2021-2022学年九年级数学北师大版上册《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练【含答案】

1、2021年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定同步优生辅导训练1如图，在正方形ABCD中，AB4E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（）AB2CD22下面说法：三角形的三条高交于同一点；面积相等的两个正方形全等；两条射线不相交就平行；同位角相等其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个3如图，在正方形ABCD中，AB2，P是AD边上的动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF的值为（）A4B2CD24如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG

2、，则HG的长为（）A2B4CD5如图，在正方形ABCD内有一点P，若AP4，BP7，DP9，则APB的度数为 6如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，MEBC于E，MFCD于F，则EF的最小值为 7已知，如图，在RtABC中，E是两锐角平分线的交点，EDBC，EFAC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形8如图，ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OEOD，连接AE，BE（1）求证：四边形AEBD是矩形（2）当ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由9如图，在ABC中，C90，A、B的平分线交于点

3、D，DEBC于点E，DFAC于点F求证：四边形CFDE是正方形10如图，P是矩形ABCD内一点，APBP于点P，CEBP于点E，BPEC求证：四边形ABCD是正方形11已知：如图RtABC中，ACB90，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F求证：四边形CEDF是正方形12如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且ACCFEF，AEB15（1）求ACF的度数；（2）证明：矩形ABCD为正方形13如图，在ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AFBD，连接BF（1）求证：BDCD；（2）如果A

4、BAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；（3）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）14如图：已知：AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？15如图：已知在ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F（1）求证：BEDCFD；（2）若A90，求证：四边形DFAE是正方形16如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，E90，EDEC求证：四边形DFCE是正方形17如图，正方形ABCD的

5、对角线AC与BD交于点O，过点C作CEBD，过点D作DEAC，CE与DE交于点E求证：四边形OCED是正方形18如图所示，在ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD，等边ACE、等边BCF（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）当ABC满足 条件时，四边形DAEF是矩形；当ABC满足 条件时，四边形DAEF是菱形；当ABC满足 条件时，四边形DAEF是正方形；当ABC满足 条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在19已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE（1）求证：AECE；（2）若将ABE沿AB

6、翻折后得到ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论答案1解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，四边形ABCD是正方形，ABCDBC4，ABCD，C90，AEMGDM，EAMDGM，M为DE的中点，MEMD，在AEM和GDM中，AEMGDM（AAS），AMMG，AEDGABCD，CGCD2，点N为AF的中点，MNFG，F为BC的中点，CFBC2，FG2，MN，方法二：故选：C2解：三角形的三条高所在直线交于一点，故说法不符合题意；因为正方形的面积是边长的平方，所以面积相等的两个正方形边长相等，且四个角又是直角，所以是全等图形，故说法符合题意；两条不在同一平面的直

7、线不相交但不一定平行，故说法不符合题意；两直线平行，则同位角相等，故说法不符合题意，所以正确的是，1个，故选：A3解：在正方形ABCD中，OAOB，OAD45，PEAC，PFBD，四边形OEPF为矩形，AEP是等腰直角三角形，PFOE，PEAE，PE+PFAE+OEOA，正方形ABCD的边长为2，OAAC故选：C4解：延长GF交AB于P，过H作MNCD于M，交AB于N，四边形ABCD是正方形，ABCD，BCCD，MNAB，四边形DEFG是正方形，FGCD，FGHMBC，H是BF的中点，PNBNCMGMCG1，HN是BFP的中位线，HNFP1，MH514，RtGHM中，由勾股定理得：GH，故选：

8、D5解：四边形ABCD为正方形，ABC90，BABC，BAP绕点A逆时针旋转90可得ADE，连接PE，由旋转的性质得，EDBP7，AEAP4，PBE90，AEDAPB，APE为等腰直角三角形，PEAP4，AEP45，在PED中，PD9，ED7，PE4，DE2+PE2DP2，PED为直角三角形，PED90，AED90+45135，APB135，故1356解：连接MC，如图所示：四边形ABCD是正方形，C90，DBC45，MEBC于E，MFCD于F，四边形MECF为矩形，EFMC，当MCBD时，MC取得最小值，此时BCM是等腰直角三角形，MCBC63，EF的最小值为3；故37证明：过E作EMAB，

