高等数学上册ppt课件完整版

1、函数第一章 函数、极限与连续函数的概念01函数的几种特性02目录反函数03初等函数041.1.1 函数的概念3一、区间与邻域区间是高等数学中常用的实数集设 ，且 ，数集 为开区间，记作 ；数集 为闭区间，记作 ；数集 和 都称为半开半闭区间，分别记作 和 以上这几类区间统称为有限区间1.1.1 函数的概念4一、区间与邻域满足关系式 的全体实数 的集合记作 ，这里符号“ ”读作无穷大，“ ”读作正无穷大类似地，我们记其中“ ”读作正无穷大以上这几类数集都称为无限区间有限区间和无限区间统称为区间1.1.1 函数的概念一、区间与邻域表示分别 以 ， 为左右端点的开区间，区间长度为2 ，设 满足绝对值

2、不等式 的全体实数 的集合称为在 中，去掉中心点 得到的实数集 称为点称为邻域的中心， 称为邻域的半径的去心（或空心） 邻域，记作 注意 与 的差别在于: 不包含点 5点 的 邻域，记作 ，即1.1.1 函数的概念6二、函数的概念例1 自由落体运动设物体下落的时间为 ，下落的距离为 假定开始下落的时刻为 ，那么 与 之间的依赖关系由下式给定：其中 是重力加速度，假定物体着地时刻为 ，那么当时间 在闭区间 上任取一值时，由上式就可以确定相应的 值1.1.1 函数的概念7二、函数的概念例2 普通快件收费以“首重+续重”的方式计算，不超过1公斤按1公斤计算，超过1公斤不超过2公斤按2公斤计算，超过2

3、公斤不超过3公斤按3公斤计算，以此类推某快递官网收费为首重1公斤10元，续重每公斤5元，建立快件重量 与快递费 的函数关系解 当 时，运费 ；当 时，运费 ；当 时，运费 ；于是函数 可以写成1.1.1 函数的概念8二、函数的概念定义1 设 与 是同一变化过程中的两个变量， 和 是两个实数集如果对于任意的一个 ，按照对应法则 ，都有唯一确定的一个与之对应，那么称 是 的函数，记作称 为该函数的定义域，称 为自变量，称 为因变量（或函数）当自变量 取数值 时，与 对应的因变量 的值称为函数在点 处的函数值，记作 或 当自变量 取遍 内所有数值时，的因变量 的全体组成的数集称作这个函数的值域1.1

4、.1 函数的概念9二、函数的概念 确定函数定义域主要有两种情况：在研究由公式表达的函数时，函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集，也可用区间表示而在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的例3 求下列函数的定义域：解 (1) 要使函数 有定义，须 ， 即 ，所以 的定义域是 1.1.1 函数的概念10二、函数的概念例3 求下列函数的定义域：解 (2) 要使函数 有定义，须 ，即所以 的定义域是 1.1.1 函数的概念11二、函数的概念例4解例5设函数 ， ，问它们是否为同一函数？解的定义域为 ，在 点无定义，其定义域为 ,由于 与 的定义域不同，所以它们不是同一个函

5、数1.1.1 函数的概念12三、函数的表示法 解析法 用解析表达式表示一个函数的方法称为函数的解析法高等数学中讨论的函数，大多由解析法表示用解析法表示函数，不一定总是用一个式子表示，也可以分段用几个式子来表示一个函数例如这是用两个解析式子给定的一个函数，其定义域是 ，当自变量在区间 内取值时，对应的函数值按 计算；当自变量在区间 内取值时，对应的函数值按 计算； 这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数解析法、表格法、图示法1.1.1 函数的概念13例6 设函数 求三、函数的表示法解 因为所以例6给出的函数称为符号函数，记为其定义域为 值域为1.1.1 函数的概

6、念14例7 语句“变量 是不超过 的最大整数部分”表示了一个分段函数，三、函数的表示法常称为取整函数，记为 即若 ，则 ，其中 为整数其数学表达式为其定义域为 值域为一切整数.1.1.1 函数的概念15三、函数的表示法 表格法 把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，称为函数的表格法如对数表，三角函数表，立方表等解析法、表格法、图示法 图示法 用坐标系下的一条或多条曲线表示函数，称为函数的图示法例如，函数 可用下列图形表示 函数的概念01函数的几种特性02目录反函数03初等函数041.1.2 函数的几种特性17一、函数的有界性设函数 在区间 上有定义，如果存在正数 ，使得对任一

7、 ，不等式 恒成立，那么称函数 在区间 内有界若这样的不存在，就称函数 在区间 内无界如果函数 在区间 内有界，如果函数 在区间 内有界，那么称 在区间 内为有界函数如 在 上有界，因为 对任何 都成立注意 函数有界性不仅与函数有关，还与自变量的变化范围有关例如，函数 在区间(1,2)内是有界的，在区间(0,1)内是无界的1.1.2 函数的几种特性18二、函数的单调性设函数在区间 上有定义，如果对于区间 上任意两点 ，当（或 ）时，有则称函数 在区间 上单调增加（或单调减少）)1.1.2 函数的几种特性19三、函数的奇偶性设函数 的定义域 是关于原点对称的，即当 时，有 如果对于任意的 ，均有

