高中数学必修二 6.1 平面向量的概念（含答案）

1、 6.1平面向量的概念导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念【自主学习】知识点1 向量既有大小，又有方向的量叫做向量知识点2 向量的几何表示以A为起点、B为终点的有向线段记作eq o(AB,sup6().知识点3 向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做

2、单位向量(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量记法：向量a平行于向量b，记作ab.规定：零向量与任一向量平行【合作探究】探究一 向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量分析解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断

3、真假解(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系(3)不正确依据规定：0与任意向量平行(4)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定(5)正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的归纳总结：1判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：是否有大小，是否有方向.2注意两个特殊向量：零向量和单位向量.3注意平行向量与共线向量的含义.【练习1-1】下列物理量中不是向量的有( )质量；速度；力；加速度；路程；密度；功；电流强度A5个B4个 C3个D2个解析：(1)看一个量是否

4、为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，既有大小也有方向，是向量，只有大小没有方向，不是向量【练习1-2】在下列命题中，真命题为( )A两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B向量 eq o(AB,sup6()与向量 eq o(BA,sup6()的长度相等C向量就是有向线段D零向量是没有方向的解析：(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C错误，故选B.探究二 向量的几何表示【例2】一辆汽车

5、从A点 HYPERLINK 出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量eq o(AB,sup6()、eq o(BC,sup6()、eq o(CD,sup6()；(2)求|eq o(AD,sup6()|.解(1)向量eq o(AB,sup6()、eq o(BC,sup6()、eq o(CD,sup6()如图所示(2)由题意，易知eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()方向相反，故eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()共线，又|eq o(AB,sup6()

6、|eq o(CD,sup6()|，在四边形ABCD中，AB綊CD.四边形ABCD为平行四边形eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，|eq o(AD,sup6()|eq o(BC,sup6()|200 km.归纳总结：1用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.2作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.【练习2】在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|eq r(5)，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(

7、1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为eq r(5)的圆(作图略)探究三 相等向量和共线向量【例3】如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点(1)写出与eq o(EF,sup6()共线的向量；(2)写出与eq o(EF,sup6()的模大小相等的向量；(3)写出与eq o(EF,sup6()相等的向量解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊eq f(1,2)BC.又因为D是BC的中点，所以与eq o(EF,sup6()共线的向量有：eq o(FE,sup

8、6()，eq o(BD,sup6()，eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CD,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CB,sup6().(2)与eq o(EF,sup6()模相等的向量有：eq o(FE,sup6()，eq o(BD,sup6()，eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CD,sup6().(3)与eq o(EF,sup6()相等的向量有：eq o(DB,sup6()与eq o(CD,sup6().归纳总结：1.共线向量和相等向量有何关系？共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.2.如

9、何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？证明线段相等，只要证明相应的向量长度模相等.证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.【练习3】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与eq o(OA,sup6()、eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6()相等的向量解eq o(OA,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DO,sup6()；eq o(OB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(EO,sup6()；eq o(OC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(FO,sup6().

10、课后作业A组 基础题一、选择题1下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程其中是向量的有()A2个 B3个 C4个 D5个答案C解析是向量2下列说法中正确的个数是()零向量是没有方向的；零向量的长度为0；零向量的方向是任意的；单位向量的模都相等A0 B1 C2 D3答案D3给出下列三个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，则四边形ABCD是正方形其中不正确的命题的个数为()A2个 B3个 C0个 D1个答案B4下列说法正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但

11、同向的可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小答案D解析A中不管向量的方 HYPERLINK 向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确5如图，在四边形ABCD中，若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，则图中相等的向量是()A.eq o(AD,sup6()与eq o(CB,sup6() B.eq o(OB,sup6()与eq o(OD,sup6()C.eq o(AC,sup6

12、()与eq o(BD,sup6() D.eq o(AO,sup6()与eq o(OC,sup6()答案D解析eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD互相平分，eq o(AO,sup6()eq o(OC,sup6().6设O是正方形ABCD的中心，则向量eq o(AO,sup6()，eq o(BO,sup6()，eq o(OC,sup6()，eq o(OD,sup6()是()A相等的向量 B平行的向量C有相同起点的向量 D模相等的向量答案D解析这四个向量的模相等7若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|