9、AE平分CAB，EFEM，EB平分CBA，EMED，EFED，EDBC，EFAC，ABC是直角三角形，CFECDEC90，四边形EFDC是矩形，EFED，四边形CDEF是正方形8（1）证明：点O为AB的中点，OAOBOEOD，四边形AEBD是平行四边形，ABAC，AD是BAC的角平分线，ADBC，ADB90，平行四边形AEBD是矩形；（2）当BAC90时，矩形AEBD是正方形理由：BAC90，ABAC，AD是BAC的角平分线，ABDBAD45，ADBD，由（1）得四边形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形9证明：如图，过点D作DNAB于点N，C90，DEBC于点E，DFAC于点F，CDECDF

10、C90，四边形CFDE是矩形，A、B的平分线交于点D，DEBC于点E，DFAC于点F，DNAB于点N，DEDN，DNDF，DFDE，矩形CFDE是正方形10证明：四边形ABCD是矩形，ABC90，即ABP+PBC90，APBP，ABP+PAB90，PBCPAB，CEBP，APBBEC90，在ABP与BCE中，ABPBCE，ABBC，矩形ABCD为正方形11证明：CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，DFC90，DEC90，又ACB90，四边形DECF是矩形，DEDF，矩形DECF是正方形12解：（1）四边形ABCD为矩形，ADBC，D90，DAGAEB15，CFEF，FCEAEB15，

11、AFCFCE+AEB30，ACCF，FACAFC30，ACF18OFACAFC120；（2）由（1）知DAG15，FAC30，DACDAG+FAC45，D90，ACDDAC45，ADCD，矩形ABCD为正方形13（1）证明：AFBC，AFEECDE是AD的中点，DEAE，在AEF与DEC中，AEFDEC（AAS），AFDC，AFBD，BDCD；（2）四边形AFBD为矩形；证明：AFBD，AFBD，四边形AFBD为平行四边形，ABAC，BDDC，ADBC，BDA90，四边形AFBD为矩形；（3）ABAC，且BAC90；证明：ABAC，且BAC90，ABC45，ADBC，BAD45，ADDB，四边

12、形AFBD为正方形14解：（1）证明：DEAC，DFAB，DEAF，DFAE，四边形AEDF是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），EAFEDF（平行四边形的对角相等）；又AD是ABC的角平分线，EADEDA（平行四边形的对角线平分对角），AEDE（等角对等边），四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）由（1）知，四边形AEDF是菱形，当四边形AEDF是正方形时，EAF90，即BAC90，ABC的BAC90时，四边形AEDF是正方形15证明：（1）DEAB，DFAC，BEDCFD90ABAC，BCD是BC的中点，BDCDBEDCFD（2）DEAB，DFAC，A

13、EDAFD90A90，四边形DFAE为矩形BEDCFD，DEDF四边形DFAE为正方形16解：四边形ABCD是正方形，FDCDCF45，E90，EDEC，EDCECD45，FCEFDEE90，四边形DFCE是矩形，DECE，四边形DFCE是正方形17证明：CEBD，DEAC，四边形CODE是平行四边形，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，ODOC，DOC90，四边形CODE是正方形18（1）证明：ABD和FBC都是等边三角形，BDBA，BFBC，DBAFBC60，DBAFBAFBCFBA，DBFABC在ABC和DBF中，ABCDBF（SAS），ACDFAE，同理ABCEFC，ABEFAD

14、，四边形ADFE是平行四边形；（2）解：当A150时，四边形DAEF是矩形，理由是：ABD、ACE是等边三角形，DABEAC60，DAE360606015090，四边形DAEF是平行四边形，四边形DAEF是矩形，故答案为A150；当ABC满足ABACBC时，四边形DAEF是菱形，理由是：由（1）知：EFBAAD，DFACAE，ABAC，ADAE，四边形DAEF是平行四边形，四边形DAEF是菱形，故ABACBC当ABC满足BAC150，且ABACBC时，四边形DAEF是正方形，理由如下：由得：当BAC150时，四边形DAEF是矩形；当ABAC时，由（1）得：EFABAD，DFACAE，ABAC，ADAE，四边形DAEF是平行四边形，四边形DAEF是菱形，四边形DAEF是正方形故BAC150，ABAC；当BAC60时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；理由如下：BAC60，BADCAE60，点D、A、E共线，以D、A、E、F为