8、则称函数 是偶函数既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数（或 ）（或奇函数）1.1.2 函数的几种特性20四、函数的周期性设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，使得对于定义域内的任何 ， 也在定义域内，且 恒成立，那么函数叫做周期函数，称 为 的周期周期函数的周期通常是指它的最小正周期例如，函数 及 都是以 为周期的周期函数；函数 及 都是以 为周期的周期函数 周期函数的图形呈周期状，即在其定义域内长度为T 的区间上，函数图形具有相同的形状函数的概念01函数的几种特性02目录反函数03初等函数041.1.2 函数的几种特性22定义2 设函数 的定义域为 ，值域为 如果对于任意一个，

9、通过关系式 可惟一确定一个 ，那么 就是 的一个函数，记作或反函数有以下几个性质：这时 是自变量， 是因变量定义域为 ，值域为 函数 叫做函数 的反函数习惯上，我们总是把自变量记作 ，因变量记作 ，改写为 或 .（1）函数 与其反函数 互为反函数（2） 与 的定义域与值域对调（3） 与 的图像关于直线 对称函数的概念01函数的几种特性02目录反函数03初等函数041.1.4 初等函数24一、基本初等函数1常量函数 ( 为常数)2幂函数 ( 为常数)3指数函数 ( 为常数)4对数函数 ( 为常数)5三角函数 常用的三角函数有： 三角函数还包括正割函数 ，余割函数 ，其中 基本初等函数包括：常量函

10、数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数1.1.4 初等函数25一、基本初等函数6反三角函数 反三角函数是三角函数在特定区间的反函数反正弦函数 是三角函数 在区间 上的反函数，定义域为 ，值域为 ，它是奇函数，在定义域上单调增加反余弦函数 是三角函数 在区间 上的反函数，定义域为 ，值域为 ，它是偶函数，在定义域上单调减少反正切函数 是三角函数 在区间 上的反函数，定义域为 ，值域为 ，它是奇函数，在定义域上单调增加1.1.4 初等函数26二、复合函数由物理学知，物体的动能 是速度 的函数：式中 是物体的质量如果考虑物体上抛运动，把一个质量为 的物体以初速度 垂直向上抛出，由于地球

11、引力的作用，它就不断减速，这时， ，于是物体的动能 通过速度成为时间的函数：是由 和 “复合”而成的1.1.4 初等函数27二、复合函数定义2 设有两个 及 ，如果对于 所对应的 值，函数其中， 是自变量， 是因变量， 叫做中间变量有定义，则 通过 的联系也是 的函数，那么称这个函数是由与 复合而成的复合函数，记作 例如，由 ， 复合而成的复合函数是 ，其定义域是 1.1.4 初等函数28二、复合函数 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数例如，函数 与 就不能复合成一个复合函数，因为对于 的定义域内任何 值所对应的 值，都不能使 有意义例11 设 ，求 ， 解 1.1.4 初等函数29二、

12、复合函数 利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算是很重要的例8 是由 ， ， 复合而成例9 是由 ， ， 复合而成例10 是由 ， ， 复合而成1.1.4 初等函数30三、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算所得到的，并能用一个解析式表示的函数，称为简单函数 由基本初等函数、简单函数经过有限次复合步骤所构成的，并能用一个解析式表示的函数，称为复合函数 基本初等函数、简单函数、复合函数统称初等函数例如 都是初等函数学海无涯，祝你成功！极限的概念第一章 函数、极限与连续数列极限的概念01函数极限的概念02目

13、录1.2.1 数列的极限34 为了求圆的面积，可以先作圆的内接正四边形并用此四边形面积 来作为圆面积的第一次近似进一步可作圆的内接正八边形，并记内接正八边形的面积为 ，作为圆面积的第二次近似照此下去，可作圆的一系列内接正 边形，依次可得相应的面积为 ， ， ，当内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越近，当 无限增大时，圆内接正多边形的面积就无限接近于圆面积也即当 无限增大时，圆内接正 边形面积 也不断增大，且 在向某个定数（圆的面积）不断接近若将这一定数称为 的极限，则可以说：圆内接正 边形面积的极限就是圆的面积1.2.1 数列的极限35一、数列定义1 按一定顺序排列起来

14、的无穷多个数称为无穷数列记作 ，通常称 为数列的第一项， 为第2项， 为第 项一般地，将数列的第 项称为通项（或一般项）例如数列：1.2.1 数列的极限36二、数列的极限考察数列：当 无限增大时， 趋向于确定的常数1，或者说数列 收敛于1，并称1为该数列的极限1.2.1 数列的极限37二、数列的极限定义2 如果当 无限增大时（记为 ）， 无限趋近于一个确定的常数 ，我们就称 是数列 的极限，或称 趋于 ，记为当 时，如果 不趋向于一个确定的常数，我们就说数列 没有极限通常称存在极限的数列为收敛数列，而不存在极限的数列为发散数列1.2.1 数列的极限38二、数列的极限例1 讨论数列 、 的极限解

15、 当 时，数列 由 的两侧无限接近于1， 因而该数列的极限为1，即当 时，数列 在 与 两点来回跳动，不接近于任何确定的常数，故数列 为发散数列数列极限的概念01函数极限的概念02目录1.2.2 函数的极限40极限的一种特殊类型数列可以看作自变量取正整数 的函数 ，数列的极限是函数（1）当自变量 的绝对值无限增大（记作 ）时，对应的函数的变化情形（2）当自变量 无限接近 （记作 ）时，对应的函数 的变化情形下面讨论一般函数 的极限主要研究两种情形：一确定的常数 ，就称当 时，函数 以 为极限这样一个变化过程中，函数 的函数值的变化趋势；若 无限接近某1.2.2 函数的极限41一、 时函数 的极

