数字信号处理(三版)课后习题答案

1、第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。（1）x(n)=Acos()（2）x(n)=（3）x(n)=Asin()解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，得出。因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=。（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=expn,得出。因此是无理数，所以不是周期序列。（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，又x(n)=Asin()Acos()Acos()，得出。因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(

2、n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。解利用线性卷积公式y(n)=按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1) x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n) x(1)h(n-1) x(2)h(n-2)=4,n2(b) x(n)=2(n)-(n-1)h(n)=-(n) 2(n-1) (n-2)y(n)=-2(n) 5(n-1)= (n-3)(c) y(n)= =u(n)2.3 计算线性线性卷积(1) y(n)=u(n)*u(n)(2) y(n)=u(n)*u(n)解：(1) y(n)

3、= =(n 1),n0即y(n)=(n 1)u(n)(2) y(n)=,n0即y(n)=u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h(n)和h(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h(n)=(n)-(n-4), h(n)=au(n),|a|1,求系统的输出y(n).解(n)=x(n)*h(n)=(n-k)-(n-k-4)=u(n)-u(n-4)y(n)=(n)*h(n)=u(n-k)-u(n-k-4)=,n32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=au(-n),0a1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。2.6 试证明线性卷积满足交换

4、率、结合率和加法分配率。证明 （1）交换律X(n) * y(n) = 令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此线性卷积公式变成 x(n) * y(n) =y(n) * x(n)交换律得证.(2)结合律x(n) * y(n) * z(n)= * z(n)=z(n-t)=x(k) y(t-k)z(n-t)=x(k) y(m)z(n-k-m)=x(k)y(n-k) * z(n-k)=x(n) * y(n) * z(n)结合律得证.(3)加法分配律x(n) * y(n) z(n)= x(k)y(n - k) z(n - k)=x(k)y(n-k) x(k)z(n - k)=x(n) * y

5、(n) x(n) *z(n)加法分配律得证.2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明(1)y(n)= 2x(n) 3 (2)y(n)= x(n)sinn (3)y(n)= (4)y(n)= (5)y(n)= x(n)g(n)解（1）设y(n)=2x(n) 3,y(n)=2x(n) 3,由于y(n)=2x(n) x(n) 3y(n) y(n)=2x(n) x(n) 6故系统不是线性系统。由于y(n-k)=2x(n-k) 3,Tx(n-k)=2x(n-k) 3,因而y(n-k) = Tx(n-k)故该系统是非移变系统。设|x(n)|M，则有|y(n)|=|2x

6、(n) 3|2M 3|故该系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（2）设 y1(n)=ax1(n)sinn y2(n)=bx2(n)sinn由于 y(n)=Tax1(n) bx2(n)=ax1(n) bx2(n)sinn =ax1(n)sinn bx2(n)sinn =ay1(n) by2(n)故该系统是线性系统。由于 y(n-k)=x(n-k)sin(n-k) Tx(n-k)=x(n-k)sinn 因而有 Tx(n-k)y(n-k)帮该系统是移变系统。设 |x(n)|M，则有|y(n)|=|x(n)sin(n-k) |=|x(n)

7、| sin(n-k) |M|sin(n- k) |M故系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（3）设 y1(n)=，y2(n)=，由于y(n)=Tax1(n) bx2(n)= =a b=ay1(n) by2(n)故该系统是线性系统。因 y(n-k)= = =Tx(n-t)所以该系统是非移变系统。设 x(n)=M y(n)= =，所以该系统是不稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（4）设 y1(n)=，y2(n)=，由于y(n)=Tax1(n) bx2(n)= = a b=ay

8、1(n) by2(n)故该系统是线性系统。因 y(n-k)= = Tx(n-t)= 所以该系统是移变系统。设x(n)=M,则y(n)= (n-n)M=,所以该系统不是稳定系统。显而易见，若nn。则该系统是因果系统；若nn。则该因果系统是非因果系统。(5)设y(n)=x(n)g(n),y(n)=x(n)g(n),由于y(n)=Tax(n) bx(n)=(ax(n) bx(n)g(n)=ax(n)g(n) b(n)=ay(n) by(n)故系统是线性系统。因y(n-k)=x(n-k),而Tx(n-k)=x(n-k)g(n)y(n-k)所以系统是移变系统。设|x(n)|M,则有|y(n)|=|x(n

9、)g(n)|=M|g(n)|所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性（1）h(n)=2u(-n) (4) h(n)=()u(n)(2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)=u(n)(3) h(n)=(n n), n0 (6) h(n)= 2Ru(n)解（1）因为在n0时，h(n)= 20,故该系统不是因果系统。因为S=|h(n)|= |2|=1，故该系统是稳定系统。(2) 因为在n1时才是稳定系统。(3) 因为在nO时，h(n) 0，故该系统不是因果系统

10、。因为S=|h(n)|= |(n n)|=1，故该系统是稳定系统。(4) 因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=|h(n)|= |()|，故该系统是稳定系统。(5) 因为在nO时，h(n)=u(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=|h(n)|= |u(n)|= =，故该系统不是稳定系统。(6) 因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统。因为S=|h(n)|= |2|=2-1，故该系统是稳定系统。2.9 已知y(n)-2cosy(n-1) y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=证明题给齐次差分方程的特征方程为-2cos 1=0由特征方程求得特征根=cos jsin=e,=cos-jsin= e齐次差分方程的通解为y(n)=c c=ce ce代入初始条件得y(0)=c c=0y(1)= ce ce=1由上两式得到c=，c=- c=-将c和c代入通解公式，最后得到y(n) =ce ce=( e e)=2.10 已知y(n) 2y(n-1) (n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解首先由初始条件求出方程中得系数a和b由可求出a=-1,b=-8于是原方程为y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0由特征方程280求得特征根4 ，-2齐次差分方程得