奥数-第5讲线束定理、相似-竞赛班学生版

1、北京市初二数学竞赛专项训练与平行线相关的几何结论：一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.如图所示，直线i i过点O的三条直线分别交l、l于A、A，ABBCAC证明：因为AB ABABOBOAOB OA同理可证BCOBACOAABBCOBOAACC、C，求证，,Bi与 A1s*特别地，当AB = BC时，有A!B = BC，反之亦然.点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同 于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段 相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两

2、线段相等或线段被平 分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n条直线所截的情形，即“过 一点的n (n 3，n e N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直 线叫作线束，故该定理叫作线束定理.二、线段等式：1 + 1 =1 x y z如图所示，AB CD EF .若 AB = x， CD = y，EF = z，贝U - + - =1.证明：由题意可得-=竺,-=竺 x CA y AC则-+ - = 1,x y出111即一+ =.x y z三、线段等式：EF = AB + - CD .1+ X1+ X在梯形ABCD中，EF平行于两条底边，交BC和D

3、A于EF,其中竺=业=X，则有如下等式成EC FD立EF =AB +证明：由面积关系有:S + S + S = S + S + S = S = S + S = S + SAABF ABEC AFCD AABE ABEC AECD 梯 形ABCD AABC AACD AABC ABCD则由 AABF + ABEC + SAFCD = SAABC + ABCD得到sin0 - AB - BF +sin0 - EF - BC + sin0 - CD - FC =sin0 - AB - BC + sin0 - CD - BC TOC o 1-5 h z 22222（0为底边和腰BC的夹角）所以 AB

4、- BF + EF - BC + CD - FC = AB - BC + CD - BC即 EF - BC = AB -（BC - BF）+ CD （BC - CF）、 CF RF1入可化间为 EF =AB + CD，即 EF = - AB + - CD . BC BC1+ X1+ X这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明.example板块一：线束定理【例1】如图所示，已知D、E是AABC的边AC、AB上的点，BD、CE交于O , AO的延长线交BC于 M .若DE BC,求证AM是AABC的中线.ABMC【例2】如图所示，M、N分别是矩形的边AD

5、、BC的中点，在CD的延长线上取点P , PM交对角 线AC于Q，求证NM平分ZPNQ .【例3】如图所示，在AABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是XCDB和ACDA的角平分线，MN交CD于O , EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，求证PQ = CD .【例4】如图所示，H是AABC的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证 ZEDH = ZFDH.【例5】如图所示，AD是AABC的外接圆。0的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、 AC 于 M、N，求证 0M = ON .板块二：线段等式相关若AB = BC = a，

6、贝U EF等于（).(A) -a(B) 1 a(C) 2 a(D) 2 a3235【例6】如图所示，在等腰RtAABC中，AD是直角边BC的中线，BE AD，且交 AC 于 E，EF 1BC.【例7】如图所示，直线l同侧有三个相邻的等边AABC、AADE、AAFG，且G、A、B都在直线l上， 设这三个三角形的边长依次分别为a、b、c，连接GD交AE于N，再连接BN交AC于乙，求证AL =abcab + bc + ca【例8】（基辅数学奥林匹克竞赛试题）在凸四边形ABCD中，K和M分别是AB和CD边上的点，且有BK DMKA MCAM与DK交于点P，BM与CK交于点Q，求证SD = S+ S邸函

7、且【变式】如图所示，在四边形ABCD中，DE = EF = FC于四边形EFHG的面积的三倍.AG = GH = HB,求证四边形ABCD的面积等【例9】河凰回（2004年北京市初二数学竞赛）设A ,B ,C ,D ,E ,F分别是凸六边形ABCDEF的边AB , BC , 111111CD, DE, EF, FA 的中点.AABC , ABCD , ACDE , ADEF , EFA , AFAB 的面积之和 1111112为m，六边形ABCDEF的面积为S .证明：S = - m .3P为半圆上的任习题1.如图所示，以线段AB为直径作半圆，在另一侧作矩形ABCD ,意一点，PC、PD分别交

8、AB于F、E两点，求证AF- + BE- = AB-.习题2.(苏州市数学竞赛试题)如图所示，D、E分别是AABC的边BC、AB上的点，AD、CE交于F , BF、DE交于G .过G作BC的平行线分别交AB、CE、AC于M、H、N，求证GH = NH .习题3.如图所示，已知梯形ABCD , AB CD且AB = 7、CD = 4 .延长AD、BC交于点E，过E作平行于AB的直线，分别交AC、BD的延长线于N、M，则MN =.习题4.(全国初中数学联合竞赛试题)如图所示，AB EF，EF CD，已知AB = 20，CD = 80， BC = 100，那么EF的值为().(A) 10(B) 2(

9、C) 16(D) 18两个简单的“悖论”你知道1 -1+1 -1+1 -1+1-1+.等于多少?解：设L=11 + x21 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +=，2一 X + X 2 x 3 +， 则当X = 1时，有-=1 -1 +1 -1 +即另解1：1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 + =(1-1) + (1-1) + (1-1) +=0 + 0 + + 0 + =0，即 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 + =0另解2：1 -1 +1 -1 +1-1 + = 1 + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + =1 + 0 + 0 +

10、=1即 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1-1 + .=1大家觉得怪不怪，同一个式子，由于计算方法不同而得到了不同的值，这该 怎样解释才使人信服？原来这是一个令大数学家欧拉既感兴趣又伤脑筋的问题， 这里暂且用“悖论”作答吧.萨维尔村理发师给自己订了一条规则：他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子， 也只给这样的人刮胡子.于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？理发师顿 时哑口无言.因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人.但 是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮.如果由另外一 个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮 胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子.由此可见，不管作怎样的 推论，理发师所