16、限若 取正值且无限增大，记作 ，读作“ 趋于正无穷大”；若 取负值且其绝对值无限增大，记作 ，读作“ 趋于负无穷大”；若 既能取正值又能取负值且其绝对值无限增大，记作 ，读作“ 趋于无穷大”；所谓“当 时函数 的极限”，就是讨论当自变量 趋于无穷大1.2.2 函数的极限42一、 时函数 的极限定义3 一般地，设函数 在 时有定义，若当 时，函数 无限接近于某个确定的常数 ，则称函数 当 时以 为极限，记作例如：当 时， ，记作 ；当 时， ，记作 ；当 时， ，记作 1.2.2 函数的极限43一、 时函数 的极限定义4 一般地，设函数 在 时有定义，若当 时，函数 无限接近于某个确定的常数 ，

17、则称函数 当 时以 为极限，记作例如：当 时， ，记作 ；当 时， ，记作 ；当 时， ，记作 1.2.2 函数的极限44一、 时函数 的极限定义5 一般地，设函数 在 时有定义，若当 时，函数 无限接近于某个确定的常数 ，则称函数 当 时以 为极限，记作定理1 的充要条件是 1.2.2 函数的极限45二、 时函数 的极限例2 设 ，试讨论当 时函数 的变化情况x00.90.990.9990.99990.999990.999999f（x）11.91.991.9991.99991.999991.999999x21.11.011.0011.00011.000011.000001f（x）32.12.

18、012.0012.00012.000012.000001当 越来越接近1时，相应的函数值越来越接近2容易想到，当 无限接近于1时，函数 的相应的函数值将无限地接近于21.2.2 函数的极限46二、 时函数 的极限例2 设 ，试讨论当 时函数 的变化情况曲线 上的动点 ，当其此种情况，就称当 时，函数 以横坐标无限接近1时，即 时，点 将向定点 无限接近，即 2为极限，并记作1.2.2 函数的极限47二、 时函数 的极限例3 设 ，试讨论当 时函数 的变化情况函数 中， ，但是，当 时， 也趋向于2 ，即函数 当 时以2为极限，记作 1.2.2 函数的极限48二、 时函数 的极限若 ，且 趋于

19、，记作 ；若 ，且 趋于 ，记作 若 和 同时发生，则记作 定义7 若当 时，函数 趋于常数 ，则称函数 以 为左极限，记作定义8 若当 时，函数 趋于常数 ，则称函数 以 为右极限，记作函数 在点 的左极限和右极限也分别记作 和 左极限和右极限统称单侧极限1.2.2 函数的极限49二、 时函数 的极限定义6 设函数 在点 的某个去心邻域内有定义，若当 时，函数 无限接近于某个确定的常数 ，则称函数 当 时以 为极限，记作定理2 的充要条件是 1.2.2 函数的极限50二、 时函数 的极限解 因为 即 在 点的左右极限存在但不相等，因此 不存在 例3 考察分段函数： 在 点处的极限.1.2.2

20、 函数的极限51二、 时函数 的极限不管数列还是函数，都是变量因此对于求极限的方式包括 ， ， ， ， ， ， 等，都是对变量求极限 所以，以上学习的各种极限的定义可以统一于下面的定义之中：在自变量（可以是 或 ）某一变化过程中，如果变量 （可以是数列 或函数 ）无限地接近于某个确定的常数 ，就称变量 以 为极限，记为1.2.2 函数的极限52三、函数极限的性质函数极限的唯一性 如果 存在，则极限是唯一的函数极限的局部有界性 如果 存在，则存在 和 ，使得当 时，有 函数极限的局部保号性 如果 ，而 （或 ），那么存在 ，使得当 时，有 或 说明 以上性质对其它类型的极限都适用学海无涯，祝你成

21、功！无穷小量与无穷大量第一章 函数、极限与连续无穷大量01无穷小量02目录无穷大量与无穷小量的关系03无穷小量的运算性质04无穷小与函数极限的关系051.3.1 无穷大量56为当 时的无穷大量，简称无穷大记作定义1 当 时，如果 的绝对值无限地增大，那么称函数 例如，当 时， 是一个无穷大量，记作 如果当 时， 只取正值且无限变大（或只取负值而绝对值无限变大），那么称 为正无穷大量（或负无穷大量），记作无穷大定义中的 可以换成 ， ， ， ， 无穷大量01无穷小量02目录无穷大量与无穷小量的关系03无穷小量的运算性质04无穷小与函数极限的关系051.3.2 无穷小量58时的无穷小量，简称无穷小

22、，记作定义2 当 时，如果函数 的极限为零，那么称 为当 无穷小定义中的 可以换成 ， ， ， ， 例1 因为 ，所以函数 当 时是无穷小因为 ，所以函数 当 时是无穷小注意 (1) 无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数 0是可以作为无穷小量的唯一的一个数 (2) 要指明自变量的变化趋势无穷大量01无穷小量02目录无穷大量与无穷小量的关系03无穷小量的运算性质04无穷小与函数极限的关系051.3.3 无穷大量与无穷小量的关系60定理1 如果 为无穷大，则 为无穷小；反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷大例2 求解 由于由定理1得无穷大量01无穷小量02目录无穷大量与

