广东省河源市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

广东省河源市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x∣|x|<2}，B={x∣y=ln(a−2x)}，且A．-4 B．-2 C．2 D．42．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，且复数A．3−i B．3+i C．−3−i D．−3+i3．已知平面向量a，b满足a=(1A．π6 B．π4 C．π34．如图所示，一款网红冰激凌可近似地看作是圆锥和半球的组合体，将圆锥外的包装纸展开发现，它是一张半径为6的半圆形纸片，则这个冰激凌的体积为（）A．27π B．18π+93π C．36π+935．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin138∘，A．3 B．33 C．−3 6．在数列{an}中，a1=1A．18 B．19 C．20 D．217．(x−2y−1)5A．−120 B．60 C．−60 D．308．已知函数f(x)=xsinx+cosx+12x2，若A．c>a>b B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c二、多选题9．潮汐现象是由于海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，根据安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），已知某港口在某季节的某一天的时刻x（单位：小时）与水深f(x)（单位：m）的关系为：f(x)=2sinπA．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hB．18时潮水起落的速度为−C．该货船在2：00至4：00期间可以进港D．该货船在13：00至17：00期间可以进港10．如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点A．直线BB1与平面B．直线CD与平面α不可能垂直C．△AD．三棱锥B1−11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的图象关于x=1对称，当x∈(0，1]时，A．f(x)的周期为2 B．f(2023)=−1C．f(x+1)是偶函数 D．f(x)的值域为[−112．已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y=14xA．若|PF|=5，点P的坐标为(4B．直线y=x−1与C不相切C．P到直线y=x−2的距离的最小值为2D．若P，F三、填空题13．某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[40，50)，[50，60)，[60，14．从点P(2，3)射出两条光线的方程分别为：l1：4x−3y+1=0和l2：15．已知函数f(x)=x−3lnx在点(1，f(1))处的切线经过点(a，b)，16．某工厂有甲､乙､丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为四、解答题17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5（1）求{an}（2）设数列{cn}满足cn=18．已知锐角三角形ABC内角A，B，C的对应边分别为（1）求sinB+sinC的取值范围；（2）若a=23，求△ABC19．如图，在三棱锥P−ABC中，底面△ABC是边长为4的正三角形，PA=PC，PB=6，三棱锥P−ABC的体积为43，O是AC的中点，E是PO的中点，点F（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求平面PAB和平面ABC所成角的余弦值.20．疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：日销量（单位：百份）12131415天数39126（1）记两天中销售该款新套餐的总份数为X（单位：百份），求X的分布列和数学期望；（2）以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？21．已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C和双曲线E的标准方程；（2）A，B，D是双曲线E上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点22．已知函数f(x)=ex−ax，g(x)=ln(x+2)−a（1）当a>0时，函数f(x)有极小值f(1)，求a；（2）证明：f'（3）证明：ln2+(ln

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A={x∣|x|<2}因为A∩B={所以a2=1，解得故答案为：C.

【分析】根据绝对值的定义和对数的性质，求得A={x∣−2<x<2}2．【答案】D【解析】【解答】∵∴复数z3所以z3在复平面内的对应点的坐标为(3又z3所以z4在复平面内的对应点的坐标为(−3，1)故答案为：D.

【分析】根据题意得到z1=1+2i，z2=2−i，求得复数3．【答案】D【解析】【解答】解：∵a∴(∴a⋅(a+2b)=a故答案为：D.

【分析】根据题意求得a→⋅b4．【答案】B【解析】【解答】解：设半球的半径为R，圆锥母线长为l，由2πR=π×6得R=3，所以这款冰激凌的体积为：V=1故答案为：B.

【分析】设半球的半径为R，圆锥母线长为l，求得R=3，结合锥体和球的体积公式，即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】因为cos138°<0，sin由三角函数定义得tanα=cos13所以α=−48所以tan(α+18故答案为：D.

【分析】根据题意得到点P在第四象限，即α为第四象限角，结合三角函数的定义和两角和的正切公式，即可求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵an>0∴(∴na又∵∴.故答案为：C.

【分析】根据题意，化简得到an+1an7．【答案】A【解析】【解答】∵(x−2y−1)5=[(x−1)−2y]5(x−1)3的展开式中含x∴(x−2y−1)5的展开式中含故答案为：A.

