板书：，偶函数。老师：很好！定义法是判函数奇偶性的基本方法，说明

10、同学们基本概念很清楚。还有不同的方法吗？学生：奇偶性的运算。老师：非常好，奇偶性运算法也是非常重要而且好用的方法。老师：通过分析，函数图象是关于轴对称的。老师：既然函数图象关于轴对称，我们就可以只研究轴右侧的函数图象怎么画。即只需要画出函数在上的图象。研究范围就缩小一半，作图也就更加的简单。性质2：单调性与最值老师：再看看这几位同学们的图象，在轴右侧都是下降的。接下来就检验这个图象特点正确与否，请同学们完成以下问题。问题：分析函数解析式，判断函数在的图象是不是下降的？写出分析过程。学生：是。老师：你是通过函数的什么性质判断的？学生：单调性，函数在上单调递减。老师：你又是怎么判断函数在上单调递减

11、的？学生：定义法。老师手机拍照展示，学生简述。（或者学生说老师板书）老师：很好，定义法是判函数单调的基本法。还有不同的方法吗？学生：复合函数法。老师手机拍照展示并点评，学生简述，老师简评（或者学生说老师板书）。老师：非常好，复合函数能够判断一些复杂函数的单调性，是判断函数单调性的常用方法。虽然方法不同，但是都得到同一个结论。PPT展示：在单调递减老师：清楚了函数的单调性，就可以顺其自然的得到函数的另一个重要性质，是什么性质？学生：函数最大值，最小值。PPT展示：，无最小值老师：同学们分析了函数的奇偶性，单调性，最值。再看看这几位同学画的函数图象草图大致对了吗？学生：分析，判断出哪些是与性质明显

12、矛盾的，哪些是与性质完全符合的，并且检验自己的图象。但是，图象在下降，图象是否穿过轴是学生的困惑点。性质3：渐近线老师：到此时此刻，同学们再次看到这几个函数图象，心中还有无困惑？学生1：有，函数图象在下降，函数图象是一直在轴上方，还是穿过轴呢？老师：这个问题很好。请同学们共同讨论回答这个问题。学生2：没有。老师：老师我有一个困惑，已知，函数图象在下降，为什么函数图象是一直在轴上方，而不是穿过轴？请同学们互相讨论回答问题。问题：，函数图象在下降，函数图象是一直在轴上方，还是穿过轴？学生1：，所以图象一直在轴上方（右侧板书）学生2：，方程无解，所以图象与轴无交点，且一直在轴上方（右侧板书）。老师：

13、回答正确，而且非常妙的用了数形结合思想。正如华罗庚教授说的“形少数时难入微，数形结合百般好”，同学讨论了函数值和零的大小关系（或方程是否有根），知道了函数图象一直在轴上方。老师：并且通过具体的数值计算，当增大时，函数值渐渐接近于零，但是永远不等于零。PPT展示：数值计算：23456710100老师：这说明随着增大，函数图象无限靠近轴，且永不相交。此时称：轴，即：是函数图象的渐近线。用几何画板画出函数图象如下。PPT展示：老师：同学们看到这个函数图象，还有困惑吗？学生1：有：函数图象下降的速度由快到慢，而不是由慢到快。图象下降的速度快慢又与函数的什么性质有关呢？老师：这个问题非常好，同学观察的很

14、细致。但这个问题需要我们有更多的知识积累才能回答，如果有提前学习导数相关知识的同学，可以在课后探究。学生2：没有。老师：我们从图象中还看到，函数图象下降的速度由快到慢，而不是由慢到快。图象下降的速度快慢又与函数的什么性质有关呢？问题：在上，函数图象下降的速度由快到慢，下降速度的快慢又与函数的什么性质有关？学生：不知道。老师：这个问题需要我们有更多的知识积累才能回答，若有提前学习导数相关知识的同学，可以在课后探究。探究1小结老师：以前我们常观察函数图象研究函数性质。今天我们先研究函数性质，再以描点法为基础，结合函数性质作出函数图象。这就是描点法的升级版，即：描点法Plus。根据以上的过程，用思维

15、导图总结描点法Plus作图的步骤如下。PPT展示：通过对课前的思考，作图，以及这里再次对问题深入探究，让学生体会仅用描点法作图的局限性。进而通过研究函数性质，通过性质再去作函数图象，体会描点法的升级版。探究2：已知，按描点法Plus作图步骤画出函数图象：分析并写出函数的性质，结合函数性质画出函数图象。函数图象：老师：实践是检验真理的唯一标准。接下来请同学们独立完成下面的探究2。学生：研究函数性质，并写出过程，然后再结合描点法作出函数图象。学生：首先分析函数的奇偶性，得到函数是奇函数学生：接着分析函数的单调性，可能用定义法，和复合函数法两法。若大部分学生一开始就选择定义法，因为定义法的有计算的难

16、度，老师可适当引导学生用复合函数法。老师：用展台按描点法Plus作图步骤顺序直播学生分析过程和画图过程。四位同学每位同学直播一个完整的阶段，大致分为对称性、单调性与最值，渐近线，作图四个阶段。并拍照最后的结果。PPT展示：一位同学的分析过程和作出的函数图象。老师：我们一起看看这位同学的解答。并且请这位同学讲解整个分析性质和作图过程。学生：上讲台，根据自己的作图过程讲解。学生分析函数性质结果：（1）（2）是奇函数（3）在单调递增，在单调递减，无最小值（4）渐近线：注意：若学生对于函数性质回答的很全面，则进入几何画板展示阶段。若学生可能回答不全面（渐近线），让其他同学进行补充。老师：同学完成的非常

17、好。函数奇偶性、单调性、最值很清楚，而且分析出了函数有渐近线。最终作出了图象。最后用我们几何画板作图检验。PPT展示：几何画板作出的函数图象老师：看来同学们已经能画出一些复杂函数的函数图象，已经完成了这节课的学习目标，把最热烈的掌声送给你们自己。检验学生对描点法Plus的掌握情况。有一定的困难。能够运用描点法Plus作出函数图象是本节课的重要目标。（三）思与远方课堂小结：函数作图方法草图不草函数草图不草率定义性质先挂帅冷静细致有慢快切记点线要装怪老师：学海无涯，学无止境。作函数图象，除了今天学习的“描点法Plus”之外，今后还要学习“图象变换法”PPT展示：思维导图：函数图象的作法：（1）描点法Plus，（2）图象变换法老师：最后我们用一首诗