23、无穷小量的关系03无穷小量的运算性质04无穷小与函数极限的关系051.3.4 无穷小量的运算性质62定理2 有限个无穷小的代数和为无穷小定理3 有限个无穷小之积为无穷小定理4 有界函数与无穷小的乘积为无穷小定理5 常量与无穷小之积为无穷小例3 求解即 时 是无穷小量且即 时 是有界变量时 是无穷小量，即 无穷大量01无穷小量02目录无穷大量与无穷小量的关系03无穷小量的运算性质04无穷小与函数极限的关系051.3.5 无穷小与函数极限的关系64定理6(极限基本定理) 的充分必要条件是：其中 是当 时的无穷小，即定理6中的 可以换成 ， ， ， ， 学海无涯，祝你成功！极限的四则运算第一章 函数

24、、极限与连续1.4 极限的四则运算67定理 如果 ，那么其中自变量 的趋势可以是 等各种情形1.4 极限的四则运算68例1 求 解 例2 求 解 1.4 极限的四则运算69一般地，设多项式（有理整函数）那么即1.4 极限的四则运算70设有理分式函数（有理整函数与有理分式函数统称为有理函数）即其中 与 都是多项式，当 时，有对于有理函数求关于 的极限时，如果有理函数在 有定义，其极限值就是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用1.4 极限的四则运算71例3 求 解 例4 求 解 因为函数的分子、分母当 时极限都为0，所以不能直接带入. 可以先将分子分解因式，约公因式 ，再求极限. 1.4 极限的

25、四则运算72例5 求 解 当 时，两个分式皆无极限，可以先通分1.4 极限的四则运算73例6 求 解 当 时，分子、分母极限都为0，应先将分子有理化例7 求 解 将分子分母同时除以 ，再求极限1.4 极限的四则运算74例8 求 解 将分子分母同时除以 ，再求极限一般地，当 时，有，其中 为正整数补充：N次方差公式学海无涯，祝你成功！两个重要极限第一章 函数、极限与连续极限存在的准则01两个重要极限02目录1.5.1 极限存在的准则78定义 设数列 ，如果满足 ，那么称 是递增数列，如果满足 ，那么称 是递减数列递增数列和递减数列统称为单调数列对于数列 ，如果存在一个正数 ，使对一切 都有，那么

26、称 是有界数列，否则称 是无界数列准则（单调有界准则） 单调有界数列必有极限 准则告诉我们：如果数列不仅有界，而且单调，那么这个数列一定是收敛的1.5.1 极限存在的准则79如果函数 ， ， 在点 的某去心邻域内有定义，且满足：那么数列 收敛，并且 类似地，有关于函数极限的夹逼准则：准则（夹逼准则） 如果数列 ， ， 满足下列条件：那么 极限存在的准则01两个重要极限02目录1.5.2 两个重要极限81一、 证 函数 对于一切 都有定义作单位圆，不妨设 ， 在单位圆上取圆心角 （弧度），点 处的切线与 的延长线相交于 ，于是因为所以即1.5.2 两个重要极限82一、 两边除以 ，得即即因为 ，

27、故由函数极限存在的夹逼准则，得1.5.2 两个重要极限83注意：1.极限 作为公式直接使用；2.公式可推广为 ，其中， 是 时的无穷小量，如例1 求 解 1.5.2 两个重要极限84例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 令 ，则 ，且 时 ， 1.5.2 两个重要极限85二、 或 这里 是无理数该重要极限的本质是 其中， 是 时的无穷小量 例5 求 解 1.5.2 两个重要极限86二、 或 例6 求 解 例7 求 解 学海无涯，祝你成功！无穷小的比较及其应用第一章 函数、极限与连续无穷小量的比较01等价无穷小在求极限中的应用02目录1.6.1 无穷小量的比较90问题 两个无穷小的和、差、积

28、都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？当 时，函数 都是无穷小，可是 可见，无穷小量之商（之比）不一定是无穷小，这是由于两个无穷小量趋于零的速度有快有慢1.6.1 无穷小量的比较91定义 设 是同一变化过程中的无穷小，且 ，（1）如果 ，则称 与 是同阶无穷小（2）如果 ，则称 与 是等价无穷小，记作 （3）如果 ，则称 是比 高阶的无穷小，记作 时， 与 时等价无穷小时， 与 时同阶无穷小无穷小量的比较01等价无穷小在求极限中的应用02目录1.6.2 等价无穷小在求极限中的应用93定理 设 及 在 (或 时都是无穷小，如果 存在，那么利用上述定理求极限时，可利用下列常见的等价无穷

29、小：当 时，例1 求解 当 时， ， ,1.6.2 等价无穷小在求极限中的应用94定理 设 及 在 (或 时都是无穷小，如果 存在，那么利用上述定理求极限时，可利用下列常见的等价无穷小：当 时，例2 求解注意学海无涯，祝你成功！函数的连续性第一章 函数、极限与连续函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.1 函数的连续性98对应的函数值的差 称为函数的改变量（或增量），记作设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量 由 变到 时，差 称为自变量 在点 的改变量（或增量），记作 一般地， 可以为正值，可以为负值，也可以为零 既与点 有关，也与 的增量