【分析】根据题意转化为展开式中含y2的项为C52(x−1)3(−2y)2，再由(8．【答案】B【解析】【解答】解：∵f(−x)=xsinx+cosx+12x又f'(x)=sinx+xcosx−sinx+x=x(cosx+1)，当x>0时，又函数f(x)为偶函数，∴a=f(log∵0<sin且log∴log即a>c>b.故答案为：B.

【分析】根据题意得到函数f(x)为偶函数，再结合导数求得函数的单调性，结合0<sin12<19．【答案】B,C,D【解析】【解答】A：f(x)的最小正周期T=2πω=B：由题意，f'(x)=π由导数的几何意义可得18时潮水起落的速度为−πCD：由题意可知该船进出港时，水深应不小于4+2=6(m)，所以当y≥6时货船就可以进港，即2sinπ所以sinπ6x≥解得1+12k≤x≤5+12k(k∈Z)，又0≤x≤24，所以1≤x≤5或13≤x≤17，即该船一天之内在港口内待的时间段为1时到5时和13时到17时，停留的总时间为8小时，CD符合题意；故答案为：BCD

【分析】根据题意求得f(x)的最小正周期T=12，可判定A不符合题意；求得f'(18)=−π3，结合导数的几何意义，可判定B符合题意；由当y≥6时货船就可以进港，得到10．【答案】B,D【解析】【解答】对于A，已知α⊥AE，若BB1∥α易知当E与C重合时，BB1⊥平面ABCD，AE⊂平面故BB对于B，假设直线CD与平面α垂直，又因为AE⊥α，则AE∥CD，显然不合题意，因此假设不成立，即直线CD与平面α不可能垂直，B符合题意；对于C，当E为CC1的中点时，在△A1BE对于D，三棱锥B1−A正四棱柱的体积为VABCD−A1B1故答案为：BD

【分析】由BB1∥α，则需BB1⊥AE，当假设直线CD与平面α垂直，根据AE⊥α，则AE∥CD，显然不合题意，可判定B符合题意；当E为CC1的中点时，根据勾股定理，则△A1BE为直角三角形，可判定C不符合题意；求得B1−A111．【答案】B,C【解析】【解答】对于A，∵f(x)的图象关于x=1对称，∴f(−x)=f(2+x)，又函数f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，A不符合题意；对于B，f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)=−1，B符合题意；对于C，∵f(x)的图象关于x=1对称，∴f(x+1)的图象关于x=0对称，∴f(x+1)是偶函数，C符合题意；对于D，当x∈(0，1]时，∵f(x)的图象关于x=1对称，∴当x∈[1，2)时，又函数f(x)为奇函数，则当x∈[−1，0)时，当x∈(−2，−1]时，又f(0)=0，综上可得，f(x)的值域为[−1，故答案为：BC.

【分析】由f(x)的图象关于x=1对称和f(x)为奇函数，得到f(x+2)=−f(x)，进而求得，f(x+4)=f(x)，可判定A不符合题意；由f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)，可判定B符合题意；由f(x)的图象关于x=1对称，得到f(x+1)的图象关于x=0对称，可判定C符合题意；分x∈(0，1]、x∈[1，2)和12．【答案】C,D【解析】【解答】解：对于A，由y=14x2，得x2=4y，则焦点为F(0，1)，设P(x，y)，由抛物线的定义得，对于B，联立直线与抛物线方程x2=4yy=x−1，消去y得x所以直线y=x−1与抛物线相切，故错误；对于C，∵直线y=x−1与C相切，又直线y=x−1与直线y=x−2平行，∴两平行直线间的距离即P到直线y=x−2的最小距离，所求距离为：|−1+2|2对于D，抛物线x2=4y焦点为F(0，设直线PQ方程为y=kx+1，不妨设P(x由y=kx+1x2=4y，得xOP⋅故答案为：CD.

【分析】化简抛物线的方程x2=4y，设P(x，y)，由抛物线的定义求得额y=4，求得点P的坐标可判定A故错误；联立方程组，结合Δ=0，可判定B错误；根据直线y=x−1与C相切，且直线y=x−1与直线y=x−2平行，结合两平行线间的距离公式，可判定C正确；设直线PQ方程为y=kx+1，13．【答案】92【解析】【解答】由频率分布直方图知0.由10×(0.075+a)=1得：因为0.所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[90，100]内，设其为则由(x−90)×0.025=0.故答案为：92.

