133《球的表面积与体积》教学设计（人教A版必修2）

1、金太阳新课标资源网 HYPERLINK 第 PAGE 5 页 共 NUMPAGES 5 页 金太阳新课标资源网 HYPERLINK 1.3.3球的表面积与体积教学设计【教学目标】（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.导入新课：复习导入1. 复习柱体、锥体、台体的表面积和体积 2. 复习正方体的表面积和体积公式。新授课阶段1球的体积：2球的表面积：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积，现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函

2、数.例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为，所以，.（2）因为，所以，S球 = S圆柱侧.例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）A6:13 B5:14C3:4 D7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.AOB = 90，OE

3、AB (E为切点)，R2 = OE2 = AEBE = r1r2.由已知S球S圆台侧= 4R2(r1+r2)2 = 34(r1 + r2)2 =V球V圆台 =故选A.例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.解：PA、PB、PC两两垂直，PA = PB = PC = a.以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.又P、A、B、C四点是球面上四点，球是正方体的外接球 ，正方体的对角线是球的直径.小结：1球的体积和表面积；2等积变换；3轴截面的应用。拓展提升：1将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 2.

4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积。3.一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器)。4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积。 5如图所示棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC =，且PD是四棱锥的高。（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径。参考答案1 8倍；23 .1044.【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面【解析】

5、如图，设球心为O，球半径为R，作OO1平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，则O1是ABC的外心。设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1C。设O1M = x，易知O1MAB，则O1A = ，O1C = CM O1M = x又O1A = O1C 解得则O1A = O1B = O1C = 在RtOO1A中，O1O = ，OO1A = 90，OA = R，由勾股定理得解得故5.【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可球心O

6、在过底面中心E且垂直于底面的垂线上【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R，SABCD = a2。VP ABCD = VS PDA + VS PDC + V S ABCD + VS PAB + Vs PBC ，所以，BACDPF即球的最大半径为。（2）法一：设PB的中点为F。因为在RtPDB中，FP = FB = FD，在RtPAB中，FA = FP = FB，在RtPBC中，FP = FB = FC，所以FP = FB = FA = FC = FD所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的