30、有关1.7.1 函数的连续性99定义1设函数 在点 的某邻域内有定义，如果在 处当自变自变量的改变量 趋于零时，对应函数的改变量 也趋于零，即那么函数 在点 处是连续的 称 为函数 的连续点定义2设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数 满足那么函数 在点 处是连续的 称 为函数 的连续点如果 ，那么称函数 在点 处右连续1.7.1 函数的连续性100例1证明函数 在点 处连续证函数在 处的改变量为因为所以 函数 在点 处连续如果 ，那么称函数 在点 处左连续；函数 在点 处连续的充分必要条件是函数 在点 处既左连续又右连续1.7.1 函数的连续性101例2讨论函数 在点 处的连续性解又即函数

31、 在点 处连续1.7.1 函数的连续性102如果函数 在开区间 内的每一点连续，那么称函数 在区间 内连续如果函数 在 内连续，且在 处右连续，在处左连续，那么称 在闭区间 上连续函数在区间 上连续，称它是 上的连续函数可以证明：一切基本初等函数在其定义域内都是连续的函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.2 函数的间断点104如果函数 在点 处不连续，那么称 在点 处间断，点 称为函数的间断点由函数 在点 处连续的定义可知，函数 在点 处连续，必须同时满足以下三个条件：（1） 在点 的某邻域有定义；（2） 存在；（3） 如果上述三条件中任何一

32、个不满足，那么点 就是函数 的间断点1.7.2 函数的间断点105根据函数 在间断点处单侧极限的情况，将间断点分为两类：(1) 如果点 是函数 的间断点，并且函数 在点 处的左极限，右极限都存在，那么称点 是函数 的第一类间断点(2) 如果点 是函数 的间断点，但不是第一类间断点，那么称点是函数 的第二类间断点在第一类间断点中，如果左极限与右极限相等，即 存在那么称此间断点为可去间断点如果点 是函数 可去间断点，那么我们可以补充定义 或者修改 的值，由 构造出一个在点 处连续的函数1.7.2 函数的间断点106例如，函数 在 处无定义，因此 是该函数的间断点因为 ，那么在 处， 为连续函数在第

33、一类间断点中，如果左极限与右极限不相等，此间断点称为跳跃间断点如果定义1.7.2 函数的间断点107在第二类间断点中，如果当 或 时， ，那么称为函数 的无穷间断点例3求函数 间断点，并判断其类型解令 ，得函数的间断点为 ， ， 为函数的可去间断点 为函数的无穷间断点1.7.2 函数的间断点108例4讨论函数 ，在 处的连续性解在 处， ，所以 ，所以 为函数的可去间断点又因为 ，所以 在 处不连续，函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.3 初等函数的连续性110定理1（连续函数的四则运算） 如果函数 在点 处连续，那么证（仅证和的形式）一、

34、连续函数和、差、积、商的连续性在点 处连续连续函数的和、差、积、商（若分母不为零）都是连续函数因为 在 处连续，即由极限的四则运算法则可得，所以 在 处连续1.7.3 初等函数的连续性111定理2 若函数 在 处连续，又函数 在点 处连续，二、复合函数的连续性且 ，则复合函数 在点 处连续因为 在点 处连续，所以 ，即 ，又因为 在点 处连续，所以可见，求复合函数的极限时，如果 在点 处极限存在，又 在对应的 处连续，则极限符号可以与函数符号交换1.7.3 初等函数的连续性112例5求极限 解函数 可以看成是由 和 复合而成由于 ，而 在 处连续由定理2知1.7.3 初等函数的连续性113三、

35、初等函数的连续性 由初等函数的定义，基本初等函数的连续性，连续函数的四则运算以及复合函数的连续性，可以得出如下重要结论：根据这个结论，如果 是初等函数， 是其定义域内的一点，那么一切初等函数在其定义区间内都是连续的求 时，只需将 代入函数求其函数值 即可例6求 解因为 是初等函数 的定义域内的一点，所以函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.4 闭区间上连续函数的性质115定义3设函数 在区间 上有定义，如果存在 ，使得对于任意的 都有那么称 是函数 在区间 上的最大值（或最小值）；称 为函数 的最大值点（或最小值点）最大值和最小值统称最值定理

36、3（最值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，那么函数在 上必取得最大值和最小值1.7.4 闭区间上连续函数的性质116定理3（最值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，那么函数在 上必取得最大值和最小值注意两点：（1）若把定理中的闭区间改成开区间，定理的结论不一定成立，例如函数 在 内是连续的，但它在 内既无最大值又无最小值（2）若函数 在闭区间内有间断点，定理的结论不一定成立，例如函数 在 间断， 在 上既无最大值也无最小值1.7.4 闭区间上连续函数的性质117定理4（介值定理） 若函数 在闭区间 上连续， ，设 是介于 与 之间任一值，则在 内至少存在一点 使得几何意义：平行于 轴的直线

37、至少与 上的连续曲线 相交于一点1.7.4 闭区间上连续函数的性质118推理（零点定理） 若函数 在 上连续且 ，则至少存在一点 ，使得即方程 在 内至少存在一个根 几何意义：如果 异号， 那么连续曲线 与 轴 至少有一个交点1.7.4 闭区间上连续函数的性质119例7 证明方程 在 内至少有一个根证 设 ，则 在 上连续，又 ， ，由零点定理可知，在 内至少有一点 ，使 这表明所给方程在 内至少有一个根学海无涯，祝你成功！导数的概念第二章 导数与微分山东信息职业技术学院 基础教学部引例01导数的定义02目录求导数举例03导数的几何意义04函数的可导性与连续性的关系052.1.1 引例123引

