高中数学必修二 4 第4课时三角形中的几何计算

1、第4课时三角形中的几何计算考点学习目标核心素养有关三角形面积的计算掌握三角形的面积公式的简单推导和应用逻辑推理、数学运算三角形的综合问题能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题数学运算 问题导学预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题：如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？三角形的面积公式(1)Seq f(1,2)ahaeq f(1,2)bhbeq f(1,2)chc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)(2)Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin B.(3)Seq f(1,2)(abc)r(r为A

2、BC内切圆的半径)名师点拨 三角形的面积公式Seq f(1,2)absin C与原来的面积公式Seq f(1,2)ah(h为a边上的高)的关系为hbsin C，实质上bsin C就是ABC中a边上的高 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形()(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积()(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积()答案：(1)(2)(3) 在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC的值为()A.eq f(1,2)B.eq f(r(3),2)C.eq r(3) D2eq r(3)解析：选B.SABCeq f(1,2)ABACsin

3、Aeq f(1,2)12eq f(r(3),2)eq f(r(3),2). 已知ABC的面积为eq f(3,2)，且b2，ceq r(3)，则A()A30 B60C30或150 D60或120解析：选D.由SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(3,2)，得eq r(3)sin Aeq f(3,2)，sin Aeq f(r(3),2)，由0A180，知A60或A120. 在ABC中，A30，AB2，BC1，则ABC的面积为_解析：由eq f(BC,sin A)eq f(AB,sin C)，知sin C1，则C90，所以B60，从而SABCeq f(1,2)ABBCsin Beq f(

4、r(3),2).答案：eq f(r(3),2)与三角形面积有关的计算问题(1)(2019湖南娄底重点中学期末)在ABC中，已知BC6，A30，B120，则ABC的面积等于()A9B18C9eq r(3) D18eq r(3)(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c2，Ceq f(,3)，且SABCeq r(3)，则a_，b_【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，得eq f(AC,sin B)eq f(BC,sin A)，所以ACeq f(BCsin B,sin A)eq f(6sin 120,sin 30)6eq r(3).又因为C1801203030，所以SABCeq

5、 f(1,2)6eq r(3)6eq f(1,2)9eq r(3).(2)由余弦定理，得a2b2ab4，又ABC的面积等于eq r(3)，所以eq f(1,2)absin Ceq r(3)，得ab4，联立方程组eq blc(avs4alco1(a2b2ab4,ab4)，解得a2，b2.【答案】(1)C(2)22三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则

6、需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解eq avs4al() 1(2019黑龙江大庆中学期中)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a7，b3，c8，则ABC的面积等于()A12 Beq f(21,2)C28 D6eq r(3)解析：选D.在ABC中，由余弦定理可得64499273cos C，所以cos Ceq f(1,7)，所以sin Ceq f(4r(3),7)，所以SABCeq f(1,2)absin C6eq r(3)，故选D.2如图，四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()Aeq r(3) B5eq r(3)

7、C6eq r(3) D7eq r(3)解析：选B.连接BD，在BCD中，由已知条件，知DBCeq f(180120,2)30，所以ABD90.在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C，知BD22222222cos 12012，所以BD2eq r(3)，所以S四边形ABCDSABDSBCDeq f(1,2)42eq r(3)eq f(1,2)22sin 1205eq r(3).3在ABC中，A60，b1，ABC的面积为eq r(3)，则边a的值为_解析：由SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)csin 60eq r(3)，得c4，因为a2b2c22bcc

8、os A1168cos 6013，所以aeq r(13).答案：eq r(13)三角形中的线段长度和角度的计算已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积【解】(1)连接BD，则由题设及余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos Ceq f(1,2)，故C60，BDeq r(7). (2)四边形ABCD的面积Seq f(1,2)ABDAsin Aeq f(1,2)BCCDsin Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)12f

9、(1,2)32)sin 602eq r(3).三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件eq avs4al() 已知四边形ABCD满足BAD90，BCD150，DAC60，AC2，ADeq r(3)1.求CD的长和ABC的面积解：在ACD中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcosCAD6，所以CDeq r(6).在ACD中，由正弦定理得eq f(CD,sinCAD)eq f(AC,sinADC)，则sinADCeq f(r