【分析】由频率分布直方图的性质，求得a=0.025，得出该次体能测试成绩的80%分位数落在[90，14．【答案】(【解析】【解答】设l1：4x−3y+1=0关于x则点P(2，3)关于x轴的对称点P'又l1：4x−3y+1=0与x轴的交点Q(−14同理l2：3x−4y+6=0关于因为l1'和l2所以|4a+3b+1|42+∴a=−3，b=2，故答案为：(x+3

【分析】设l1关于x轴的对称直线为l1'，得到点P(2，3)关于x轴的对称点P'(2，−3)必在l1'上，在求得又l1与x轴的交点在l1'上，得出l'15．【答案】6【解析】【解答】f(1)=1，则切点为(1，1)，又f'切线方程为y=−2x+3，又点(a，b)在切线上，则8a+bab当且仅当16ab=b故答案为：6.

【分析】根据题意，利用导数的几何意义求得切线方程为y=−2x+3，得出2a+b=3，化简8a+bab16．【答案】4【解析】【解答】记事件B：选取的产品为次品，记事件A1记事件A2记事件A3由题意可得：P(P(B∣A由全概率公式可得P(B)=P(=0.从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为0.设次品数为X，则X∼(100，即E(X)=100×0.故答案为：4.

【分析】记事件B：选取的产品为次品，记事件A1：此件次品来自甲生产线，记事件A2：此件次品来自乙生产线，记事件A3：此件次品来自丙生产线，根据题意求得P(B∣A1)，P(B∣A17．【答案】（1）解：设等差数列{an}∵等差数列{an}的前n项和为Sn∴a1+4d=58a∴a∵a∴n=log∴b（2）解：∵1∴T=1∵1令R=2×3+4×3则3R=2×3①−②得：−2R=2×3+2(3=2×3(1−∴R=3+19×∴T【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据题意列出方程组，求得a1，d的值，得到an=n，进而得到n=lo18．【答案】（1）解：∵cos2A−3sinA+2=0，又∴2sin2A+解得sinA=−3（舍去）或sinA=∵A为锐角，∴A=π∵△ABC为锐角三角形，∴0<B<π∵C=2π∵sinB+sinC=sinB+sin(=3∵π3<B+（2）解：在△ABC中，由余弦定理可得a2=b∴12+bc=b2+c2△ABC的面积为1∵A=π3，故当△ABC为等边三角形时，有最大面积为【解析】【分析】(1)根据余弦的二倍角公式化简已知等式求得A=π3，再根据sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)结合三角函数的图象性质求其值；

19．【答案】（1）证明：设棱PC的中点为D，连接ED，∵O是AC的中点，∴OC=1在△POC中，DE∥OC，且DE=1在BC上取一点G，满足CG=3GB，连接FG，在△ABC中，由CGGB∴DE∥FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG.又DG⊂平面PBC，EF⊄平面∴EF∥平面PBC.（2）解：依题意，O是AC的中点，AB=BC，PA=PC，连接BO，则有又PO∩OB=O，PO，OB⊂平面又AO⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面POB，且平面ABC∩平面过P作OB的垂线，垂足为Q，则PQ⊥平面ABC，∴V在Rt△PQB中，PB=6，∵△ABC是边长为4的正三角形，∴BO=23以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，设平面PAB的法向量为n=(x则PA⋅n=2x+3y−3z=0又面ABC的一个法向量为m=(0∴cos⟨m∴平面PAB和平面ABC所成角的余弦值21【解析】【分析】（1）设棱PC的中点为D，连接ED，在BC上取一点G，满足CG=3GB，连接FG，DG，在△ABC中，得到DE∥FG，DE=FG，证得EF∥DG，结合线面平行的判定定理，即可证得EF//平面PBC；

（2）连接BO，证得AC⊥平面POB，过P作OB的垂线，得到PQ⊥平面ABC，以O为原点，建立的空间直角坐标系，分别求得平面20．【答案】（1）解：根据题意可得：X的所有可能取值为24，P(X=24)=P(X=25)=1P(X=26)=P(X=27)=P(X=28)=3P(X=29)=P(X=30)=∴X的分布列为：X24252627282930P13177741E(X)=24×（2）解：当每两天生产配送27百份时，利润为：(24×10−3×20)×+27×10×(1−1当每两天生产配送28百份时，利润为：(24×10−4×20)×1∵260.4>254.【解析】【分析】（1）根据题意随机变量X的所有可能取值为24，25，26，27，21．【答案】（1）解：根据题意得2ab=424a2+∴c2=a2−b椭圆C的焦点坐标为(±2，0)依