38、例1 求变速直线运动中质点的瞬时速度2.1.1 引例1242.1.1 引例1252.1.1 引例1262.1.1 引例127变化率问题引例01导数的定义02目录求导数举例03导数的几何意义04函数的可导性与连续性的关系052.1.2 导数的定义1292.1.2 导数的定义1302.1.2 导数的定义1312.1.2 导数的定义1322.1.2 导数的定义1332.1.2 导数的定义1342.1.2 导数的定义1352.1.2 导数的定义1362.1.2 导数的定义137引例01导数的定义02目录求导数举例03导数的几何意义04函数的可导性与连续性的关系052.1.3 求导数举例1392.1.3

39、 求导数举例1402.1.3 求导数举例1412.1.3 求导数举例142引例01导数的定义02目录求导数举例03导数的几何意义04函数的可导性与连续性的关系052.1.4 导数的几何意义1442.1.4 导数的几何意义145引例01导数的定义02目录求导数举例03导数的几何意义04函数的可导性与连续性的关系052.1.5 函数的可导性与连续性的关系1472.1.5 函数的可导性与连续性的关系148学海无涯，祝你成功！函数的求导法则第二章 导数与微分山东信息职业技术学院 基础教学部导数的四则运算法则01反函数的求导法则02目录2.2.1 导数的四则运算法则定理1 如果函数 及 在点 处可导，那

40、么它们的和、差、152注 法则（1）和（2）均可以推广到有限多个可导函数的情形积、商（分母不为零）在点 处也可导，且（1） ；（2） ；（3） ；2.2.1 导数的四则运算法则例1 求函数 的导数解 例2 若 ，求 及 解 2.2.1 导数的四则运算法则特别地，当 （ 为常数）时，可应用以下推论（1） ，即常数因子可提到导数符号外面；解 （2） .例3 （1）求函数 的导数2.2.1 导数的四则运算法则解 例3 （2）求函数 的导数解 例4 已知 ，求 即 2.2.1 导数的四则运算法则解 例5 已知 ，求 即 同理可得2.2.1 导数的四则运算法则解 例6 已知 ，求 及 所以 导数的四则运

41、算法则01反函数的求导法则02目录2.2.2 反函数的求导法则159定理2 如果单调函数 在点 处可导，且 ，那么它的反函数 在对应点 处可导，并且有 或该定理说明：一个函数的反函数的导数等于这个函数的导数的倒数2.2.2 反函数的求导法则160解 因为 是 的反函数， 在区间例7 求函数 的导数内单调可导，且所以有即特别地，当 时，有2.2.2 反函数的求导法则161解 因为 是 的反函数， 在区间 内单调例8 （1）求函数 的导数可导，且所以有即类似地，2.2.2 反函数的求导法则162例9 求函数 的导数解 因为 是 的反函数， 在区间 内单调可导，且所以有即类似地，2.2.2 反函数的

42、求导法则163解 因为 是 的反函数， 在区间例7 求函数 的导数内单调可导，且所以有即特别地，当 时，有学海无涯，祝你成功！复合函数的导数第二章 导数与微分山东信息职业技术学院 基础教学部复合函数求导法则01初等函数的求导公式02目录2.3.1 复合函数求导法则定理1 如果 在点 处有导数 ，而 在对应点 处167即 复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数有导数 ，那么复合函数 在点 处的导数也存在，并且 或 ；2.3.1 复合函数求导法则例1 (1) 求函数 的导数.168解 设 ，则由复合函数的求导法则可得(2) 求函数 的导数.解 设 ，则由复合函数的求导

43、法则可得2.3.1 复合函数求导法则(3) 求函数 的导数.169解 由复合函数的求导法则可得(4) 求函数 的导数.解 由复合函数的求导法则可得2.3.1 复合函数求导法则(5) 求函数 的导数.170解2.3.1 复合函数求导法则(6) 求函数 的导数.171解2.3.1 复合函数求导法则注 当复合函数的求导法则熟练后，可以按照复合运算的前后顺序，层层求导直接得出最后结果，无需引入中间变量计算172解例2 求函数 的导数.2.3.1 复合函数求导法则173解例3 （1）求函数 的导数.解（2）求函数 的导数.解（3）求函数 的导数.解（4）求函数 的导数.2.3.1 复合函数求导法则例4

44、设球状气球半径 以 2 的速度等速增加，求当气球半径174时，其体积 增加的速度解 由于球的体积 是半径 的函数 是时间 的函数，其导数所以体积 是时间 的复合函数由复合函数的求导法则可得所以即当半径为10 时，体积的增加速度为 800 复合函数求导法则01初等函数的求导公式02目录2.3.2 初等函数的求导公式176 ;1基本初等函数的导数公式 ; ;2.3.2 初等函数的求导公式1772函数的和、差、积、商的求导法则 ;3复合函数的求导法则 或设函数 ，则复合函数 的导数为学海无涯，祝你成功！隐函数的导数第二章 导数与微分山东信息职业技术学院 基础教学部隐函数求导01对数求导法02目录2.

