2023年湖南省常德市大南湖中学高二数学理联考试卷含解析

1、2023年湖南省常德市大南湖中学高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设关于x、y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，求得m的取值范围是（ ）ABCD参考答案：C画出不等式组表示的区域及直线如图，结合图形可知点能使得，即故选2. 四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A4 B24 C43 D34参考答案：C略3. 对任意实数x，若不等式4xm?2x+10恒成立，则实数m的取值范围是（）Am2B2m2Cm2D2m2参考答案：B【考点】指、对数不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综

2、合法；不等式的解法及应用【分析】由已知（2x）2m?2x+10恒成立，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围【解答】解：对任意实数x，不等式4xm?2x+10恒成立，（2x）2m?2x+10恒成立，=m240，解得2m2故选：B【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用4. 在ABC中,A=120,b=1，面积为3，则 （ ）A. 23 B. 29 C. 27 D. 47参考答案：C5. 已知数列an）中，a1=2，an=1（n2），则a2017等于（）ABC1D2参考答案：D【考点】数列的概念及简单表示法【分析】利用数列递推关系可得an+3=

3、an，再利用周期性即可得出【解答】解：数列an）中，a1=2，an=1（n2），a2=1=1=，a3=1=12=1，a4=1=1（1）=2，an+3=an，a2017=a3672+1=a1=2故选：D6. 已知点满足条件，点，且的最大值为， 则的值等于A B1 C D参考答案：D略7. 分别是双曲线的左右焦点，以O为圆心, 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,若三角形的面积为3,则双曲线离心率为ABC D2参考答案：D8. 在中，a=15,b=10,A=60，则=( )A. B. C. D. 参考答案：D【分析】利用正弦定理即可得到，进而得到结果.【详解】由正弦定理得，考点：正弦定理解三角

4、形9. 抛物线y2=2x的焦点到直线xy=0的距离是（）ABCD参考答案：C【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的方程，求得焦点坐标，根据点到直线的距离公式，即可求得答案【解答】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），由点到直线的距离公式可知：F到直线xy=0的距离d=，故答案选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题10. (2x)9的展开式中，常数项为()A672 B672 C288 D288参考答案：B试题分析：Tr1 (2x)9r()r(1)r29rx9r，令9r0，得r6.常数项为238672.考点：二项式定理二、 填空题:本大题共7

5、小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是参考答案：，1）【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】设g（x）=ex（2x1），y=axa，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=axa的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围【解答】解：函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，设g（x）=ex（2x1），y=axa，存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=axa的下方，g（x）=ex（2x+1），当

6、x时，g（x）0，当x=时，g（x）min=g（）=2e当x=0时，g（0）=1，g（1）=e0，直线y=axa恒过（1，0），斜率为a，故ag（0）=1，且g（1）=3e1aa，解得a的取值范围是，1）故答案为：，1）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用12. 双曲线的渐近线方程是 .参考答案：13. 函数在（1，+）上是增函数，则实数的取值范围是_.参考答案：.略14. 在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数m的值为 参考答案：1可化为，点到直线：，的距离为2，又 ，m=1.15. 已知x，y满足约束条件，若yx的最大值是a，则二

7、项式（ax）6的展开式中的常数项为 .（用数字作答）参考答案：540【考点】7C：简单线性规划【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合yx的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项【解答】解：已知得到可行域如图：设z=yx变形为y=x+z，当此直线经过图中B（0，3）时，直线在y轴的截距最大，z最大，所以z 的最大值为3，所以a=3，二项式（3x）6的通项为，所以r=3时，展开式中的常数项为=540；故答案为：540【点评】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出a，然后由二项展开式通项求常数项16. 已知实数x，y满足约束条件，则z =2x+y的最小值

8、为 .参考答案：-317. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形的面积不改变；棱始终与水面平行；当时，是定值其中正确的说法是_参考答案：正确，由面面平行性质定理知：当固定时，在倾斜的过程中，且平面平面，水的形状或棱柱状错误，水面四边形改变正确，水面，水面正确，水量是定值，且高不变，底面面积不变，当时，是定值，综上正确的有三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列

9、an的前k项和Sk=35，求k的值参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d由a1=1，a3=3，可得1+2d=3，解得d=2，从而，an=1+（n1）（2）=32n

10、；（II）由（I）可知an=32n，所以Sn=2nn2，进而由Sk=35，可得2kk2=35，即k22k35=0，解得k=7或k=5，又kN+，故k=7为所求19. 已知抛物线的焦点为F，准线为，点，A在上的射影为B，且是边长为4的正三角形.（1）求p；（2）过点F作两条相互垂直的直线与C交于P，Q两点，与C交于M，N两点，设的面积为的面积为（O为坐标原点），求的最小值.参考答案：（1）2；（2）16.【分析】（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得 .（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【详解

11、】（1）解：设准线与轴交点为点，连结，因为是正三角形，且，在中，所以.（2）设，直线，由知，联立方程：，消得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.【点睛】圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.20. 如图四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上（1）求证：ABPC（2）若二面角MACD的大小为45，求BM与平面PAC所成的角的正弦值参考答案：【考点】与二面角有关

12、的立体几何综合题【分析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明ABPC，只需证明AB平面PAC，只需证明ABAC，ABPA（2）设ACBD=O，连接OP，过点M作MNAD，过点N作NGAC于G，连接MG，证明MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值【解答】（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，ADEC，四边形AECD为平行四边形，AEBCAE=BE=EC=2，ABC=ACB=45，ABAC，PA平面ABCD，AB?平面ABCD，ABPAACPA=A，

13、AB平面PAC，ABPC（2）设ACBD=O，连接OP，过点M作MNAD，过点N作NGAC于G，连接MG，则MNPA，由PA平面ABCD，可得MN平面ABCD，MNAC，NGAC，MNNG=N，AC平面MNG，ACMG，MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45设MN=x，则NG=AG=x，AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB平面PAC，BHA是BM与平面PAC所成的角在ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，cosABM=，BHA与ABM互余，BM与平面PAC所成的角的正弦值为21. （本小题满分10分）求抛物线与直线围成的平面图形的面积.参考答案：略22. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中