高中数学人教A版高中必修4第三章三角恒等变换-第2讲　三角恒等变换与解三角形

1、第2讲三角恒等变换与解三角形真 题 感 悟 1.(2023全国卷)已知eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，2sin 2cos 21，则sin () f(1,5) f(r(5),5) f(r(3),3) f(2r(5),5)2.(2023全国卷)在ABC中，cos eq f(C,2)eq f(r(5),5)，BC1，AC5，则AB() r(2) r(30) r(29) r(5)3.(2023全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2eq r(2)，求BC.4.(2023全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a

2、，b，c，已知asin eq f(AC,2)bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围.考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan()eq f(tan tan ,1tan tan ).(2)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)辅助角公式：asin xbcos xeq r(a2b2)sin(x)，其中tan eq f(b,a).2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)

3、正弦定理在ABC中，eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin Aeq f(a,2R)，abcsin Asin Bsin C等.(2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos Aeq f(b2c2a2,2bc).(3)三角形面积公式SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin B.热点一三角恒等变换及应用【例1】 (2023江苏卷)已知，为锐角，tan eq f(4,3)，cos()eq f

4、(r(5),5).(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值.【训练1】 (1)已知sin eq f(r(5),5)，sin()eq f(r(10),10)，均为锐角，则等于() f(5,12) f(,3) f(,4) f(,6)(2)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(4,5).求sin()的值；若角满足sin()eq f(5,13)，求cos 的值.热点二正弦定理与余弦定理角度1利用正(余)弦定理进行边角计算【例21】 (2023郑州调研)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且as

5、in Bbcos A0.(1)求角A的大小.(2)若a2eq r(5)，b2，求ABC的面积.【迁移1】 将第(2)问的条件变为“若a2eq r(5)且SABC4”，试求bc的值.【迁移2】 若第(2)问的条件“a2eq r(5)”保留，删去条件“b2”，试求ABC面积的最大值.【训练2】 (2023河南八市联考)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，边c上的高为eq f(abcos C,c)，ab2eq r(2).(1)求角C的大小；(2)若ABC的周长为22eq r(2)，求边c的长.角度2正、余弦定理的实际应用【例22】 如图，小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿

6、直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到，参考数据：eq r(2)，eq r(5).【训练3】 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为()(eq r(6

7、)eq r(2)米 r(6)米 r(2)米 (eq r(6)eq r(2)米热点三与解三角形相关的交汇问题【例3】 已知向量aeq blc(rc)(avs4alco1(cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)，sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)，b(sin x，eq r(3)sin x)，f(x)ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若feq blc(rc)(avs4alco1(f(A,2)1，a2eq r(3)，求ABC面积的最大值并说明此时ABC的形状.【训练4】 (2023

8、天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sineq blc(rc)(avs4alco1(2Bf(,6)的值.A级巩固提升一、选择题1.(2023全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为() 2.(2023长郡中学质检)若coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3)，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，则sin 的值为() f(4r(2),6) f(4r(2),6) f(7,18) f(r(2),3)3.(2023全国卷)A

9、BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为eq f(a2b2c2,4)，则C() f(,2) f(,3) f(,4) f(,6)4.(2023全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos Aeq f(1,4)，则eq f(b,c)() 5.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，发现A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测得B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为() r(6)海里 r(6)海里(1eq r(3)海里 海里二、填空

10、题6.(2023全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.7.(2023全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_.8.(多填题)(2023浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上.若BDC45，则BD_，cosABD_.三、解答题9.(2023江苏卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a3c，beq r(2)，cos Beq f(2,3)，求c的值；(2)若eq f(sin A,a)eq f(cos B,2b)，求sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,2)的值.10.如图ABC中，D为BC的中点，AB2eq r(13)，AC4，AD3.(1)求边BC的长；(2)点E在边AB上，若CE是BCA的角平分线，求BCE的面积.B级能力突破11.(2023衡水中学联考)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，abc3，且csin Acos Basin Bcos Ceq f(r(3),2)a，