13控制原理课件-wanghui chapter24

1、2022/8/30Chapter 2-41CHAPTER 2Mathematical Models of Systems By Hui Wang2022/8/30Chapter 2-42Outline of this chapterIntroduction Differential Equation of Physical SystemsTransfer FunctionState Equation of SystemsBlock Diagram, Signal Flow Graphs, LinearizationThe relation of various models Different

2、ial equation Transfer function State equation Block diagram？Can these forms be transformed freely?2022/8/30Chapter 2-43Outline of this chapterThe relation of various models Differential equation Transfer function State equation Block diagram？Can these forms be transformed freely?uniqueNot uniqueUsua

3、lly difficulty to dobridgeUnique?2022/8/30Chapter 2-44State equation modelTransfer function model State equation model Laplace transform Transfer function (matrix for MIMO system) (See P128. 4.18) Unique?2022/8/30Chapter 2-45Transfer function State space equationState space standard forms:Taking Lap

4、lace transform forms(pay attention to )Due to transfer function concept:(matrix)2022/8/30Chapter 2-46Transfer function State space equationState space standard model:Transfer function model:(matrix) When the input u and the output y of the system are scalar quantity (标量), the system is called single

5、 input single output system(simply SISO system), and G(s) is called transfer function. Where control matrix B and output matrix C are vectors (often just represented b and c) . When the input u and the output y of the system are multiple, then the system is called MIMO system. Because of B and C are

6、 matrixes, G(s) is a matrix too, thus , G(s) is called transfer function matrix. 2022/8/30Chapter 2-47Transfer function State space equation(matrix) 式中，adj(sIA)为(sIA)矩阵的伴随矩阵(adjoint)；det(sIA)为矩阵(sIA)的行列式(determinant)。 问题：已知同一系统的状态变量选择是非惟一的，也即状态方程(也即A、B、C、D阵）非惟一，由这些不同的状态方程转化为传递函数时，所得到的该系统的传递函数是同一个吗？

7、关于矩阵运算及符号表达请参见P120126,4.16, 以及复习“线性代数”的相关知识。2022/8/30Chapter 2-48解：由题目可得，这是一个SISO系统，状态空间描述的A ,B ,C分别为Transfer function State space equation【例3】设系统的状态空间描述为求系统的传递函数。（1）先求2022/8/30Chapter 2-49（2）所以系统的传递函数为Transfer function State space equation【例3】设系统的状态空间描述为求系统的传递函数。（3）所以原系统的微分方程为：由已经得到的系统传递函数，很容易地就可以得

8、到代表原动态系统的微分方程模型。2022/8/30Chapter 2-410Review: Examples解：此为相变量的CASE2情况。从前面的推导可知，仍选取相变量为状态变量时，其状态方程与CASE1是一样的，不同的只是输出方程【例2】 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为 式中，u，y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。（3）选状态变量令代入原方程2022/8/30Chapter 2-411Examples即为所求的系统的状态空间描述。可写成标准形式：这里2022/8/30Chapter 2-412将矩阵代入Transfer function State space

9、equation(相变量方法case2)系统的微分方程表示为传递函数2022/8/30Chapter 2-413其他方法【例2】 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为 式中，u，y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。（3）解：采用中文版教材所述方法，选取以下n个变量作为一组状态变量式中计算得2022/8/30Chapter 2-414其他方法可写出该控制系统的状态空间描述为【例2】 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为 式中，u，y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。（3）2022/8/30Chapter 2-415将矩阵代入Transfer functio

10、n State space equation系统的微分方程表示为传递函数其他方法注意：与前不同的地方用了不同颜色表示！结论：代表同一系统的不同状态表达式转换为相同传递函数。2022/8/30Chapter 2-416Transfer function State space equation【例4】 (See P128. 4.18 ) Example (Omitted here) MIMO系统的方块图如图所示Y(s)=G(s)U(s)由图可得2022/8/30Chapter 2-417State equation modelTransfer function model State equat

11、ion model Laplace transform Transfer function (matrix for MIMO system) (See P128. 4.18) Unique?YES. 同一系统的传递函数是相同的。内在的关系?2022/8/30Chapter 2-418状态变换和状态变换中的特征值的不变性(参见中文版P582.7.3, 英文版P160.5.10) 2022/8/30Chapter 2-419特征值与状态变换前面已阐述过，给定系统的状态变量组选择不是唯一的，因此对应的状态方程也不是唯一的。虽然这些状态方程的形式不同。但由于它们所对应的是同一个系统，因此必然有内在的联

12、系，如不同形式之间的相互转换以及转换中的不变量，使得不同形式对应的仍是原来的同一个系统。变换中的不变量即为系统的特征值。状态之间进行的非奇异变换称为状态变换。2022/8/30Chapter 2-420状态变换State space standard model:设Q为任意非奇异nn方阵，用Q对x作线性状态变换（设D0），即或代入原方程或即状态作线性变换后的系统状态方程，其中2022/8/30Chapter 2-421nn维系统矩阵A的特征方程和特征值这些特征值也称为特征根。展开特征方程得：nn维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根：例如，考虑下列矩阵A：特征方程：这里A的特征值就是特征方程的

13、根，即1、2和3。2022/8/30Chapter 2-422nn维系统矩阵A的特征方程和特征值其特征方程：注意到，令G(s)的分母为零，即为红色所示的动态系统的特征方程。而该系统的相变量形式的状态方程我们已经在前面推导过：设控制系统由下列n阶微分方程来描述（注意变量与英文版的下标顺序不同）而传递函数：2022/8/30Chapter 2-423nn维系统矩阵A的特征方程和特征值可见，上式是系统模型三种表达形式（微分方程、传递函数与状态方程）中的一个公共特征。令展开后即为：所以，对nn维系统矩阵A，称 sI-A 为A的特征方阵；行列式detsI-A为A的特征多项式；为A的特征方程；特征方程的根为特征根。2022/8/30Chapter 2-424nn维系统矩阵A的特征方程和特征值所以，系统进行状态变换后，其传递函数也保持不变。设原状态方程特征方程传递函数可见，系统进行状态变换后，其特征方程保持不变，特征根也不变。注意：中文版P59相关公式推导