10、(2),2)，又0ADC0，所以cos Beq f(1,2).又B(0，)，所以Beq f(2,3).(2)由SABCeq f(1,2)acsin Beq r(3)，得ac4.又b2a2c2ac(ac)2ac16.所以ac2eq r(5)，所以ABC的周长为42eq r(5).变条件、变问法在本例(2)中，去掉条件“ABC的面积为eq r(3)”，求(1)ABC周长的取值范围；(2)ABC面积的最大值解：(1)由余弦定理得b2a2c22accos B，即b2a2c2ac.又b4，所以16a2c2ac(ac)2ac(ac)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(ac,2)eq sup12

11、(2).所以eq f(3,4)(ac)216，所以(ac)2eq f(64,3).即4aceq f(8r(3),3).所以8abc4eq f(8r(3),3).(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，即b2a2c2ac，又b4，所以16a2c2ac2acac3ac，即aceq f(16,3).所以SABCeq f(1,2)acsin Beq f(1,2)eq f(16,3)eq f(r(3),2)eq f(4r(3),3).即ABC面积的最大值为eq f(4r(3),3).解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系

12、在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解eq avs4al() 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知Aeq f(,4)，bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)C)csineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)B)a.(1)求证：BCeq f(,2)； (2)若aeq r(2)，求ABC的面积解：(1)证明：由bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)C)csineq

13、 blc(rc)(avs4alco1(f(,4)B)a及正弦定理，得sin Bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)C)sin Csineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)B)sin A，即sin Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin Cf(r(2),2)cos C)sin Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin Bf(r(2),2)cos B)eq f(r(2),2)，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0Beq f(3,4)，0Ceq f(3,4)，从而B

14、Ceq f(,2).(2)因为BCAeq f(3,4)，BCeq f(,2)，所以Beq f(5,8)，Ceq f(,8).由aeq r(2)，Aeq f(,4)，得beq f(asin B,sin A)2sineq f(5,8)，ceq f(asin C,sin A)2sineq f(,8)，所以ABC的面积Seq f(1,2)bcsin Aeq r(2)sin eq f(5,8)sin eq f(,8)eq r(2)coseq f(,8)sin eq f(,8)eq f(1,2).1在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABCeq f(r(3),2)，则边BC的长为()Aeq r(3

15、)B3Ceq r(7) D7解析：选A.因为SABCeq f(1,2)ABACsin A，所以eq f(1,2)2ACsin 60eq f(r(3),2).所以AC1.又BC2AB2AC22ABACcos A4122cos 603.所以BCeq r(3).2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.b2，Beq f(,6)，Ceq f(,4)，则ABC的面积为()A22eq r(3) Beq r(3)1C2eq r(3)2 Deq r(3)1解析：选B.由正弦定理，得eq f(c,sinf(,4)eq f(2,sinf(,6)，解得c2eq r(2).又Aeq f(,6)eq f(,4

16、)eq f(7,12)，则ABC的面积Seq f(1,2)bcsineq f(7,12)eq r(3)1.3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ceq r(3)，b1，C120.(1)求B的大小；(2)求ABC的面积S.解：(1)由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得sin Beq f(bsin C,c)eq f(1,2)，因为在ABC中，bc且C120，所以B30.(2)因为ABC180，所以A1801203030，所以Seq f(1,2)bcsin Aeq f(r(3),4).A基础达标1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a4

17、，b3，C60，则ABC的面积为()A3B3eq r(3)C6 D6eq r(3)解析：选B.ABC的面积为eq f(1,2)absin Ceq f(1,2)43eq f(r(3),2)3eq r(3).2在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为()Aeq f(1,2) Beq f(1,4)C1 D2解析：选A.由cos 2Asin A，得12sin2 Asin A，解得sin Aeq f(1,2)或sin A1(舍去)，所以SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)2eq f(1,2)eq f(1,2).3在ABC中，已

18、知b2bc2c20，且aeq r(6)，cos Aeq f(7,8)，则ABC的面积等于()Aeq f(r(15),2) Beq r(15)C2 D3解析：选A.因为b2bc2c20，所以(b2c)(bc)0，所以b2c.由a2b2c22bccos A，解得c2，b4，因为cos Aeq f(7,8)，所以sin Aeq f(r(15),8)，所以SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)42eq f(r(15),8)eq f(r(15),2).4已知ABC的周长为20，面积为10eq r(3)，A60，则BC边的长为()A5 B6C7 D8解析：选C.由题设abc20，eq

