2022年高考中的圆锥曲线与方程试题汇编大全

1、2007年高考中的“圆锥曲线与方程”试题汇编大全一、选择题：1.(2007安徽文)椭圆的离心率为（ A ）（A）（B）（C）（D）2.(2007安徽理)如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）（A）（B）（C）（D）3（2007北京文)椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（D）4.（2007福建文)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ B ）A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y

2、2+4x+5=05.（2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ A ）A B C D 6（2007江苏）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）A B C D7(2007海南、宁夏文、理)已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（C）8.(2007湖北理)双曲线C1：（a0,b0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则等于（ A ）A.-1 B.1 C. D.9（2007湖南文）设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，

3、且，则椭圆的离心率是(D ) A B. C. D. 10（2007湖南理）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）ABCD11（2007江西文）连接抛物线x24y的焦点F与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（ ）A1 B C1 D12（2007江西文、理）设椭圆的离心率为e，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) （ ）A必在圆x2y22上 B必在圆x2y22外C必在圆x2y22内 D以上三种情形都有可能13（2007辽宁文）双曲线的焦

4、点坐标为（C ）A，B，C，D，14（2007辽宁理）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ B ）ABCD15.（2007全国文、理）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A） （B） （C） （C）16.（2007全国文、理）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl,满足为K，则AKF的面积是（ ）（A）4 （B）3 (C) 4 (D)817.（2007全国文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ D ）(A)(B)(C) (D) 18.（2007全国文）设

5、F1,F2分别是双曲线x2-=1的左右焦点，若点P在双曲线上,且，则（ B ） (A)(B)2 (C) (D) 219.（2007全国理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ B ）(A)(B) (C) (D) 20.（2007全国理）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ B ）(A)9(B)6(C) 4(D) 321（2007山东文）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ B ）A B C D22.（2007

6、陕西文、理）抛物线的准线方程是（ ）（A）（B） （C）（D）23.（2007陕西文、理）已知双曲线C0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）（A）a(B)b(C)(D)24.（2007四川文、理）如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（ A ）(A) (B) (C) (D)25.（2007四川文、理）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ C ）（A）3（B）4（C）（D）26.（2007天津文、理）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（D） 27.（2007浙江文、理）已知双

7、曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（B）28.（2007重庆文）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ C ）（A）（B）（C）（D）二、填空题：1.（2007福建文)已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。2.（2007福建理)已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为；3( 2007广东文)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 4. (2007广东理)在平面直角坐标系中，有一

8、定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 x= - .5(2007海南、宁夏文、理)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为36.（2007湖北文）过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左焦点M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|-|NF2|-|MN|的值为 8 。7.（2007江苏）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则5/4.8（2007辽宁文、理）设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= 2 9.（2007山东理）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点

9、，与x轴正向的夹角为60,则为 .10.（2007上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 11.（2007上海理）以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 12.（2007重庆理）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|FQ|的值为_.三、解答题：1.（2007安徽文)（本小题满分14分）设F是抛物线G:x2=4y的焦点.（）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：（）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.1.本小题主要考查抛物线的

10、方程与性质，抛物线的切点和焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力，本小题满分14分.解：（）设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为即因为点P（0，-4）在切线上，所以所以切线方程为y=2x-4.()设由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k0.因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.点A，C的坐标满足方程组得由根与系数的关系知同理可求得当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.2. (2007安徽理) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y0）.以原点

11、为圆心，以t（t 0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（）设曲线G上点D的横坐标为a2，求证：直线CD的斜率为定值.2.本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分.解：（）由题意知，A（）.因为由于由点B（0，t）C（c,0）的坐标知，直线BC的方程为又因点A在直线BC上，故有将（1）代入上式，得解得（）因为所以直线CD的斜率为定值.3（2007北京文、理)（本小

12、题共14分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上（ = 1 * ROMAN I）求边所在直线的方程；（ = 2 * ROMAN II）求矩形外接圆的方程；（ = 3 * ROMAN III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程3解：（ = 1 * ROMAN I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为（ = 2 * ROMAN II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（ = 3 * ROMAN III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因

13、为动圆与圆外切，所以，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为4.（2007福建文)（本小题满分14分）如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且（I）求动点P的轨迹C的方程;（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M. （1）已知的值;(2)求|的最小值.4.本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：(x+1,0)(2,-y