13、b|1，其中正确的是()A B C D答案B解析a为任一非零向量，故|a|0.8.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则()A.eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()B.eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()C.eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()D.eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6()答案D解析由平面几何知识知，eq o(AD,sup6()与eq o(BC,sup6()方向不同，故eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()；eq o

14、(AC,sup6()与eq o(BD,sup6()方向不同，故eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()；eq o(PE,sup6()与eq o(PF,sup6()模相等而方向相反，故eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()；eq o(EP,sup6()与eq o(PF,sup6()模相等且方向相同，eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6().二、填空题9如图，在ABC中，若DEBC，则图中所示向量中是共线向量的有_答案eq o(ED,sup6()与eq o(CB,sup6()，eq o(AD,sup6()与eq o(BD,sup6()，eq o(A

15、E,sup6()与eq o(CE,sup6()解析观察图形，并结合共线向量的定义可得解10在四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，则四边形ABCD的形状是_答案梯形解析eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，ABDC，但ABDC，四边形ABCD是梯形三、解答题11.如图，在四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，N、M分别是AD、BC上的点，且eq o(CN,sup6()eq

16、o(MA,sup6().求证：eq o(DN,sup6()eq o(MB,sup6().证明eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|且ABCD，四边形ABCD是平行四边形，|eq o(DA,sup6()|eq o(CB,sup6()|，且DACB.又eq o(DA,sup6()与eq o(CB,sup6()的方向相同，eq o(CB,sup6()eq o(DA,sup6().同理可证，四边形CNAM是平行四边形，eq o(CM,sup6()eq o(NA,sup6().|eq o(CB,sup6()|eq o(DA

17、,sup6()|，|eq o(CM,sup6()|eq o(NA,sup6()|，|eq o(DN,sup6()|eq o(MB,sup6()|.DNMB且eq o(DN,sup6()与eq o(MB,sup6()的方向相同，eq o(DN,sup6()eq o(MB,sup6().12某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点(1)作出向量eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CD,sup6().(2)求eq o(AD,sup6()的模解(1)作出向量eq o(AB,s

18、up6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CD,sup6()如图所示：(2)由题意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10eq r(2)米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以ADeq r(52102)5eq r(5)(米)所以|eq o(AD,sup6()|5eq r(5)米13.一辆消防车从A地去B地执行 HYPERLINK 任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)在如图所示的坐标系中画出eq o(AD,sup6()，

19、eq o(DC,sup6()，eq o(CB,sup6()，eq o(AB,sup6()；(2)求B地相对于A地的位置向量解(1)向量eq o(AD,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CB,sup6()，eq o(AB,sup6()如图所示(2)由题意知eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60，6千米”B组 能力提升一、选择题1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较

20、大小；若（为实数），则必为零；已知，为实数，若，则与共线，其中错误命题的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】对于，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，错误；对于，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，正确；对于，时为实数），或，错误；对于，若时，此时与不一定共线，错误；综上，其中错误命题为，共3个故选：2.有下列命题：若向量与同向，且，则；若四边形是平行四边形，则；若，则；零向量都相等.其中假命题的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】对于，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故是假命题；对于，在平行四边形中，是大小相等，方向相反的向量

21、，即，故是假命题；对于，显然若，则，故是真命题；对于，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故是假命题.故选：C.3.下列命题中正确的是( )A若，则B若，则C若，则与可能共线D若，则一定不与共线【答案】C【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C4.给出下列四个命题：若，则；若，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；若，则；的充要条件是且.其中正确命题的序号是( )ABCD【答案

22、】A【解析】不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.，且，又，是不共线的四点，四边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则，且方向相同，因此.正确.，的长度相等且方向相同，又，的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同，故.不正确.当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.故选：A.二、填空题5已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|eq o(BD,sup6()|_.答案2eq r(3)解析易知A HYPERLINK CBD，且ABD30，设AC与BD交于点O，则AOeq f(1,2)AB1.在RtABO中，易得|eq o(BO,sup6()|eq r(3)，|eq o(BD,sup6()|2|eq o(BO,sup6()|2