45、4.1 隐函数求导显函数 把因变量 表示成自变量 的公式的形式的函数，即 的形式181隐函数 若由方程 可确定 是 的函数 ,则称该函数为隐函数 .例如， 、 等都是显函数而形如 、 等方程所确定的函数都是隐函数.隐函数求导方法: 两边对 求导(含导数 的方程)2.4.1 隐函数求导例1 求由方程 确定的隐函数 对 的导数 182解 将方程两边同时对 求导，得解出 ，得将方程的两边同时对自变量 求导，遇到函数 ，看成是 的函数， 求隐函数的导数的思路：遇到 的函数（例如 ）看成是以 为中间变量的复合函数，然后从所得的关系式中解出 即可2.4.1 隐函数求导例2 求由方程 确定的函数的导数 18

46、3解 将方程两边同时对 求导，得解得2.4.1 隐函数求导例3 求曲线 在点 处的切线方程184解 将方程两边同时对 求导，得解得所求切线方程为切线的斜率为即隐函数求导01对数求导法02目录2.4.2 对数求导法对数求导法 幂指函数（ ）及多次乘除运算和乘方开方186例4 求下列函数的导数：解 （1）两边同时取对数，得两边同时对 求导，有运算得到的函数，通常采用对等式两端同取自然对数，转化为隐函数，再利用隐函数求导方法求出它的导数，这种方法通常称为对数求导法所以2.4.2 对数求导法187例4 求下列函数的导数：解 (2) 两边同时取对数，得两边同时对 求导，有所以学海无涯，祝你成功！参数方程

47、求导与高阶导数第二章 导数与微分山东信息职业技术学院 基础教学部参数方程求导01高阶导数02目录2.5.1 参数方程求导191确定 与 之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数如果函数 、 都可导，且 ，又 具有单调一般地，如果参数方程 复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有连续的反函数 ，则参数方程确定的函数可以看成由 与 2.5.1 参数方程求导例1 已知椭圆的参数方程为 ，求其在 处的切线方程192解 当 时，椭圆上相应点的坐标是 ，即 由于故所求切线的斜率为所求切线方程为即参数方程求导01高阶导数02目录2.5.2 高阶导数一般地，如果函数 的导数 在点 处可导，

48、那么称 在点194的导数为函数 在点 处的二阶导数，记作类似地，二阶导数 的导数称为 的三阶导数，记作一般地，函数 的 阶导数的导数称为函数 的 阶导数，记作2.5.2 高阶导数例2 已知函数 （ 为正整数），求 195解 因为所以例3 求函数 的 阶导数解 显然2.5.2 高阶导数例4 已知 ，求 196解 因为 ， 所以例5 求函数 的 阶导数 解 因为 ，所以 故2.5.2 高阶导数197例6 求函数 的 阶导数 解 因为 ， 故同理可得2.5.2 高阶导数198例7 已知 ，求 解 两边同时对 求导，得 式两边再对 求导，得故代入 得当 时， ，因此 学海无涯，祝你成功！微分第二章 导

49、数与微分山东信息职业技术学院 基础教学部2.6 微分201导数 表示函数在点 处的变化率它描述了函数在点 处变化速度的快慢 在实践中，有时还需要了解函数在某点当自变量取得一个微小的改变量时，函数取得的相应改变量的大小，为此引入微分的概念微分 表示函数在点 处的变化量它描述了函数在点 处变化程度微分的定义01微分的几何意义02目录微分公式与法则03微分在近似计算上的应用042.6.1 微分的定义203引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由 变到 面积的增量为问此薄片面积改变了多少? 解 设薄片边长为 , 面积为 A , 则 当 x 在 取得增量 时，关于x 的线性主部高阶无穷小时为故

50、称为函数在 的微分2.6.1 微分的定义204定义: 若函数 在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果函数的增量可表示为其中 是不依赖于 的常数，那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 在点 相应于自变量增量 的微分，记作 ，即定理: 函数在点 可微的充要条件是即2052.6.1 微分的定义定理: 函数在点 可微的充要条件是即证: “必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 可导,且2062.6.1 微分的定义定理: 函数在点 可微的充要条件是即“充分性”已知即在点 的可导,则2072.6.1 微分的定义说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当微分的定义01微分的几何意义02

51、目录微分公式与法则03微分在近似计算上的应用042.6.2 微分的几何意义209微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记微分的定义01微分的几何意义02目录微分公式与法则03微分在近似计算上的应用042112.6.3 微分公式与法则1. 微分公式2122.6.3 微分公式与法则2132.6.3 微分公式与法则2. 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数2142.6.3 微分公式与法则例3 设 ，求 解 （方法一）应用微分与导数的关系两边同时对 求导，得所以即2

52、152.6.3 微分公式与法则例3 设 ，求 解 （方法二）应用微分法则两边同时微分，得所以2162.6.3 微分公式与法则例4 设 ，求 设 ，则 ，于是（方法二）利用微分形式的不变性解 （方法一）利用 ，得 2172.6.3 微分公式与法则例5 求 解思考题 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意: 数学中的反问题往往出现多值性.微分的定义01微分的几何意义02目录微分公式与法则03微分在近似计算上的应用04219当很小时,使用原则:得近似等式:2.6.4 微分在近似计算上的应用220例6 求 的近似值 于是解 令 ，那么 2.6.4 微