14、)=(x-1,y)(-2,y),化简得C：y2=4x.(II)（1）设直线AB的方程为：x=my+1(m0).设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.联立方程组,消去x得：y2-4my-4=0,=(-4m)2+120,由得：，整理得：,=-2-=0.解法二：（I）由，=0,所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.(II)(1)由已知则：过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,则有：由得：（II）（2）解：由解法一：（）2|y1-yM|y2-yM| =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2| =(1+m2)|-4+4m+| = =4(

15、2+m2+)4(2+2)=16.当且仅当，即m=1时等号成立，所以最小值为16.5.（2007福建理)（本小题满分12分）如图，已知点F（1，0），直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且。 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。5本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力满分14分解法一：（）设点，则，由得：，化简得PBQMFOAxy（）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所

16、以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即6.( 2007广东文、理)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 (1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.6.【解析】(1)设圆的方程为2分 依题意,5分 解得,故所求圆的方程为7分 (注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!) (2)由椭圆的第一定义可得,故椭

17、圆方程为,焦点9分 设,依题意, 11分 解得或(舍去) 13分 存在使得该点到右焦点F的距离等于的长。14分7(2007海南、宁夏文)（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点（）求的取值范围；（）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由7解：（）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为代入圆方程得，整理得直线与圆交于两个不同的点等价于，解得，即的取值范围为（）设，则，由方程，又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知，故没有符合题意的常数8(2007海南、宁夏理)（本小题满分12分）在平面直角坐标

18、系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（ = 1 * ROMAN I）求的取值范围；（ = 2 * ROMAN II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由8解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程，又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数9. （2007湖北文、理）（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于A、B两点.（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB 面

19、积的最小值;（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的张长恒为定值？若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图） 9.本小题主要考查直线、圆和抛物线平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x1y1），B（x2,y2）,直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是SABN=SBCN+SCAN =p|x1-x2|=p 令a-得a=此时|PQ|=p为定值，故满足条

20、件的直线l存在.其方程为y=即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得|AB|=又由点到直线的距离公式得d=从而，SABC=d|AB|= =2p2当k=0时，（SABN）min=2()假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为（x-0）(x-x1)+(y-p)(y-y1)=0,将直线方程y=a代入代x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,则=x-4(a-p)(a-y1)=4设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3,y3）,Q(x4,y4),则有令a-此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=即抛物线的通径所在的直线.10.（

21、2007湖南文）（本小题满分3分）已知双曲线的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）.（）证明为常数；（）若动点（其中为坐标原点），求点的轨迹方程. 10解：由条件知，设，（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，此时当不与轴垂直时，设直线的方程是代入，有则是上述方程的两个实根，所以，于是综上所述，为常数（II）解法一：设，则，由得：即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是解法二：同解法一得当不与轴垂直时，由（I） 有由得当时，由得，将其代入有整理得当时

22、，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是11（2007湖南理）（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由11解：由条件知，设，解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实

23、根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，以上同解法一的（II）12、（2007江苏）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（5分）（

24、2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）12.解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。13（2007江西文）（本小题满分14分） 设动点P到两定点F1(l，0)和F2(1，0)的距离分别为d1和d2，F1PF22，且存在常数(01)，使得d1d2 sin2 （1）证明：动点P的轨迹C为

25、双曲线，并求出C的方程； （2）如图，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两 点问：是否存在，使F1AB是以点B为直角定点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由13解：（1）在中，（小于的常数）故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线方程为（2）方法一：在中，设，假设为等腰直角三角形，则由与得，则由得，故存在满足题设条件方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得所以，则由，可设，则，则由得根据双曲线定义可得，平方得：由消去可解得，故存在满足题设条件14（2007江西理）（本小题满分12分）设动点P到点A(l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，APB2，且存在常数(

26、01)，使得d1d2 sin2 （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； （2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使0，其中点O为坐标原点14解法一：（1）在中，即，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线方程为：（2）设，当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上即，因为，所以当不垂直于轴时，设的方程为由得：，由题意知：，所以，于是：因为，且在双曲线右支上，所以由知，解法二：（1）同解法一（2）设，的中点为当时，因为，所以；当时，又所以；由得，由第二定义得所以于是由得因为，所以，又，解得：由知15（2007辽宁文、理）（本小题满分14分）已知正三角形的三个顶点

27、都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值15.本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。（）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知，解得，所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为4分解法二：设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知又因为，可得，即。由，可知x10，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴

28、上，设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为。4分（）解：设ECF2a，则8分在RtPCE中，由圆的几何性质得10分所以，由此可得.故的最大值为，最小值为.14分16.（2007全国文、理）(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P.()设P点的坐标为（x0，y0），证明：；()求四过形ABCD的面积的最小值.16.证明：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交