19、f(1,2)bcsin 6010eq r(3)，所以bc40.a2b2c22bccos 60(bc)23bc(20a)2120.所以a7.即BC边的长为7.5在ABC中，若b2，A120，其面积Seq r(3)，则ABC外接圆的半径为()Aeq r(3) B2C2eq r(3) D4解析：选B.因为Seq f(1,2)bcsin A，所以eq r(3)eq f(1,2)2csin 120，所以c2，所以aeq r(b2c22bccos A)eq r(44222blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq r(3)，设ABC外接圆的半径为R，所以2Req f(a,sin A)eq f(

20、2r(3),f(r(3),2)4，所以R2.6在ABC中，a3eq r(2)，b2eq r(3)，cos Ceq f(1,3)，则ABC的面积为_解析：因为cos Ceq f(1,3)，0C0，所以SABCeq f(1,2)ABACsin A10eq r(3)k210eq r(3)，所以k1，AB8，AC5，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A8252285eq f(1,2)49，所以BC7，所以ABC的周长为ABBCAC20.答案：209设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Beq f(4,5)，b2.(1)当Aeq f(,6)时，求a的值； (2)若AB

21、C的面积为3，求ac的值解：(1)因为cos Beq f(4,5)0，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以sin Beq f(3,5).由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得eq f(a,sin f(,6)eq f(10,3)，解得aeq f(5,3).(2)由ABC的面积Seq f(1,2)acsin B，得eq f(1,2)aceq f(3,5)3，得ac10.由余弦定理b2a2c22accos B，得4a2c2eq f(8,5)aca2c216，即a2c220，所以(ac)22ac20，即(ac)240，所以ac2eq r(10

22、).10(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin eq f(AC,2)bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理得sin Asineq f(AC,2)sin Bsin A.因为sin A0，所以sineq f(AC,2)sin B.由ABC180，可得sineq f(AC,2)coseq f(B,2)，故coseq f(B,2)2sineq f(B,2)coseq f(B,2).因为coseq f(B,2)0，故sineq f(B,2)eq f(1,2)，因此B60.(2)由题设及(1)

23、知ABC的面积SABCeq f(r(3),4)a.由正弦定理得aeq f(csin A,sin C)eq f(sin（120C）,sin C)eq f(r(3),2tan C)eq f(1,2).由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故eq f(1,2)a2，从而eq f(r(3),8)SABCeq f(r(3),2).因此，ABC面积的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)，f(r(3),2).B能力提升11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c2，Ceq f(,3)，且ab3，则ABC的面积为()

24、A.eq f(13r(3),12) B.eq f(5r(3),4)C.eq f(5,12) D.eq f(5r(3),12)解析：选D.由余弦定理得c2a2b22abcos C，所以22a2b22abcoseq f(,3)，即4(ab)23ab，又ab3，所以abeq f(5,3)，所以SABCeq f(1,2)absineq f(,3)eq f(5r(3),12)，故选D.12(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，Beq f(,3)，则ABC的面积为_解析：由余弦定理得b2a2c22accos B，又因为b6，a2c，Beq f(,3)，所以36

25、4c2c222c2eq f(1,2)所以c2eq r(3)，a4eq r(3)，所以SABCeq f(1,2)acsin Beq f(1,2)4eq r(3)2eq r(3)eq f(r(3),2)6eq r(3).答案：6eq r(3)13(2019株洲二中期末)如图，在ABC中，D是AC边上的点，且ABADeq f(r(3),2)BD，BC2BD，则sin C的值是_解析：设ABx，则ADx，BDeq f(2r(3),3)x，BCeq f(4r(3),3)x.在ABD中，由余弦定理，得cos Aeq f(x2x2f(4,3)x2,2x2)eq f(1,3)，则sin Aeq f(2r(2),3).在ABC中，由正弦定理，得eq f(x,sin C)eq f(BC,sin A)eq f(f(4r(3),3)x,f(2r(2),3)，解得sin Ceq f(r(6),6).答案：eq f(r(6),6)14.如图，在ABC中，点D在BC边上，CADeq f(,4)，ACeq f(