53、分在近似计算上的应用例7 求 的近似值 于是解 令 ，那么 221事实上，当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得222例8 一平面圆环形,其内半径为10cm，宽为0.1cm，求其面积的近似值于是解 半径为 的圆的面积公式为 ， 2.6.4 微分在近似计算上的应用 而圆环可看作半径为10cm 的圆半径增加0.1cm时面积的改变量 ， 学海无涯，祝你成功！微分中值定理第三章 导数的应用山东信息职业技术学院 基础教学部罗尔中值定理01拉格朗日中值定理02目录柯西中值定理033.1.1 罗尔中值定理定理1（罗尔中值定理） 如果函数 满足条件：226(1)在闭区间 上连续；(2)在开区间 内可导；(3

54、)则在区间 内至少存在一点 ，使 .证:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则因此若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存在一点使则由费马引理得 3.1.1 罗尔中值定理227注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,3.1.1 罗尔中值定理228使2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为在 ( a , b ) 内可导, 且在( a , b ) 内至少存在一点罗尔中值定理01拉格朗日中值定理02目录柯西中值定理033.1.2 拉格朗日中值定理230定理2（拉格朗日中值定理） 如果函数 满足下列条件：(1)在

55、闭区间 上连续；(2)在开区间 内可导,那么在开区间 内至少存在一点 ，使得几何意义 连接曲线两端点的弦 的斜率为 ，显然在曲线上至少存在一点 ，使过该点的切线 斜率为 与弦 平行,即 或3.1.2 拉格朗日中值定理注 在拉格朗日中值定理中，如果再增加一个条件：那么定理的结论正是罗尔定理的结论.231即 罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况.3.1.2 拉格朗日中值定理例1 验证拉格朗日中值定理对于函数 在区间 上的正确性.232满足证 因为 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，拉格朗日中值定理的条件，则在开区间 内至少存在一点 ，使得即 解之得 所以拉格朗日中值定理对于函数 在区间 上的

56、正确性.3.1.2 拉格朗日中值定理例2 利用拉格朗日中值定理证明：当 时， .233证 先证 时的情况.设 ，设 ，因为 在 内的任何有限区间上均满足拉格朗日中值定理的条件，在 内任取 ，在闭区间 上使用拉格朗日中值定理，在开区间 内至少存在一点 ，使得 即 整理得 因为 ， ，所以 .同理可证 时，以上结论仍然成立. 所以当 时， .3.1.2 拉格朗日中值定理推论1 如果 在开区间 内的导数恒为零，那么 在区间234由拉格朗日中值定理可以得到两个非常重要的推论：证 设 ， 是开区间 内的任意两点，且 ，由拉格朗日中值定 内是一个常数.由假定得 ，所以 ，即 因为 ， , 是区间 内的任意

57、两点，所以 理，得3.1.2 拉格朗日中值定理推论2 如果对于开区间 内的任意 ，总有 ，那么在开235证 令 ，因为由推论1可知，在区间 内， ，即 区间 内， 与 之差是一个常数，即 （ 是常数）3.1.2 拉格朗日中值定理设 在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件， 和 是该236即上式也可以看作拉格朗日中值定理使用.区间内的任意两点，在区间 上使用拉格朗日中值定理可得罗尔中值定理01拉格朗日中值定理02目录柯西中值定理033.1.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理） 如果函数 、 在闭区间 上连续，在238在开区间 内可导 , 在 内均不为零，那么在开区间 内至少存在一点 ，使得学海无

58、涯，祝你成功！洛必达法则第三章 导数的应用山东信息职业技术学院 基础教学部3.2 洛必达法则241如果当 （或 时，两个函数 和 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 可能存在，也可能不存在，通常把这类极限叫做未定式，记为 型或 型.例如, 为未定式 型， 为未定式 型.这类极限即使存在，也不能用商的极限的运算法则进行运算,下面介绍求这类极限的极为简便而且非常重要的方法-洛必达法则.3.2 洛必达法则首先讨论 时未定式 型的洛必达法则.242（1） ；定理1 设 、 在 的某一去心邻域内有定义，如果（2） 、 在 的某邻域内可导，且 ；（3） （或无穷大），那么 （或无穷大）3.2 洛必达法则以上

59、定理说明，当 时，求未定式 型的值，在符合条件的情况下，243例1 求 .可以先对分子、分母求导数再求极限,这种在一定条件下先对分子、分母分别求导后再求极限来确定未定式的值的方法叫洛必达法则.解 因为这是未定式 型， 所以3.2 洛必达法则244例2 求 .解 因为这是未定式 型， 所以例3 求 .解 因为这是未定式 型， 所以3.2 洛必达法则245例4 求 .解3.2 洛必达法则对于 时未定式 型的洛必达法则.246（1） 定理2 设 、 在 的某一去心邻域内有定义，如果（2） 、 在 的某邻域内可导，且 ；（3） （或无穷大），那么 （或无穷大）以上讨论的 时未定式 型的洛必达法则对于

60、时未定式 型同样适用.3.2 洛必达法则247例5 求 .解例6 求 .解3.2 洛必达法则248例7 求 （ 为正整数）.解3.2 洛必达法则249其它类型的未定式，如： 型、 型、 型、 型、 型，如果能转化解未定式 型或 型，同样可以使用洛必达法则求极限. 例8 求 .3.2 洛必达法则250解例9 求 .因为 所以 3.2 洛必达法则使用洛必达法则求极限时应注意以下几点：251（1）不满足洛必达法则的，不能使用洛必达法则. （2）若 仍是未定式 型或 型，且满足洛必达法则的条件，可（3）在某些特殊情况下洛必达法则可能失效，此时应寻求其他解法.以继续使用洛必达法则.3.2 洛必达法则25