29、于点，且的斜率为所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为17.（2007全国文、理）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。17解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即得圆的方程为（2）不妨设由即得设，由成等比数列，得，即 由于点在圆内，故由此得所以的取值范围为18（2007山东文、理）（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，

30、最小值为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标18解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（2）设联立得，则又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即解得：，且均满足当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为19.（2007陕西文、理）(本小题满分14分)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.19（

31、本小题满分14分）解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值20（2007上海文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中， 如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点yO.Mx.（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是

32、“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标20解：（1） ，于是，所求“果圆”方程为， （2）设，则 ， ， 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时，在点或处 （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可 当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或 21（2007上海理）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的

33、曲线称作“果圆”，其中，如图，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”与，轴的交点yO.x.（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由21 解：（1） ， 于是，所求“果圆”方程为 ， （2）由题意，得 ，即 ，得 又 （3）设“果圆”的方程为， 记平行弦的斜率为当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是 的中点满足 得 ， 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上 当时

34、，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上 22.（2007四川文）(本小题满分12分)求F1、F2分别是横线的左、右焦点.（）若r是第一象限内该数轴上的一点，其PFPF，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.22.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知所以，设，则由题意知，即，又 从而，而 故点的坐标是解

35、法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或 又又，即 故由、得或23.（2007四川理）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.23.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显

36、然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或24.（2007天津文）（本小题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则24.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分14分（）证法一：由题设及，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有，解得，从而得到，直线的方程为，整理得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点

37、作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圆上的任意点处的切线方程为当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解当时，由式得代入式，得，即，于是，若，则所以，由，得在区间内此方程的解为当时，必有，同理求得在区间内的解为另一方面，当时，可推出，从而综上所述，使得所述命题成立25.（2007天津理）（本小题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程25本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的

38、方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分14分（）证法一：由题设及，不妨设点，其中由于点在椭圆上，有，即解得，从而得到直线的方程为，整理得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入上式并化简得，即证法二：同证法一，得到点的坐标为过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，点的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得，于是，由式得由知将式和式代入得，将代入上式，整理得当时，直线的方程为，的坐标满足方程组所以，由知，即，解得这时，点的坐标仍满足综上，点的轨迹方程为解法二

39、：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为记（显然），点的坐标满足方程组由式得由式得将式代入式得整理得，于是由式得由式得将式代入式得，整理得，于是由知将式和式代入得，将代入上式，得所以，点的轨迹方程为（第26题）26.（2007浙江文、理）（本题14分）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为（ = 1 * ROMAN I）求在，的条件下，的最大值；（ = 2 * ROMAN II）当，时，求直线的方程26.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分（）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最

40、大值（）解：由得， 设到的距离为，则，又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或27.（2007重庆文）（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。27.（本小题12分）（）解：设抛物线的标准方程为，则，从而因此焦点的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。答（21）图（）解法一：如图（21）图作ACl，BDl，垂

41、足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|AC|解得，类似地有，解得。记直线m与AB的交点为E，则所以。故。解法二：设，直线AB的斜率为，则直线方程为。将此式代入,得，故。记直线m与AB的交点为，则，故直线m的方程为.令y=0,得P的横坐标故。从而为定值。28.（2007重庆理） (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值。28.（本小题12分）解：（I）设椭圆方程为因焦点为，故半焦距答（28

42、）图又右准线的方程为，从而由已知，因此，故所求椭圆方程为（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 解得 因此，而，故为定值2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题：1（2008北京理）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ D ） A圆B椭圆C双曲线D抛物线2(2008福建文、理)双曲线的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（B）3、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ D ）A. 3B. 4C. 3D. 44、(2008海南、宁夏理)已知点P

43、在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）A. （，1） B. （，1）C. （1，2） D. （1，2）5. (2008湖北文、理)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和的长轴的长，给出下列式子： 其中正确式子的序号是（ B ） A. B. C. D.6(2008

44、湖南文) 双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A B C D 7. (2008湖南理)若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B. )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)8(2008江西文、理) 已知是椭圆的两个焦点满足0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A(0，1) B(0， C(0，) D，1)9.(2008辽宁文) 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则( D ) A1B2C3D410(2008辽宁理) 已知点P是抛物线

45、上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） ABCD11(2008全国卷文)若直线与圆有公共点，则（ D ）ABCD12(2008全国卷文)设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）AB C D13(2008全国卷理)设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ） ABCD14.(2008山东理)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ A ）（A） (B) (C) (D)15.(2008陕西文、理) 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾

46、斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABCD16.(2008上海文)设是椭圆上的点若是椭圆的两个焦点，则等于（D）A4B5C8D10 17(2008四川文) 已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( C )（）（） （） （）17【解】：双曲线中 作边上的高，则 的面积为 故选C18(2008四川理) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( B )（） （） （）（）18【解】：抛物线的焦点为，准线为 设，过点向准线作垂线，则 ，又由得，即，解得的面积为 故选B19(2008天津文)设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，

47、离心率为，则此椭圆的方程为（ B ）ABCD20. (2008天津理)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（ B ）(A) 6 (B) 2 (C) (D) 21.（2008浙江文、理）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ D ） （A）3 （B）5 （C） （D）22.（2008浙江理）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ B ）（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线23. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p

48、的值为 (C )(A)2 (B)3(C)4 (D)4 24. (2008重庆理)已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为 (C )（A）=1(B) (C) (D)二、填空题：1.（2008安徽文）已知双曲线的离心率是。则 4 2. (2008福建文)若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是 3、(2008海南、宁夏理)过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_4、(2008海南、宁夏文)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_5. (2008

49、湖南理)已知椭圆（ab0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .6. (2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 7(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 8(2008江西理)过抛物线的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则 9(2008全国卷文)在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 10(2008全国卷文、理)已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三

50、个交点为顶点的三角形面积为 2 11(2008全国卷理)在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 12(2008全国卷理)已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点设，则与的比值等于 13(2008全国卷文)已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 2 13.(2008山东文)已知圆以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 14(2008上海文)若直线经过抛物线的焦点，则实数 -1.15.(2008上海理)某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已

51、知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 16.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .17. （2008浙江文、理）已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= 8 。三、解答题：1.（2008安徽文）设椭圆其相应于焦点的准线方程为.（）求椭圆的方程；（）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，

52、求证： ; （）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值1.解 ：（1）由题意得： 椭圆的方程为 (2)方法一： 由（1）知是椭圆的左焦点，离心率 设为椭圆的左准线。则 作，与轴交于点H(如图) 点A在椭圆上 同理 。方法二： 当时，记，则 将其代入方程 得 设 ，则是此二次方程的两个根. .(1) 代入（1）式得 .(2) 当时， 仍满足（2）式。 （3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得 ， 当时，取得最小值2.（2008安徽理）设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.2.解 (1)由题意：

53、，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一: 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2）又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二:设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上3.（2008北京文）已知ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l:y=x+2上，且ABl.（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的

54、长最大时，求AB所在直线的方程.3. 解：（）因为ABl，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由得所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以（）设AB所在直线的方程为y=x+m. 由得因为A，B在椭圆上，所以设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.则所以又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即所以所以当m=-1时，AC边最长.（这时）此时AB所在直线的方程为y=x-1.4.（2008北京理）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面

55、积的最大值4解：（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值5. (2008福建文) 如图，椭圆的一个焦点为F（1，0）且过点（2，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M。 求证：点M恒在椭圆C上；求面积的最大值。5. 解：（1）由题设a=2,c=1,从而：所以方程为：（2）有F(

56、1,0),N(4,0); 设A（m,n），则B（m,-n）,AF与BN得方程分别为：，设交点M坐标为：，则； 点M恒在椭圆C上设AM的方程为x=ty+1,带入，得：设，则有,则令，则所以当时，有最大值3，此时AM过点F。有最大值为6.(2008福建理)如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.6. 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：()设M

57、，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形， 所以, 即1 因此，椭圆方程为 ()设 ()当直线 AB与x轴重合时， ()当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|O

58、B|2|AB|2,2(1+yA2)1，即1,解得a或a.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b20时，不合题

59、意；当a2- a2 b2+b2=0时，a=;当a2- a2 b2+b20时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2（舍去），a，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.7. (2008广东文、理)设b0，椭圆方程为，抛物线方程为.如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.7.解: (

60、1)解方程组得, 所以点G的坐标为G(4,b+2)， 由，得，求导数得， 于是，抛物线在点G的切线l的斜率为， 又椭圆中，即c=b,所以椭圆的右焦点为（b,0） 由切线l过点，可知，解得b=1. 所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为和(2) 在抛物线上存在点P，使得ABP为直角三角形。且这样的点有4个。证明：分别过点A、B做y轴的平行线，交抛物线于M，N点，则MAB=90O，NBA=90O， 显然M，N在抛物线上，且使得ABM，ABN为直角三角形。 若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个， 综上所述, 满足条件的点共有4个